13.4 课题学习 最短路径问题课件（共24张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.4 课题学习 最短路径问题课件（共24张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-07-31 20:52:19 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
人教版
八年级数学上
13.4课题学习
最关路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
回顾旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
情境导入
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
本节我们将通过探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”，来体会
如何运用所学知识选择最短路径。
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
合作探究
问题1、
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
所求问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
合作探究
思考1：由以上问题，我们假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
合作探究
思考2：
那么当点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
开动脑筋：我们如何将点B“移”到l
的另一侧B′处，满足直线l
上的任意一点C，都保持CB
与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
这样我们就将同侧问题转化为了异侧问题。
合作探究
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．
则点C
即为所求．
A
B
l
B
′
C
合作探究
思考3：你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
证明：如图，在直线l
上任取一点C′(与点C
不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′．
∴ AC
+BC=
AC
+B′C
=
AB′，
∴
AC′+BC′=
AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC
+BC＜AC′+BC′．
即 AC
+BC
最短．
A
B
l
B
′
C
C
′
小试牛刀
1、如图，直线l是一条街道，P、Q是两所学校.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（
）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
小试牛刀
2、如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=8，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5
B．3
C．8
D．不能确定
C
合作探究
问题2、
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
B
N
M
抽象成
所求问题：在a、b上分别求作M、N,使AM+MN+NB最短问题.
B
A
b
a
合作探究
B
A
●
●
?
N
M
N
M
N
M
折
移
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
合作探究
思考1：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
Ｍ１
合作探究
B
A
A1
M
N
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知：
AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞
AM+MN+BN.
思考2：你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？
合作探究
解决最短路径问题的方法:
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
小试牛刀
1、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD
′,EE
′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD
′E
′EB的路程最短？
A
D
D
′
C
C′
E
E′
B
小试牛刀
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG
⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E
′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，
GF最小.
A
D
′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
综合演练
1、如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，5）和
（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
C′
E
A
综合演练
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．30
A
综合演练
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为600米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是
米.
A
C
B
D
河
1200
课堂小结
本节课我们收获了哪些知识？
“将军饮马”和”选址造桥”问题都运用到了哪些知识？
课后作业
课本教材第93页：15题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
人教版
八年级数学上
13.4课题学习
最关路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
回顾旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
情境导入
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
本节我们将通过探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”，来体会
如何运用所学知识选择最短路径。
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
合作探究
问题1、
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
所求问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
合作探究
思考1：由以上问题，我们假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
合作探究
思考2：
那么当点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
开动脑筋：我们如何将点B“移”到l
的另一侧B′处，满足直线l
上的任意一点C，都保持CB
与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
这样我们就将同侧问题转化为了异侧问题。
合作探究
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．
则点C
即为所求．
A
B
l
B
′
C
合作探究
思考3：你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
证明：如图，在直线l
上任取一点C′(与点C
不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′．
∴ AC
+BC=
AC
+B′C
=
AB′，
∴
AC′+BC′=
AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC
+BC＜AC′+BC′．
即 AC
+BC
最短．
A
B
l
B
′
C
C
′
小试牛刀
1、如图，直线l是一条街道，P、Q是两所学校.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（
）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
小试牛刀
2、如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=8，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5
B．3
C．8
D．不能确定
C
合作探究
问题2、
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
B
N
M
抽象成
所求问题：在a、b上分别求作M、N,使AM+MN+NB最短问题.
B
A
b
a
合作探究
B
A
●
●
?
N
M
N
M
N
M
折
移
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
合作探究
思考1：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
Ｍ１
合作探究
B
A
A1
M
N
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知：
AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞
AM+MN+BN.
思考2：你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？
合作探究
解决最短路径问题的方法:
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
小试牛刀
1、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD
′,EE
′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD
′E
′EB的路程最短？
A
D
D
′
C
C′
E
E′
B
小试牛刀
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG
⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E
′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，
GF最小.
A
D
′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
综合演练
1、如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，5）和
（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
C′
E
A
综合演练
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．30
A
综合演练
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为600米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是
米.
A
C
B
D
河
1200
课堂小结
本节课我们收获了哪些知识？
“将军饮马”和”选址造桥”问题都运用到了哪些知识？
课后作业
课本教材第93页：15题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php