人教A版高中数学必修1第一章3.2《函数模型及其应用》同步测试（二）(word版，含详解)

《函数模型及其应用》同步测试题（二）
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（　　）
A．2000(1﹣0.2x)mg
B．2000(1﹣0.2)xmg
C．2000(1﹣0.2x)mg
D．2000?0.2xmg
2．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（
）
A．
B．
C．
D．
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（
）
A．15
B．40
C．25
D．70
4．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售15辆，则能获得最大利润为（
）万元.
A．120
B．120.25
C．114
D．118
5．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之锤,日取其半,万世不竭”.用现代语言叙述为:一尺长的木棒,每天取其一半,永远也取不完.这样,每天剩下的部分都是前一天的一半,如果把“一尺之锤”看成单位“1”,那么10天后剩下的部分是(　　).
A．
B．
C．
D．
6．某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增．第一档：月用电量为0–200千瓦时（以下简称度），每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月份应缴电费是（
）
A．210元
B．232元
C．236元
D．276元
7．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（
）
A．不增不减
B．约增1.4%
C．约减9.2%
D．约减7.8%
8．某工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外，每生产1件该产品还需要增加投资1万元,已知年产量为件,当时,年销售总收入为万元；当时,年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,要使年利润最大,则该工厂的年产量为（年利润=年销售总收入-年总投资）（
）
A．14件
B．15件
C．16件
D．17件
9．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为（
）
A.每个110元
B.每个105元
C.每个100元
D.每个95元
10．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是（
）
A．
B．
C．
D．
11．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为10000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在20或20以下，飞机票每人收费800元；若旅游团的人数多于20，则实行优惠方案，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多为75，则该旅行社可获得利润的最大值为（
）
A．12000元
B．15000元
C．12500元
D．20000元
12．在一次为期
15
天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐
40
人，已知第
t
日参加比赛的运动员人数
M
与
t
的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是(　　)
A．7
B．8
C．9
D．10
二．填空题
13．某种计算机病毒通过电子邮件进行传播，如果一台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第一轮病毒感染，那么被第4轮病毒感染的计算机有________台.
14．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．
15．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少________副.
16．放射性物质的半衰期定义为每经过时间，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质，，开始记录时容器中物质的质量是物质的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质的半衰期为7.5小时，则物质的半衰期为_____小时
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某地电信运营商推出了一种流量套餐：元包国内流量，超出后，国内流量元/，以内元封顶.假设每月使用流量不超过，写出每月应付费用（元）与使用流量之间的函数关系.（）
18．商店出售茶壶和茶杯，茶壶单价为每个20元，茶杯单价为每个5元，该店推出两种促销优惠办法：
（1）买1个茶壶赠送1个茶杯；
（2）按总价打9折付款（即按原价的90%付款）．
某顾客需要购买茶壶4个，茶杯若干个，（不少于4个），若以购买茶杯数为x个，付款数为y（元），试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？
19．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费每月用电不超过度时，按每度元计算，每月用电量超过度时，其中的度仍按原标准收费，超过的部分每度按元计算.
（Ⅰ）该月用电度时，应交电费元，写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）小明家第一季度缴纳电费情况如下：
月份
一月
二月
三月
合计
交费金额
元
元
元
元
问小明家第一季度共用电多少度？
20．某旅行社设计了一个组织旅游团包飞机去广州旅游的方案，其中旅行杜的包机费用为元，旅游团中最多能有人，并且旅游团中的人数
(单位：个）与每个人交给旅行社的费用（单位：元）的关系如下：.
（1）将旅行社的利润（单位：元）表示成旅游团中的人数的函数（注：利润=收取的费用一包机费用）；
（2）当旅游团有多少人时，旅行社的利润最大？并求出最大利润.
21．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品.已知该单位每月处理二氧化碳最少400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）若该单位每月成本(每月成本＝每月处理成本－每月可利用的化工产品价值)支出不超过105000元，求月处理量x的取值范围.
（2）该单位每月能否获利?如果能获利，求出能获得的最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少补贴多少元，才能使该单位不亏损?
22．国家收购某种农产品的价格为120元/t，其中征税标准为每100元征收8元（称税率为8个百分点），计划可收购a万t，为减轻农民负担，决定降低税率x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.
（1）写出降低税率后，税收y（万元）与x的关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不低于原计划的78%，试确定x的范围.
参考答案
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
C
C
D
C
D
D
B
D
1.【解析】由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2000mg，经过x个小时后，
药物在病人血液中的量为y＝2000×
(1﹣20%)x＝2000×0.8x
(mg)，
即y与x的关系式为
y＝2000×0.8x．
2.【解析】由题设可得，故
3.【解析】令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25．
4.【解析】设该公司在在甲地销售辆品牌车,则在乙地销售品牌车辆,
所以利润,,因为,所以或时,万元.
5.【解析】根据题意，设天后剩下的部分为，可以得到与的函数关系式为：
，则令，解得
6.【解析】依题意可得某户居民9月份的用电量是420度时,该用户9月份应缴电费为:
元.
7.【解析】设商品原始价格为1，则第一年年末的价格是120%，第二年年末的价格为120%×120%=144%，第三年年末的价格为144%×80%=115.2%，第四年年末的价格为115.2%×80%=92.16%，
所以商品四年后的价格比原始价格降低了1-92.16%=7.84%．故选D．
8.【解析】由题意可得
当时,,时,；
而当时,,所以时,所得利润最大.
9.【解析】设售价为元，
则利润
.所以当时，
最大为元.
10.【解析】当时，
即的增长速度最快
最终在最前面的物体具有的函数关系为
11.【解析】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元，
当时，，，显然当时，有最大值，最大值为；
当时，，
，
显然当时，有最大值，最大值为，故本题选B.
12.【解析】当时，函数为一次函数，单调递增，当时取得最大值，即.当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为，由于为整数，故当时取得最大值，即，故选.
二．填空题
13.【解析】第轮台，第轮台，第轮，第轮台.
14.【解析】购买手机的全球通卡120元能打的分钟数为：=175（分钟）
购买神州行卡120元能打的分钟数为：=200（分钟）
因为175＜200
所以购买神州行的卡比较合适．
15.【解析】由题知，解得，
即日产手套至少800副时才不亏本.
16.【解析】由题意得16．
又不妨设mB＝1．则mA＝2．设物质B的半衰期为t．
由题意可得：2，解得t＝8．
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.【解析】用流量x不超过200M时，应付费用为20元；当使用流量x
超过200M，且费用不超过60元时，应付费用为20＋0.25(x－200)元；
当20＋0.25(x－200)＝60时，计算得x＝360，故当使用流量x超过360M
且不超过1
024M（1G）时，应付费用为60元。
所以每月应付费用y（元）与使用流量x（M）之间的函数关系为：
18.【解析】由题意知：按（1）种优惠办法有：；
按（2）种优惠方法有：
当时，；
当时，；
当时，．
故，当时，第（1）种办法更省钱；当时，第（1）种和第（2）办法付款数一样；当时，第（2）种办法更省钱．
19.【解析】（1）当时，；
当时，．
所以所求函数式为
（2）据题意，
一月份：，得（度），
二月份：，得（度），
三月份：，得（度）．
所以第一季度共用电：（度）．
20.【解析】（1）根据题意，分求得当和对应的解析式，即可求解函数的解析式；（2）分别求出当和时，函数的最值，通过比较，即可求解旅行社利润的最大值.
试题解析：（1）当时，;
当时,,
所以.
（2）当时，;
当时,
取得最大值,.
当时，,
当时,
取得最大值.
所以当旅游团的人数为人时，旅行社的利润最大，最大利润为元.
21.【解析】（1）由题意得
所以月处理量x的取值范围为；
（2）设利润为元，,则，
所以
在单调递减，即时
因此单位每月不能获利，需国家每月至少补贴元，才能使该单位不亏损.
22.【解析】（1）调整后的税率为，调整税率后可收购农产品为万t，总价值为万元，
依题意，得.
（2）降低税率前的原税收为，依题意，
得.
整理，得.解不等式，得.
故x的取值范围是