2.7.3 二次根式（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第二章实数
2.7
二次根式
第3课时
二次根式(3)
【知识清单】
一、实数的运算：
1、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用；
2、实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减；运算中有括号的，先算括号里面的，同一级运算从左到右一次进行.
二、同类二次根式：
1、定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式.
要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.
2、合并同类二次根式的法则：只合并同二次根式的系数，根号和被开方数不变，
例如：=+=；==.
三、乘法公式：多项式的乘法公式在无理数上同样适用.
1、(a+b)
(a-b)=a2-b2；
2、(a±b)2=a2±2ab+b2.
【经典例题】
【例题】化简：()().
【考点】二次根式的运算．
【分析】先把二次根式化成最简二次根式，找出可以合并的最简二次根式，按照法则进行合并即可.
【解答】
解：原式=()()
=5
=(5)+(2+)
=.
【点评】此题考查了学生化简二次根式的能力以及合并同类二次根式的法则的掌握情况，是中考的热点学生必须熟练掌握.
例题2、计算：
【考点】二次根式的运算．
【分析】此题先利用多项式是乘法公式展开，然后再进行加减运算即可.
【解答】原式=
=
=.
【点评】此题主要考查二次根式运算法则以及同类二次根式的合并法则，理解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；此题将二次根式化简为最简二次根式和合并同类二次根式以及掌握运算法则是解题的关键.
【夯实基础】
1、下列二次根式中，能与合并的是(???)
A．
B．
C．
D．
2、下列各数与相乘不是有理数的是(
)
A．
B．
C．
D．
3、化简的结果是(　
　)
A．3
B．9
C．9
D．9
4、下列等式成立的是(
)
A．??
?B．2=2
C．
D．=
5、实数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，
则bc_____
0，
ba
_____
0，
a+b+c________0，
化简
=
.
6、观察分析下列数据：0，，2，，2，，2,…第十个数据是
，第n个数据为(n≥1的整数)
.
7、计算：
(1)；
(2)
；
(3)
(4)
(23)2020(2+3)2019
(5)
(6)
.
8、计算：
(1)若x=，求x25x+7的值；
(2)设x是的整数部分，y是的小数部分，求x2+y2的值．
9、已知三角形的三边a，b，c的长分别是cm，cm，cm，求这个三角形的周长和面积.
【提优特训】
10、已知a=
，
b=
，则(a1)(b1)值为
(
)
A．
4
B．3
C．2
D．1
11、化简：①；②；③；
④；⑤.其中正确的是(
)个
A．
4
B．3
C．2
D．1
12、如图，P是等边三角形内一点，AB=，BP=3，CP=，
则∠APB的度数是(
)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
13、若a=，则2a2+16a17的值为
(
)
A．19??
?B．20
?C．21??
D．22?
14、若a是3+的纯小数部分，b是1的纯小数部分，则a、b的大小关系为
.
15、已知直角三角形的两条直角边a=，b=，则斜边的长为
.
16、观察下列等式:
(1)=，(2)=
2，(3)=
3，(4)=
4，…，
根据你发现的规律填空:
(1)第12个等式是_______________________；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明其准确性.
17、分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
=()2+1=2???
S1=；
=()2+1=3???
S2=；
=()2+1=4????
S3=…
(1)推算出OA12=
；
(2)请用含有n(n为正整数)的等式Sn=
．
(3)求出+++…+的值．
18、阅读理解，并解决问题：
；
解决问题：
(1)
；(2)
；
(3)的值是多少？
【中考链接】
19、(2019?山东淄博)如图，长方形有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为(
)
A．
B．2
C．
D．6
20、(2019?江苏泰州)
计算
解：原式=
=
=.
21、(2019?湖北十堰)计算
解：原式=.
参考答案
1、C
2、B
3、C
4、D
5、<，>，<，a3b+c
6、；当n为偶数时，结果为
；当n为奇数时，结果为
10、C
11、B
12、D
13、C
14、a=b，
15、
19、B
20、A
7、计算：
(1)；
(2)
；
(3)
(4)
(23)2020(2+3)2019
(5)
(6)
.
解：(1)原式=
=；
(2)原式=
=
=；
(3)原式=
=
=
=；
(4)原式=(23)·
=(23)·=32；
(5)原式=
=
=
=；
(6)原式=
=.
8、计算：
(1)若x=，求x25x+7的值；
(2)设x是的整数部分，y是的小数部分，求x2+y2的值．
解：(1)∵x=，
∴x1=，
∴(x1)2=()2，
∴x22x+1=3，
∴x22x=2.
∴x25x+7=x22x3x+3+4
=(x22x)3(x1)+4
=2+4=6；
(2)
∵16<19<25，
∴4<<5，
∴42<2<52，即：2<2<3.
∴x=2，y=22=4，
∴x2+y2=
22+(4)2
=4+198+16=398.
9、已知三角形的三边a，b，c的长分别是cm，cm，cm，求这个三角形的周长和面积.
解：a=，b==，c=.
∵+=，即：a2+b2=c2，
∴三角形是以a、b直角边的直角三角形，
∴这个三角形的周长为：a+b+c=++
=++
=(++)=12(cm)；
这个三角形的周长和面积为：(cm)2.
答：这个三角形的周长和面积分别为12cm和12(cm)2.
16、观察下列等式:
(1)=，(2)=
2，(3)=
3，(4)=
4，…，
根据你发现的规律填空:
(1)第12个等式是_______________________；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明其准确性.
解：(1)=12；
(2)
=n
证明：=.
17、分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
=()2+1=2???
S1=；
=()2+1=3???
S2=；
=()2+1=4????
S3=…
(1)推算出OA12=
；
(2)请用含有n(n为正整数)的等式Sn=
．
(3)求出+++…+的值．
解：(1)∵OA12=1，
=()2+1=()2+1=2，
=()2+1=()2+1=3，
=()2+1=()2+1?=4，
∴OA1=，OA2=，OA3=，…
∴OA12==，
故答案是：；
(2)=()2+1=n
Sn=(n是正整数)；
故答案是：；
(3)+++…+
=()2+()2+()2+…+()2
=(1+2+3+…+n)
=．
18、阅读理解，并解决问题：
；
解决问题：
(1)
；(2)
(3)的值是多少？
解：原式=++
==2.
20、(2019?江苏泰州)
计算
解：原式=
=
=.
21、(2019?湖北十堰)计算
解：原式=.
第19题图
第5题图
第12题图
第17题图
…
…
第17题图
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精品试卷·第
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