个性化教学辅导教案
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五年级
学
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数学
上课时间
教师姓名
课
题
新北师大版五年级上册第17讲《图形规律与鸡兔同笼》
教学目标
1、让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，找出图形中隐藏的规律，将“图的规律”转化成“数的规律”。
2、学会用假设的方法解决“鸡兔同笼”的问题，比较各种列表法的特点，并让学生体会怎样列举更简便。
教学过程
教师活动
学生活动
1．如图的两个长方形完全相同，涂色部分的面积相比（
）
A．①=②
B．①＞②
C．①＜②
【答案】A
2．如图，E、F分别是长方形ABCD长、宽的中点，长方形的面积是32平方厘米，三角形AEF的面积是____________．
【答案】12平方厘米
3．图中阴影部分的面积是
_________平方厘米．
【答案】9.6
4．求出阴影部分的面积．
【答案】解：16×13÷2=208÷2=104（平方厘米）
答：阴影部分的面积是104平方厘米．
5．计算阴影部分的面积．（单位：cm）
【答案】解：5×5+4×4﹣（5+2）×（5+4）÷2
=25+16﹣7×9÷2
=41﹣31.5
=9.5（平方厘米），
答：阴影部分的面积是9.5平方厘米．
6．计算如图的面积．（单位：cm）
【答案】解：12×4÷2+（12+6）×4÷2=24+36=60（平方厘米）
答：图形的面积是60平方厘米．
7．如图中间是一个正方形花坛，边长18米．在花坛四周有一条宽2米的小路，小路的面积是多少平方米？
【答案】解：小正方形的面积：18×18=324（m2）
大正方形的面积：（18+2+2）×（18+2+2）=22×22=484（m2）
小路的面积：484﹣324=160（m2）
答：小路的面积是160平方米．
8．如图，已知梯形的上底是15厘米，下底是30厘米，其中阴影部分面积是60平方厘米，求这个梯形的面积．
【答案】解：三角形的高为：60×2÷15=120÷15=8（厘米）
梯形的面积为：（15+30）×8÷2=45×8÷2=360÷2=180（平方厘米）
答：梯形的面积为180平方厘米．
1．太和镇某小学植树小分队10人参加植树活动．男生每人栽了5棵树，女生每人栽了3棵树，一共栽了42棵树．男生有_____人．
【答案】6
2．鸡兔同笼，头共20个，脚共62只，其中鸡有
_
_只，兔有_
_只．
【答案】9，11
3．46人去划船，共租12只船，刚好都坐满．大船每船坐5人，小船每船坐3人．租大船
___只，小船
____只．
【答案】5，7
4．某景区在1小时内售出的20元门票和40元门票共有100张，总收入为2800元，这1小时售出了20元门票
_
张，40元门票
张．
【答案】60，40
5．聪聪参加全校“汉字大会”比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分，聪聪共抢答9题，最后得分58分．聪聪答对了_____题．
【答案】7
6．全班有54人去公园划船，一共租用了10只船．每只大船坐6人，每只小船坐4人，且所有的船刚好坐满．租用的大船有
___
只，租用的小船有
__
只．
【答案】7；3
7．按照如图所示的规律摆下去，第20个图形摆放的黑色棋子的个数是
___
．
【答案】440
8．根据如图中点的排列规律，第6幅图中共有
个点，第n幅图中共有
个点．
【答案】19，3n+1
9．用边长为3厘米的正方形拼成长方形（如图）．
正方形的个数1234…长方形的周长（厘米）12182430…
（1）用4个正方形拼成的长方形周长是30厘米，5个正方形拼成的长方形周长是
_______厘米，n个正方形拼成的长方形的周长是
____
厘米．
（2）当拼成的长方形周长是48厘米时，需要
____
个正方形．
【答案】36；6n+6；7
10．按规律在括号里画出第48个图形．
①△○○△○○△○○…
○
…
②●○●●○●○●●○●○●●○…
●
…
【答案】○，●
11．用火柴棒按如图方式搭正方形，搭1个这样的正方形需要4根火柴棒，搭10个这样的正方形需要用
31
根火柴棒．
【答案】31
知识梳理：
一、点阵中的规律：具体问题具体分析
二、鸡兔同笼问题
【导入】我国古代的数学著作《孙子算经》里，有一道著名的趣题。今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?意思是：有一笼鸡和兔，数鸡头和兔头共35个，数鸡脚和兔脚共94只，问鸡和兔各有多少只?这就是著名的鸡兔同笼问题。
1、鸡兔同笼问题的特点
鸡兔同笼问题一般是已知两个总量，求出两个部分量各是多少。
2、鸡兔同笼问题的解题方法
解决鸡兔同笼问题一般有：
（1）枚举法：采用画图，列表等方式。这种方法一般是面对初次接触此类问题的学生，且数据比较小。
（2）化归法。假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，①鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；②如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2－总头数＝兔子数。上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数。
（3）用假设法求解。
如前面的问题中，先假设它们全是鸡，于是根据鸡、兔的总数，就可以先算出在假设条件下共有几只脚，再与原有的脚数相比较，看看差多少。从差中求出兔的数量。也可以先假设成全是兔子，在差的变化中求鸡的数量。再求另一个数量是多少。
（4）方程法。
通过找等量关系构建等式，对于小学生来说，其难度还在于解方程。
其中我们常常用假设法和方程法来解决鸡兔同笼问题。
3、鸡兔同笼问题的基本关系式
（1）鸡数＝(每只兔子脚数×鸡兔总数－实际脚数)÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数)；
兔数＝鸡兔总数－鸡数；
（2）兔数＝(实际脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数)；
鸡数＝鸡兔总数－兔数。
典例解析：
【例1】（1）观察点阵的规律，再填空，第6个点阵图中有______个点。
【答案】21
（2）观察下面的点阵图形,根据圆点的变化,探究其规律,则第8个图形中圆点的个数为（?）
A、25
B、?26
C、?27
D、29
【答案】D
（3）观察点阵，想想，第10个点阵中有（
）个点。
A、110
B、108
C、11
【答案】A
【例2】（1）平面内6个点最多可以连成多少条线段？8个点呢？学着下面的图画一画，数一数，你一定能发现其中的规律．
6个点最多可以连成_______条线段，8个点最多可以连成_________条线段．
点数?增加条数﹣﹣234?总数13610?
【答案】15，28
（2）我们知道连接两点得一条线段，连接不在同一直线上的三点得到一个三角形．
①完成下表：（任意三点都不在同一直线上）
平面内的点数
2
34
5
6…
线段数
1
3????
三角形个数
0
1????
②一个平面上有n个点，任意连接两个点，共有
条线段；（用含n的式子表示）
③如果n为10时，以这10个点为顶点能得到
个三角形．
【答案】；120
（3）在指定的地方画出五条直线相交时交点最多的情况并写出此时的交点数．
列式计算：10条直线相交时，最多有多少个交点？
【答案】45
【例3】（1）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成。其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数是_________。
【答案】41
（2）摆放易拉罐，（如图）看图回答问题．
①摆两层一共有：_______________个；摆三层一共有：______________个；
摆四层一共有：
_________________
个；摆五层一共有：______________个；
摆六层一共有_________________
个．…
②用n表示摆的层数，你能总结出一个计算公式吗？
【答案】1+2+3+4=10；1+2+3+4+5=15；1+2+3+4+5+6=21；（n+4）（n﹣1）+3．
（3）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．
图②得到5个三角形，照这样图③得到
___
个三角形；按上面的方法继续下去，图10能得
_
个三角形；图n能得到
个三角形．
图16能得到________个三角形．
【答案】9，37，4n﹣3，16．
【例4】（1）“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，《孙子算经》中记载的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，同学们，你得出的这个古代名题的结果是（
）。
A.鸡23只，兔12只
B.鸡12只，兔23只
C.鸡14只，兔21只
【答案】A
（2）全班38人划船，共租了8条船，每条船都坐满了，每条大船乘6人，每条小船乘4人．大小船各租了几条？
【答案】解：假设8条全是租的大船，则小船有：
（8×6﹣38）÷（6﹣4）=10÷2=5（条），则大船有：8﹣5=3（条），
答：大船有3条，小船有5条．
（3）旅游团36人划小船，有5人位船和3人位船（每个船不能有空位），有多少种不同的安排？（先完成下面表格后再回答）
5
人位/船
3
人位/船
【答案】解：当5人船3艘时，3人船有：（36﹣5×3）÷3=7（艘）；
当5人船有6艘时，3人船有：（36﹣5×6）÷3=2（艘）；
所以列表为：
5人位/船363人位/船72
答：一共有2种安排．
故答案为：5，3，6；3，7，2．
（4）10元和5元的人民币共50张，合260元，10元和5元各多少张？
【答案】解：假设全是10元的人民币，则5元的人民币有：
（10×50﹣260）÷（10﹣5）=240÷5=48（张）
则10元的有：50﹣48=2（张）
答：10元的有2张，5元的有48张．
【例5】（1）我班开展：“节约用水，从我做起”主题活动，共20道抢答题，答对一题得5分，答错一题扣3分，明明得了60分，他答对了几道题？
【答案】解：（20×5﹣60）÷（3+5）=（100﹣60）÷8=40÷8=5（道）
20﹣5=15（道）
答：他答对了15道题．
（2）一名篮球运动员在一场比赛中一共投中11个球，有2分球，也有3分球，已知这名运动员一共得了26分，他投中的2分球和3分球各得多少分？
【答案】解：假设投中的全部是3分球，
2分球的个数：（3×11﹣26）÷（3﹣2）=7÷1=7（个），
3分球的个数是：11﹣7=4（个）；
答：他投中了7个2分球，4个3分球．
【例6】（1）六年级同学分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组．科技类每5人一组，艺术类每3人一组，共有37名学生报名，正好分成9个组．参加科技类和艺术类的学生各有多少人？
【答案】解：9×5﹣37=8（人）
艺术类：8÷（5﹣3）=4（组）
4×3=12（人
）
科技类：9﹣4=5（组）
5×5=25（人）
答：参加科技类和艺术类的学生各有25人、12人．
（2）小华有1分、2分、5分的硬币共38枚，合计9角2分，已知1分与2分的硬币的枚数相等．这三种硬币各有多少枚？
【答案】解：设1分硬币x枚，则2分硬币x枚，9角2分=92分
x+2x+（38﹣2x）×5=92
3x+190﹣10x=92
7x=98
x=14，
38﹣14×2=38﹣28=10（枚），
答：1分的硬币14枚、2分的硬币14枚、5分的硬币10枚．
教师自行总结
一、选择题
1．根据下面几幅图的排列规律，第四幅图是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下面的三角形是用小棒拼成的，根据图形排列的规律，第100个图形要（
）根小棒．
A．300
B．299
C．201
D．240
3．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿阅举行用火桨棒摆“金鱼”比赛，如图所示：
按照以上的规律，摆n个“金鱼”需要火柴棒的根数为（
）
A．2+6n
B．8+6n
C．4+4n
D．8n
4．按下列规律印刷笑脸图案，第8幅图案有（
）个笑脸．
A．8
B．32
C．36
5．观察图中每一个大三角形中白色的三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（
）
A．82个
B．154
C．83个
D．121个
6．一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人（如图）．像这样（
）张桌子拼起来可以坐24人．
A．9
B．10
C．11
D．12
7．对于日历表，同学们都很熟悉了吧，如图是某年10月的日历表的一部分，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想研究，这三个数的和不可能是（
）
A．30
B．42
C．54
D．62
8．笼中一共有12只鸡和兔子，共38只脚，则鸡有（
）
A．7只
B．6只
C．5只
D．4只
9．数学竞赛共有10题，做对一道的8分，做错一道（或不做）倒扣5分，小军得41分，他做错了（或不做）（
）
A．3题
B．4题
C．5题
D．2题
10．大船限乘6人，小船限乘4人，38人共租了8条船，都坐满了．租的小船（
）艘．
A．4
B．5
C．6
D．9
【答案】A
、C、A、D、D、C、D、C、A、B
二、填空题
11．用相同的小正方体，摆成图的形式（如图摆了4层）．照这样的摆放规律，如果摆6层，一共要用
个小正方体．
【答案】56
12．摆一个正方形需要4根小棒，按如图方式，摆10个正方形需要
根小棒；摆n个正方形需要
根小棒．
【答案】31，3n+1．
13．10元和5元的人民币共9张，共75元．10元有
张，5元有
张．
【答案】6，3
14．六（1）班46名同学去公园划船，一共乘坐10只船，其中大船每只坐6人，小船每只坐4人．大船有
只，小船有
只．
【答案】3，7
15．学校有象棋、跳棋共26副，2人下l副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行课外活动．象棋有
副，跳棋有
副．
【答案】9，17
三、解答题
16．淘气和笑笑用小棒按如图的顺序摆八边形．
①根据r如图填表．
八边形的数量/个
1
2
3
4
5…小棒的数量/根
8
15
22…
②如果摆成7个八边形，需要
50
根小棒．
③淘气和笑笑分别用一个式子表示出摆成的八边形数量与需要的小棒数量之间的关系，你认为谁说的对？对的画“√”．
淘气：“7n+1”
笑笑：“8n﹣1”
④当n=20时，需要
根小棒．用85根小棒能摆
个八边形．
【答案】解：根据题干分析可得：摆一个八边形用了8根小棒，
摆两个八边形需要8+7=15（根），
摆三个需要8+7×2=22（根），
①摆四个需要8+7×3=29（根）
摆五个需要8+7×4=36（根）
…
所以摆n个八边形，需要小棒8+7（n﹣1）=7n+1根；
填表如下：
八边形的数量/个
1
2
3
4
5…小棒的数量/根
8
15
222936…
②当n=7时，7×7+1=50（根）；
答：如果摆成7个八边形，需要
50根小棒；
③摆成的八边形数量与需要的小棒数量之间的关系是：n个八边形，需要小棒8+7（n﹣1）=7n+1（根）；
④当n=20时，20×7+1=141（根）；
当有85根小棒时，
7n+1=85
7n=84
n=12
答：当n=20时，需要
141根小棒．用85根小棒能摆
12个八边形．
故答案为：15；22；141；7n+1；288．
17．按规律填数．
【答案】解：56÷8=7
82=64
故答案为：
18．分析推理找规律
点数增加条数﹣﹣234总条数13610
根据上表的规律，20个点能连成
条线段，n个点能连成
条线段．
【答案】故答案为：190，．
19．接下去该怎么画？
【答案】解：
20．实验小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动．男同学每人栽了3棵，女同学每人栽了2棵，一共栽了32棵．男、女同学各有多少人？
【答案】解：假设12人全部是男同学，则女同学有
（12×3﹣32）÷（3﹣2）=4÷1=4（人）
12﹣4=8（人）
答：男同学有8人，女同学有4人．
21．仓库有1440个苹果准备装箱，现有两种规格的箱子共27个，已知每个大箱子可装苹果70个，每个小箱子可装苹果40个．问大、小箱子各需多少个？
【答案】解：假设27个箱子全是大箱子，则小箱子需：
（27×70﹣1440）÷（70﹣40）=450÷30=15（个）
所以大箱子有：27﹣15=12（个），
答：大箱子需12个、小箱子需15个．
22．笑笑的储钱罐中有5元和10元一张的人民币50张，共475元，两种人民币各多少张？（用列表法解）
【答案】解：列表如下：
5元1张3张5张10元49张47张45张总钱数495元485元475元
从表中看出5元的人民币有5张，10元的有45张；
答：5元的人民币有5张，10元的有45张．
23．六年级（一）班全体同学参加学校举办的课外兴趣小组．科技类每6人一组，艺术类每2人一组，全班共有44人，共分成10组．则参加科技类和艺术类的学生各有多少人？
【答案】解：6×10﹣44=16（人）
艺术类：16÷（6﹣2）=4（组）
4×2=8（人
）
科技类：10﹣4=6（组）
6×6=36（人）
答：参加科技类和艺术类的学生各有36人、8人．
24．学校举行环保知识抢答赛，规则是答对一题加5分，答错一题扣3分，比赛最后结果如下：
（1）小明答对了8题，答错了了5题，他最后得分是多少分？
（2）张亮共抢答了12道题，最后得了44分，他答对几题？答错几题？
【答案】解：（1）8×5﹣5×3=40﹣15=25（分），
答：他最后得分是25分
（2）答错：（12×5﹣44）÷（5+3）=16÷8=2（道）；
答对：12﹣2=10（道）；
答：他答对了10道题，答错了2道题．
1、观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式
．
（3）运用规律计算：
①1+3+5+7+…+199=__________________________________
②20092﹣20082+20072﹣20062+…+32﹣22+1
友情提示：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）如：20092﹣20082=（2009+2008）（2009﹣2008）=2009+2008．
【答案】解：（1）④1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52；
（2）1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2．
（3）1+3+5…+199=1002；
20092﹣20082+20072﹣20062+…+32﹣22+1=2009+2008+2007+2006+…+3+2+1，
=，=2019045，
故答案为：1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2．
2、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为，，，…，的矩形彩色纸片（n为大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++…+=
．
【答案】解：∵正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
∵正方形减去未贴部分的面积既是已帖部分的面积，
+++…+=1﹣，
3、用若干个棱长为1厘米的小正方体可以摆出一个长方体．如图：
（1）
按这种方式摆下去，第10个长方体的表面积是
平方厘米，如果摆成的长方体的表面积是202平方厘米，那么这个长方体排在第
个．
（2）
按这种方式摆下去，第10个长方体的表面积是
平方厘米，如果摆成的长方体的表面积是364平方厘米，那么这个长方体排在第
个．
【答案】解：（1）根据题干分析可得：第n个长方体的表面积是：4n+2个小正方体的面；
小正方体的一个面的面积为：1×1=1（平方厘米）；
所以当n=10时，长方体的表面积有：10×4+2=42，所以1×42=42（平方厘米）；
当（4n+2）×1=202时，解得：n=50（个）；
答：第10个长方体的表面积是42平方厘米，如果摆成的长方体的表面是202平方厘米，这个长方体排在第50个．
（2）根据题干分析可得：第n个长方体的表面积是：6n+4个小正方体的面；
所以当n=10时，6×10+4=64（平方厘米），
当（6n+4）×1=364时，
6n+4=364，
6n=360，
n=60，
答：第10个长方体的表面积是64平方厘米，如果摆成的长方体的表面积是364平方厘米，这个长方体排在第60个．
故答案为：（1）42；50．（2）64；60．个性化教学辅导教案
学生姓名
年
级
五年级
学
科
数学
上课时间
教师姓名
课
题
新北师大版五年级上册第17讲《图形规律与鸡兔同笼》
教学目标
1、让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，找出图形中隐藏的规律，将“图的规律”转化成“数的规律”。
2、学会用假设的方法解决“鸡兔同笼”的问题，比较各种列表法的特点，并让学生体会怎样列举更简便。
教学过程
教师活动
学生活动
1．如图的两个长方形完全相同，涂色部分的面积相比（
）
A．①=②
B．①＞②
C．①＜②
2．如图，E、F分别是长方形ABCD长、宽的中点，长方形的面积是32平方厘米，三角形AEF的面积是____________．
3．图中阴影部分的面积是
_________平方厘米．
4．求出阴影部分的面积．
5．计算阴影部分的面积．（单位：cm）
6．计算如图的面积．（单位：cm）
7．如图中间是一个正方形花坛，边长18米．在花坛四周有一条宽2米的小路，小路的面积是多少平方米？
8．如图，已知梯形的上底是15厘米，下底是30厘米，其中阴影部分面积是60平方厘米，求这个梯形的面积．
1．太和镇某小学植树小分队10人参加植树活动．男生每人栽了5棵树，女生每人栽了3棵树，一共栽了42棵树．男生有_____人．
2．鸡兔同笼，头共20个，脚共62只，其中鸡有
_
_只，兔有_
_只．
3．46人去划船，共租12只船，刚好都坐满．大船每船坐5人，小船每船坐3人．租大船
___只，小船
____只．
4．某景区在1小时内售出的20元门票和40元门票共有100张，总收入为2800元，这1小时售出了20元门票
_
张，40元门票
张．
5．聪聪参加全校“汉字大会”比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分，聪聪共抢答9题，最后得分58分．聪聪答对了_____题．
6．全班有54人去公园划船，一共租用了10只船．每只大船坐6人，每只小船坐4人，且所有的船刚好坐满．租用的大船有
___
只，租用的小船有
__
只．
7．按照如图所示的规律摆下去，第20个图形摆放的黑色棋子的个数是
___
．
8．根据如图中点的排列规律，第6幅图中共有
个点，第n幅图中共有
个点．
9．用边长为3厘米的正方形拼成长方形（如图）．
正方形的个数1234…长方形的周长（厘米）12182430…
（1）用4个正方形拼成的长方形周长是30厘米，5个正方形拼成的长方形周长是
_______厘米，n个正方形拼成的长方形的周长是
____
厘米．
（2）当拼成的长方形周长是48厘米时，需要
____
个正方形．
10．按规律在括号里画出第48个图形．
①△○○△○○△○○…
…
②●○●●○●○●●○●○●●○…
…
11．用火柴棒按如图方式搭正方形，搭1个这样的正方形需要4根火柴棒，搭10个这样的正方形需要用
根火柴棒．
知识梳理：
一、点阵中的规律：具体问题具体分析
二、鸡兔同笼问题
【导入】我国古代的数学著作《孙子算经》里，有一道著名的趣题。今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?意思是：有一笼鸡和兔，数鸡头和兔头共35个，数鸡脚和兔脚共94只，问鸡和兔各有多少只?这就是著名的鸡兔同笼问题。
1、鸡兔同笼问题的特点
鸡兔同笼问题一般是已知两个总量，求出两个部分量各是多少。
2、鸡兔同笼问题的解题方法
解决鸡兔同笼问题一般有：
（1）枚举法：采用画图，列表等方式。这种方法一般是面对初次接触此类问题的学生，且数据比较小。
（2）化归法。假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，①鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；②如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2－总头数＝兔子数。上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数。
（3）用假设法求解。
如前面的问题中，先假设它们全是鸡，于是根据鸡、兔的总数，就可以先算出在假设条件下共有几只脚，再与原有的脚数相比较，看看差多少。从差中求出兔的数量。也可以先假设成全是兔子，在差的变化中求鸡的数量。再求另一个数量是多少。
（4）方程法。
通过找等量关系构建等式，对于小学生来说，其难度还在于解方程。
其中我们常常用假设法和方程法来解决鸡兔同笼问题。
3、鸡兔同笼问题的基本关系式
（1）鸡数＝(每只兔子脚数×鸡兔总数－实际脚数)÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数)；
兔数＝鸡兔总数－鸡数；
（2）兔数＝(实际脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数－每只鸡脚数)；
鸡数＝鸡兔总数－兔数。
典例解析：
【例1】（1）观察点阵的规律，再填空，第6个点阵图中有______个点。
（2）观察下面的点阵图形,根据圆点的变化,探究其规律,则第8个图形中圆点的个数为（?）
A、25
B、?26
C、?27
D、29
（3）观察点阵，想想，第10个点阵中有（
）个点。
A、110
B、108
C、11
【例2】（1）平面内6个点最多可以连成多少条线段？8个点呢？学着下面的图画一画，数一数，你一定能发现其中的规律．
6个点最多可以连成_______条线段，8个点最多可以连成_________条线段．
点数?增加条数﹣﹣234?总数13610?
（2）我们知道连接两点得一条线段，连接不在同一直线上的三点得到一个三角形．
①完成下表：（任意三点都不在同一直线上）
平面内的点数
2
34
5
6…
线段数
1
3????
三角形个数
0
1????
②一个平面上有n个点，任意连接两个点，共有
条线段；（用含n的式子表示）
③如果n为10时，以这10个点为顶点能得到
个三角形．
（3）在指定的地方画出五条直线相交时交点最多的情况并写出此时的交点数．
列式计算：10条直线相交时，最多有多少个交点？
【例3】（1）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成。其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数是_________。
（2）摆放易拉罐，（如图）看图回答问题．
①摆两层一共有：_______________个；摆三层一共有：______________个；
摆四层一共有：
_________________
个；摆五层一共有：______________个；
摆六层一共有_________________
个．…
②用n表示摆的层数，你能总结出一个计算公式吗？
（3）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．
图②得到5个三角形，照这样图③得到
___
个三角形；按上面的方法继续下去，图10能得
_
个三角形；图n能得到
个三角形．
图16能得到________个三角形．
【例4】（1）“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，《孙子算经》中记载的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，同学们，你得出的这个古代名题的结果是（
）。
A.鸡23只，兔12只
B.鸡12只，兔23只
C.鸡14只，兔21只
（2）全班38人划船，共租了8条船，每条船都坐满了，每条大船乘6人，每条小船乘4人．大小船各租了几条？
（3）旅游团36人划小船，有5人位船和3人位船（每个船不能有空位），有多少种不同的安排？（先完成下面表格后再回答）
5
人位/船
3
人位/船
（4）10元和5元的人民币共50张，合260元，10元和5元各多少张？
【例5】（1）我班开展：“节约用水，从我做起”主题活动，共20道抢答题，答对一题得5分，答错一题扣3分，明明得了60分，他答对了几道题？
（2）一名篮球运动员在一场比赛中一共投中11个球，有2分球，也有3分球，已知这名运动员一共得了26分，他投中的2分球和3分球各得多少分？
【例6】（1）六年级同学分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组．科技类每5人一组，艺术类每3人一组，共有37名学生报名，正好分成9个组．参加科技类和艺术类的学生各有多少人？
（2）小华有1分、2分、5分的硬币共38枚，合计9角2分，已知1分与2分的硬币的枚数相等．这三种硬币各有多少枚？
教师自行总结
一、选择题
1．根据下面几幅图的排列规律，第四幅图是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下面的三角形是用小棒拼成的，根据图形排列的规律，第100个图形要（
）根小棒．
A．300
B．299
C．201
D．240
3．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿阅举行用火桨棒摆“金鱼”比赛，如图所示：
按照以上的规律，摆n个“金鱼”需要火柴棒的根数为（
）
A．2+6n
B．8+6n
C．4+4n
D．8n
4．按下列规律印刷笑脸图案，第8幅图案有（
）个笑脸．
A．8
B．32
C．36
5．观察图中每一个大三角形中白色的三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（
）
A．82个
B．154
C．83个
D．121个
6．一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人（如图）．像这样（
）张桌子拼起来可以坐24人．
A．9
B．10
C．11
D．12
7．对于日历表，同学们都很熟悉了吧，如图是某年10月的日历表的一部分，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想研究，这三个数的和不可能是（
）
A．30
B．42
C．54
D．62
8．笼中一共有12只鸡和兔子，共38只脚，则鸡有（
）
A．7只
B．6只
C．5只
D．4只
9．数学竞赛共有10题，做对一道的8分，做错一道（或不做）倒扣5分，小军得41分，他做错了（或不做）（
）
A．3题
B．4题
C．5题
D．2题
10．大船限乘6人，小船限乘4人，38人共租了8条船，都坐满了．租的小船（
）艘．
A．4
B．5
C．6
D．9
二、填空题
11．用相同的小正方体，摆成图的形式（如图摆了4层）．照这样的摆放规律，如果摆6层，一共要用
个小正方体．
12．摆一个正方形需要4根小棒，按如图方式，摆10个正方形需要
根小棒；摆n个正方形需要
根小棒．
13．10元和5元的人民币共9张，共75元．10元有
张，5元有
张．
14．六（1）班46名同学去公园划船，一共乘坐10只船，其中大船每只坐6人，小船每只坐4人．大船有
只，小船有
只．
15．学校有象棋、跳棋共26副，2人下l副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行课外活动．象棋有
副，跳棋有
副．
三、解答题
16．淘气和笑笑用小棒按如图的顺序摆八边形．
①根据r如图填表．
八边形的数量/个
1
2
3
4
5…小棒的数量/根
8
15
22…
②如果摆成7个八边形，需要
根小棒．
③淘气和笑笑分别用一个式子表示出摆成的八边形数量与需要的小棒数量之间的关系，你认为谁说的对？对的画“√”．
淘气：“7n+1”
笑笑：“8n﹣1”
④当n=20时，需要
根小棒．用85根小棒能摆
个八边形．
17．按规律填数．
18．分析推理找规律
点数增加条数﹣﹣234总条数13610
根据上表的规律，20个点能连成
条线段，n个点能连成
条线段．
19．接下去该怎么画？
20．实验小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动．男同学每人栽了3棵，女同学每人栽了2棵，一共栽了32棵．男、女同学各有多少人？
21．仓库有1440个苹果准备装箱，现有两种规格的箱子共27个，已知每个大箱子可装苹果70个，每个小箱子可装苹果40个．问大、小箱子各需多少个？
22．笑笑的储钱罐中有5元和10元一张的人民币50张，共475元，两种人民币各多少张？（用列表法解）
23．六年级（一）班全体同学参加学校举办的课外兴趣小组．科技类每6人一组，艺术类每2人一组，全班共有44人，共分成10组．则参加科技类和艺术类的学生各有多少人？
24．学校举行环保知识抢答赛，规则是答对一题加5分，答错一题扣3分，比赛最后结果如下：
（1）小明答对了8题，答错了了5题，他最后得分是多少分？
（2）张亮共抢答了12道题，最后得了44分，他答对几题？答错几题？
1、观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式
．
（3）运用规律计算：
①1+3+5+7+…+199=__________________________________
②20092﹣20082+20072﹣20062+…+32﹣22+1
友情提示：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）如：20092﹣20082=（2009+2008）（2009﹣2008）=2009+2008．
2、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为，，，…，的矩形彩色纸片（n为大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++…+=
．
3、用若干个棱长为1厘米的小正方体可以摆出一个长方体．如图：
（1）
按这种方式摆下去，第10个长方体的表面积是
平方厘米，如果摆成的长方体的表面积是202平方厘米，那么这个长方体排在第
个．
（2）
按这种方式摆下去，第10个长方体的表面积是
平方厘米，如果摆成的长方体的表面积是364平方厘米，那么这个长方体排在第
个．
