个性化教学辅导教案
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五年级
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数学
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题
新北师大版五年级上册第14讲《最大公约数与约分》
教学目标
1、
经历找两个数的公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。
2、
探索找两个数的公因数的方法，会正确找出两个数的公因数和最大公因数。
3、经历知识的形成过程，理解约分的含义，探索约分的方法。
4、掌握约分的方法，能正确地进行约分。
教学过程
教师活动
学生活动
1、分子加上12，分数的大小不变，分母应该加上（
）
A．12
B．36
C．27
D．不能做
【答案】C
2、一个分数，它的分数单位是，如果改以作分数单位，则分数单位的个数比原来增加了6个．这个分数原来是
．
3、判断：
（1）一个分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，分数值不变．
×（2）一个分数，如果分子扩大2倍，要使分数的大小不变，分母也应该扩大2倍．
√
4、在括号里填上合适的数
（1）==
÷75=+
=
﹣．
【答案】20，60，，1．
（2）．
【答案】6，20，18，48．
5、（1）把下面的分数化成分子相同的而大小不变的分数．
1．
【答案】
==；
==
==；
==
（2）把下列的分数化成分母是10而大小不变的分数．
====
【答案】
==；
==
==；
==．
一、填空：
1、与任何非0自然数的最大公因数是（
），两个不同质数的最大公因数是（
），存在因数倍数关系的两个数的最大公因数是（
）。
2、已知a=2×3×3×5，b=2×3×5×7，则a和b的最大公因数是（
）。
3、甲数÷乙数=6，甲乙两数的最大公因数是（
）。
4、23、24的最大公因数是（
），14、28的最大公因数是（
）。
5、的分母与分子的最大公因数是（
），的分子与分母的最大公因数是（
）。
【答案】1、
1
1
较的小数；
2、30
；
3、
乙数
4、1
14
；
5、5
18
二、判断：
1、分子和分母都是偶数，它们就没有公因数。
（
）
2、两个质数的最大公因数是1。
（
）
3、所有非0自然数没有公因数。
（
）
4、A是B的因数，A、B的最大公因数是B。
（
）
5、的分母和分子没有公因数。
（
）
6、最简分数的分子和分母的最大公因数是1。
（
）7、小于而大于的最简分数只有一个。
（
）8、约分是根据分数的基本性质进行的。
（
）
9、约分后是，因为的分子、分母没有公因数，所以是最简分数。
（
）
【答案】√、×、√、×、×、×、×、×、×
知识解析：
知识点一、公因数
1、公因数和最大公因数的意义
（1）公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
如：18和24的公因数有：1、2、3、6.
（2）最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
如：18和24的最大公因数是6.
2、求两个数的最大公因数的方法
求两个数的最大公因数的方法很多，例如：求18和30的最大公因数。
方法一：先分别找出18和30的因数，再在它们的公因数中找出最大的一个。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
18和30的公因数：1、2、3、6；
18和30的最大公因数是6.
方法二：先找出18的因数，再看18的因数中有哪些是30的因数，然后找出最大的一个。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
其中1、2、3、6又是30的因数，6最大，
所以18和30的最大公因数是6.
方法三：利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数。
18＝2×3×3；
30＝2×3×5
所以18和30的最大公因数是2×3＝6.
利用分解质因数的方法，求出两个数的最大公因数，实际上可以用短除法来表示.具体做法是：
用短除法求两个数的最大公因数，一般先用这两个数公有的质数连续去除，一直除到所得商的公因数是l为止，然后把所有的除数连乘起来。
如：
18和30的最大公因数是2×3＝6。
在除的时候，除数也可以是合数。如：求36和54的最大公因数。
36和54的最大公因数是6×3＝9×2＝18。
3、求两个数的最大公因数的两种特殊情况
（1）如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数.
如：12和6的最大公因数是6.
（2）如果两个数的公因数只有1，那么这两个数的最大公因数是1.
如：4和5的最大公因数是1.
知识点二、约分
1、约分的意义
（1）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（2）分子、分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。
如：等都是最简分数。
2、约分的方法
（1）用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
（2）应用约分的方法对一个分数约分。如：把约分.
①约分的形式：
②约分时尽量口算。如果能很快看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公因数去除比较简便。如：
3、运用约分比较分数的大小。
两个不是最简分数的异分母分数，可以先约分，把它们分别化成最简分数，再进行比较。
如：
。
典例分析：
【例1】（1）利用分解质因数的方法，找出下面每组数的最大公因数．
16和28
46和92
36和45
28和42
55和75
64和88．
【答案】16=2×2×2；
28=2×2×7；
最大公因数是2×2=4
46=2×23；
92=2×2×23；
最大公因数是2×23=46
36=2×2×3×3；
45=3×3×5；
最大公因数是3×3=9
28=2×2×7；
42=2×3×7；
最大公因数是2×7=14
55=5×11；
75=3×5×5；
最大公因数是5
64=2×2×2×2×2；
88=2×2×2×11；
最大公因数是2×2×2=8
（2）用短除法求下列每组数的最大公因数
36和54；
24和32；
52和78．
【答案】18；
8；
26．
【例2】（1）把48个苹果分给若干个小朋友，不许有剩余，你有几种分法？
【答案】解：48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，所以有2、3、4、6、8、12、16、24、48，9种分法；
（2）有两根铁丝，长度分别为18厘米和30厘米，现要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？共可截得多少段？
【答案】解：18=2×3×3
30=2×3×5
2×3=6（厘米）
18÷6+30÷6=3+5=8（段）
（3）有一张长方形硬纸片，长70厘米，宽50厘米．如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？
【答案】解：把70和50分解质因数：
70=2×5×7，50=2×5×5，
70和50的最大公因数是2×5=10；
（4）36个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里，每种球正好装完，每盒最多能装几个？这时共需几个盒子？
【答案】解：把36和24分解质因数：36=2×2×3×3；
24=2×2×2×3；
36和24的最大公因数是：2×2×3=12；
36÷12=3（盒）；
24÷12=2（盒）；
3+2=5（盒）；
答：每盒最多能装12个，这时共需5个盒子．
【例3】（1）A、B、C三个数，A和B的最大公因数是15，B和C的最大公因数是9，A、B、C的最大公因数是多少？
【答案】解：因为A和B的最大公因数是15，B和C的最大公因数是9，所以A、B、C三个数的最大公因数应该是15和9的最大公因数，15=3×5；9=3×3
所以A、B、C三个数的最大公因数是3．
答：A、B、C三个数的最大公因数是3．
（2）甲数和乙数的最大公因数是15，乙数和丙数的最大公因数是9．甲、乙、丙三个数的最大公因数是多少？
【答案】解：因为甲和乙是15的倍数，而乙和丙是9的倍数，所以甲乙丙三个数的最大公因数应该是15和9的最大公因数，15=3×5；9=3×3
所以甲、乙、丙三个数的最大公因数是3．
答：甲、乙、丙三个数的最大公因数是3．
【例4】（1）约分
；
；
．
【答案】解：==，==，==．
（2）把下面各数约分．
；
；
；
．
【答案】解：==；
==；
==；
==．
【例5】（1）分数单位是的最简真分数有_____________________________，
分子是5的假分数有______________，其中最大的是，最小的是．
【答案】解：分数单位是的最简真分数有、、、，
分子是5的假分数有、、、、，其中最大的是，最小的是．
（2）把下列各数化成最简分数．
=_______
=______
=_______
=______
=________
=
______
=______
=______
=______
=______
【答案】，，，，，，，，，．
（3）在括号里填上最简分数．
3厘米=米
18秒=分
80公顷=平方千米．
【答案】3厘米=米；
18秒=分；80公顷=平方千米．
【例6】（1）已知甲数=3×5×A，乙数=2×3×A；若甲、乙两数的最大公因数是15，求A并求出此时乙数的所有因数？
【答案】解：甲、乙两数的最大公因数是15．甲数=3×5×A，乙数=2×3×A
所以A=5；乙=2×3×5=30；30=1×30=2×15=3×10=5×6
所以30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．
答：A是5；
乙的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．
（2）a，b是两个自然数，如a÷b=7，那么a，b的最大公约数是多少？
【答案】解：因为a÷b=7，
所以a和b有因数和倍数关系，a是较大数，b是较小数，
因此a和b的最大公因数是b．
答：a和b的最大公因数是b．
（3）甲、乙两个自然数的和是774，最大公约数是43，它们各是多少？
【答案】解：774=43×18，18必须分成两个互质的数，才能使最大公约数为43，因此只有1和17，13和5，11和7满足；
即：43×1=43，43×17=731；43×13=559，43×5=215；或43×11=473，43×7=301．
答：这两个数是43、731或559、215或是473，301．
【例7】（1）一个最简真分数，分子与分母的和是12，求这个最简分数．
【答案】解：因为12可以分成11和1、10和2、9和3、8和4、7和5、6和6，
所以符合条件的最简真分数是和．
故答案为：和．
（2）将一个分数用5约分一次，用2约分两次，得，这个分数原来是多少？
【答案】解：分子：3×2×2×5=60；
分母：5×2×2×5=100；
所以原来的分数是．
答：这个分数原来是．
教师自行总结
一、选择题
1、下面的约分正确的是（
）
A．=
B．=
C．=
2．用10以内的质数组成分子、分母都是一位数的最简真分数，共有（
）个．
A．3
B．5
C．6
D．14
3．分母是9的最简真分数有（
）个．
A．6
B．3
C．5
D．4
【答案】A、C、A
二、填空题
1、的分子、分母的最大公因数是
6
，用最大公因数约分后，得到的最简分数是
．
2、的分子和分母的最大公因数是
6
，约成最简分数是
．
3、a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且m≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是
7
．
4、一间会议室是52分米，宽是36分米，现在要铺上正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最大是
4
分米，一共需这样的瓷砖
117
块．
5、已知甲数=3×3×5×7，乙数=3×5×7×11，甲乙两数的最大公约数是
105
．
6、在横线里写出每组数的最大公因数．
13和7
1
15和21
3
18和54
18
12和20
4
．
三、判断题
1、把约分后，分数的单位和大小都不变．
×
2、分数的分子和分母互质时，分数就是最简分数．
√
3、分母为8的最简分数共有4个．
×
四、解答题
1、把下面的分数化成最简分数
．
【答案】解：==；
==；==
==；
==；
==
2、五（1）班有48人，五（2）班有56人，排队做广播操，要使每行的人数相同，每行最多有多少人？
【答案】解：（1）48=2×2×2×2×3，56=2×2×2×7，
所以48和36的最大公因数是：2×2×2=8，
即每行最多有8人。
2、用96朵红花和72朵黄花做成花束，如果每束花中红花的朵数相等，黄花的朵数也相等．那么每束花中最少有几朵花？
【答案】解：96=2×2×2×2×2×3，72=2×2×2×3×3，
故96和72的最大公因数：2×2×2×3=24；
96÷24+72÷24=4+3=7（朵）；
3、
【答案】解：36=2×2×3×3，28=2×2×7，
所以36和28的最大公因数是2×2=4，即正方形瓷砖的边长是4分米．
（36÷4）×（28÷4）=9×7=63（块）．
答：至少要贴边长为4分米的正方形瓷砖，需要63块．
（1）分子、分母之和是23，分母增加19以后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是，原来分数是几分之几？
【答案】解：23+19=42；分子：42×=7；分母：42×=35
则原来分数的分母是：35﹣19=16
答：原来的分数是．
2、用一个数除96余6，除134余8，除243余9，这个数最大是多少？
【答案】解：这个数应是这三个数的最大公约数，
90=2×3×3×5，
126=2×3×3×7，
234=2×3×3×13，
所以90、126、234这三个数的最大公因数是2×3×3=18；
答：这个数最大是18．
3、一块长方体的木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，现要把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，木料又不能剩下，算一算这块木料可以锯成_____块．
【答案】解：72=2×2×2×3×3，60=2×2×3×5，36=2×2×3×3，
72、60和36的最大公因数是2×2×3=12，
要使木块的体积最大，木料又不能有剩余，那么正方体木块的棱长应该是12厘米，
（72÷12）×（60÷12）×（36÷12）=6×5×3=90（块）；
答：可以锯成90块．个性化教学辅导教案
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五年级
学
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数学
上课时间
教师姓名
课
题
新北师大版五年级上册第14讲《最大公约数与约分》
教学目标
1、
经历找两个数的公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。
2、
探索找两个数的公因数的方法，会正确找出两个数的公因数和最大公因数。
3、经历知识的形成过程，理解约分的含义，探索约分的方法。
4、掌握约分的方法，能正确地进行约分。
教学过程
教师活动
学生活动
1、分子加上12，分数的大小不变，分母应该加上（
）
A．12
B．36
C．27
D．不能做
2、一个分数，它的分数单位是，如果改以作分数单位，则分数单位的个数比原来增加了6个．这个分数原来是
．
3、判断：
（1）一个分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，分数值不变．（
）
（2）一个分数，如果分子扩大2倍，要使分数的大小不变，分母也应该扩大2倍．（
）
4、在括号里填上合适的数
（1）==
÷75=+
=
﹣．
（2）．
5、（1）把下面的分数化成分子相同的而大小不变的分数．
1．
（2）把下列的分数化成分母是10而大小不变的分数．
====
一、填空：
1、与任何非0自然数的最大公因数是（
），两个不同质数的最大公因数是（
），存在因数倍数关系的两个数的最大公因数是（
）。
2、已知a=2×3×3×5，b=2×3×5×7，则a和b的最大公因数是（
）。
3、甲数÷乙数=6，甲乙两数的最大公因数是（
）。
4、23、24的最大公因数是（
），14、28的最大公因数是（
）。
5、的分母与分子的最大公因数是（
），的分子与分母的最大公因数是（
）。
二、判断：
1、分子和分母都是偶数，它们就没有公因数。
（
）
2、两个质数的最大公因数是1。
（
）
3、所有非0自然数没有公因数。
（
）
4、A是B的因数，A、B的最大公因数是B。
（
）
5、的分母和分子没有公因数。
（
）
6、最简分数的分子和分母的最大公因数是1。
（
）7、小于而大于的最简分数只有一个。
（
）8、约分是根据分数的基本性质进行的。
（
）
9、约分后是，因为的分子、分母没有公因数，所以是最简分数。
（
）
知识解析：
知识点一、公因数
1、公因数和最大公因数的意义
（1）公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
如：18和24的公因数有：1、2、3、6.
（2）最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
如：18和24的最大公因数是6.
2、求两个数的最大公因数的方法
求两个数的最大公因数的方法很多，例如：求18和30的最大公因数。
方法一：先分别找出18和30的因数，再在它们的公因数中找出最大的一个。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
18和30的公因数：1、2、3、6；
18和30的最大公因数是6.
方法二：先找出18的因数，再看18的因数中有哪些是30的因数，然后找出最大的一个。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
其中1、2、3、6又是30的因数，6最大，
所以18和30的最大公因数是6.
方法三：利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数。
18＝2×3×3；
30＝2×3×5
所以18和30的最大公因数是2×3＝6.
利用分解质因数的方法，求出两个数的最大公因数，实际上可以用短除法来表示.具体做法是：
用短除法求两个数的最大公因数，一般先用这两个数公有的质数连续去除，一直除到所得商的公因数是l为止，然后把所有的除数连乘起来。
如：
18和30的最大公因数是2×3＝6。
在除的时候，除数也可以是合数。如：求36和54的最大公因数。
36和54的最大公因数是6×3＝9×2＝18。
3、求两个数的最大公因数的两种特殊情况
（1）如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数.
如：12和6的最大公因数是6.
（2）如果两个数的公因数只有1，那么这两个数的最大公因数是1.
如：4和5的最大公因数是1.
知识点二、约分
1、约分的意义
（1）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（2）分子、分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。
如：等都是最简分数。
2、约分的方法
（1）用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
（2）应用约分的方法对一个分数约分。如：把约分.
①约分的形式：
②约分时尽量口算。如果能很快看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公因数去除比较简便。如：
3、运用约分比较分数的大小。
两个不是最简分数的异分母分数，可以先约分，把它们分别化成最简分数，再进行比较。
如：
。
典例分析：
【例1】（1）利用分解质因数的方法，找出下面每组数的最大公因数．
16和28
46和92
36和45
28和42
55和75
64和88．
（2）用短除法求下列每组数的最大公因数
36和54；
24和32；
52和78．
【例2】（1）把48个苹果分给若干个小朋友，不许有剩余，你有几种分法？
（2）有两根铁丝，长度分别为18厘米和30厘米，现要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？共可截得多少段？
（3）有一张长方形硬纸片，长70厘米，宽50厘米．如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？
（4）36个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里，每种球正好装完，每盒最多能装几个？这时共需几个盒子？
【例3】（1）A、B、C三个数，A和B的最大公因数是15，B和C的最大公因数是9，A、B、C的最大公因数是多少？
（2）甲数和乙数的最大公因数是15，乙数和丙数的最大公因数是9．甲、乙、丙三个数的最大公因数是多少？
【例4】（1）约分
；
；
．
（2）把下面各数约分．
；
；
；
．
【例5】（1）分数单位是的最简真分数有_____________________________，
分子是5的假分数有______________，其中最大的是，最小的是．
（2）把下列各数化成最简分数．
=_______
=______
=_______
=______
=________
=
______
=______
=______
=______
=______
（3）在括号里填上最简分数．
3厘米=米
18秒=分
80公顷=平方千米．
【例6】（1）已知甲数=3×5×A，乙数=2×3×A；若甲、乙两数的最大公因数是15，求A并求出此时乙数的所有因数？
（2）a，b是两个自然数，如a÷b=7，那么a，b的最大公约数是多少？
（3）甲、乙两个自然数的和是774，最大公约数是43，它们各是多少？
【例7】（1）一个最简真分数，分子与分母的和是12，求这个最简分数．
（2）将一个分数用5约分一次，用2约分两次，得，这个分数原来是多少？
教师自行总结
一、选择题
1、下面的约分正确的是（
）
A．=
B．=
C．=
2．用10以内的质数组成分子、分母都是一位数的最简真分数，共有（
）个．
A．3
B．5
C．6
D．14
3．分母是9的最简真分数有（
）个．
A．6
B．3
C．5
D．4
二、填空题
1、的分子、分母的最大公因数是
__，用最大公因数约分后，得到的最简分数是
__．
2、的分子和分母的最大公因数是
，约成最简分数是
__．
3、a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且m≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是
___．
4、一间会议室是52分米，宽是36分米，现在要铺上正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最大是
___分米，一共需这样的瓷砖____块．
5、已知甲数=3×3×5×7，乙数=3×5×7×11，甲乙两数的最大公约数是
___．
6、在横线里写出每组数的最大公因数．
13和7
___
15和21
___
18和54
___
12和20
___
三、判断题
1、把约分后，分数的单位和大小都不变．
___
2、分数的分子和分母互质时，分数就是最简分数．
___
3、分母为8的最简分数共有4个．
___
四、解答题
1、把下面的分数化成最简分数
．
2、五（1）班有48人，五（2）班有56人，排队做广播操，要使每行的人数相同，每行最多有多少人？
2、用96朵红花和72朵黄花做成花束，如果每束花中红花的朵数相等，黄花的朵数也相等．那么每束花中最少有几朵花？
3、
1、分子、分母之和是23，分母增加19以后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是，原来分数是几分之几？
2、用一个数除96余6，除134余8，除243余9，这个数最大是多少？
3、一块长方体的木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，现要把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，木料又不能剩下，算一算这块木料可以锯成_____块．
