第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.1
配方法(第2课时)
一、教学目标
1．探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤．
2．能够利用配方法解一元二次方程．
二、教学重点及难点
重点：用配方法解一元二次方程．
难点：正确理解把形式的代数式配成完全平方式．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资源
《复习配方法解二次项系数为1的一元二次方程》动画，《解方程x2＋6x＋4=0的过程》动画。
五、教学过程
【温故知新，提出问题】
1．用配方法解方程.
解：移项，得．
配方，得，即．
由此可得．
∴.
用配方法解一元二次方程的一般步骤？
此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【数学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步骤。
设计意图：通过回顾解二次项系数为1的一元二次方程的配方法，使学生掌握解决这类问题的通用方法，为下面解二次项系数不为1的一元二次方程做铺垫．
【合作探究，形成知识】
问题
解方程．
师生活动：独立分析问题，在必要的时候进行讨论．
解方程x2＋6x＋4=0的过程可以用下面的框图表示：
在学生讨论方程x2＋6x＋4=0的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把方程化为一般形式；
②把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
③方程两边同时除以二次项系数a；
④方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
⑤此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解；
⑥定解．
归纳总结：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
设计意图：通过对x2+6x+4=0的讲解，使学生明确对二次项系数是1的一元二次方程，配方时要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方，同时规范配方法解方程时的一般步骤．
【例题分析，综合应用】
例
解下列方程：
（1）；（2）．
解：（1）移项，得2x2－3x=－1.
系数化为1，得.
配方，得，即.
由此可得.
∴.
教师引导：二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即，方程两边都加上，方程可以化为.
（2）移项，得3x2－6x=－4．
系数化为1，得.
配方，得，即.
∵实数的平方不会是负数，
∴原方程无实数根.
教师引导：按照（2）的方式进行处理，但配方后右边的数为负数时，根据非负数的性质判断原方程无实数解．
归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（Ⅱ）的形式，那么就有：
（1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程（Ⅱ）无实数根.
设计意图：通过例题的讲解，让学生掌握用配方法解一元二次方程．
【练习巩固，能力提高】
1．如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（
）．
A．1
B．－1
C．1或9
D．－1或9
2．用配方法解下列方程：
（1）；
（2）.
参考答案：
1．C
2．解：（1）移项，得4x2-6x=3．
系数化为1，得．
配方，得，即．
由此可得.
∴．
（2）移项，得3x2+6x=4．
系数化为1，得．
配方，得，即.
由此可得.
∴.
设计意图：复习巩固，使学生熟练地掌握解一元二次方程的方法——配方法．
六、课堂小结
1．配方法的定义
通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解；
（6）定解.
设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生清楚重点、难点．
七、板书设计
21.2
配方法解一元二次方程
1．配方法的定义
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤第二十一章
一元二次方程
21.2解一元二次方程
21.2.1
配方法(第1课时)
一、教学目标
1．探索利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．
2．能够利用配方法解一元二次方程．
二、教学重点及难点
重点：用配方法解一元二次方程．
难点：正确理解把形式的代数式配成完全平方式．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资源
《油漆刷盒子》动画，《解方程x2＋6x＋4=0的过程》动画。
五、教学过程
【创设情景，提出问题】
问题1
一桶油漆可刷的面积为1
500
dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
师生活动：学生独立分析题意，发现若设其中一个盒子的棱长为x
dm，则这个盒子的表面积为6x2
dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程．教师引导学生找出等量关系．
设计意图：创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲．
【合作探究，形成知识】
问题2
你会解上面的一元二次方程吗？是用什么方法？
师生活动：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．
.
整理，得.
根据平方根的意义，得，即.
归纳总结：一般地，对于方程，
（Ⅰ）
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不相等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程（Ⅰ）无实数根.
设计意图：用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的方程的特点是：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即，运用直接开平方法可以解．这是后面配方转化的目标，也是对比研究的基础．
问题3
对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？
；
师生活动：独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到，于是得到．
鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的“降次”思想——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．
归纳总结：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成或的形式，那么可得或．
设计意图：通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将的形式转化为的形式，而怎样转化就成为探索的方向，如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心．
【例题分析，综合应用】
例
解方程
x2-8x+1=0．
解：移项，得x2-8x=
-1．
配方，得，即(x-4)2=15.
由此可得．
∴.
教师引导：学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中移项后可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，即(x-4)2=15．
归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（Ⅱ）的形式，那么就有：
（1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程（Ⅱ）无实数根.
设计意图：通过例题的讲解，让学生掌握用配方法解一元二次方程．
【练习巩固，能力提高】
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（
）．
A．(x-2)2+3
B．(x-2)2-3
C．(x+2)2+3
D．(x+2)2-3
2．方程x2+4x-5=0的解是________．
3．已知(x+y)(x+y+2)-8=0，求x+y的值．若设x+y=z，则原方程可变为__________，所以求出z的值即为x＋y的值，所以x+y的值为__________．
4．填空：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．用配方法解下列方程：
（1）；
（2）.
参考答案：
1．B
2．x1=1，x2=
-5
3．z2+2z-8=0，2或-4
4．解：（1）；5；（2）；6；（3）；；（4）；.
5．解：（1）移项，得x2+10x=
-9．
配方，得x2+10x+52=-9+52，即(x+5)2=16．
由此可得x+5=±4．
∴x1=-9,x2=-1．
（2）整理，得x2+2x=
-2.
配方，得x2+2x+12=-2+12，即(x+1)2=-1．
∵实数的平方不会是负数，
∴原方程无实数根.
设计意图：复习巩固，使学生熟练地掌握解一元二次方程的方法——配方法．
六、课堂小结
1．配方法的定义
通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（Ⅱ）的形式，那么就有：
（1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程（Ⅱ）无实数根.
设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生清楚重点、难点．
七、板书设计
21.2
配方法解一元二次方程
1．配方法的定义
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤
