(共30张PPT)
第2课时 集合的表示
学习目标
特别关注
1．掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)．
2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
1．表示集合的两种方法．(重点)
2．对描述法表示集合的理解．(难点)
下列集合的元素有何特点，可以用什么样的方法表示这些集合？
(1)中国的直辖市．
(2)24的所有正因数．
(3)不等式x－1≥5的解集．
(4)所有奇数的集合．
集合的表示方法
一一列举
共同特征
列举法
把集合的元素_________出来，并用花括
号“{ }”括起来表示集合的方法
描述法
用集合所含元素的_________表示集合的
方法
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1}
D．{x2－2x＋1＝0}
解析： 集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根为1，故可表示为{1}．故选B.
答案： B
2．集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
答案： A
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有非负偶数组成的集合；
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；
(3)x2－9的一次因式组成的集合；
(4)方程(x－1)(x－2)(x2－5)＝0的解组成的集合；
(5)平面直角坐标系内第三象限的所有点组成的集合；
(6)两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的交点的集合；
(7)不等式3x≥4－2x的解集．
[解题过程] (1)由x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3
所以方程x2－5x＋6＝0的解集为：{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}；
(2){x|x＝2k＋1，k≥5，k∈N}；
(3)由2－x＞6得x＜－4，
所以不等式2－x＞6的解的集合为{x|x＜－4}；
(4)绝对值小于3的整数有±2，±1,0，所以绝对值小于3的整数的集合为{－2，－1,0,1,2}
[题后感悟] (1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的类型，是数集、点集还是其他的类型．描述法多用于元素个数无限的集合．
(2)使用描述法表示集合时，要注意以下几点：
①写明该集合的代表元素及所属范围；
②表达清楚该集合中元素的共同属性；
③多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；
④所有描述的内容都要写在花括号内；
⑤用于描述的语句力求简明、准确．
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}．
(1)若A中没有任何元素，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的取值范围．
[策略点睛]切入点---集合A的含义是什么？
思考点---A中元素个数由什么来决定？
[题后感悟] 已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法的正确理解．本例中，由于集合A是方程的解集，所以转化为对方程根的讨论问题．
2.(1)本例中，若1∈A，求a的值并用列举法表示集合A；
(2)本例中，若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
(3)本例中，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【错解】 A
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1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
学习目标
特别关注
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1．并集概念中的“或”．(难点)
2．集合的交、并运算．(重点)
3．数轴或Venn图在解题中的运用.
1．集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的
__________元素都是集合B的元素．
2．若A?B，同时B?A，则A与B的关系是______.
3．空集是任何非空集合的________．
任何一个
A＝B
真子集
1．并集、交集的概念及表示法
所有属于A
或属于B
{x|x∈A或
x∈B}
名称
自然语言描述
符号语
言表示
Venn图表示
并
集
对于两个给定
集合A、B，由__________
________的元
素组成的集合
A∪B＝
__________
_______
属于集合A且
属于集合B的
所有
{x|x∈A且
x∈B}
交
集
对于两个给定集合A、B，由
____________
____________
____元素组成
的集合
A∩B＝
_________
_______
2.并集与交集的运算性质
＝
A
A
B
＝
A
?
A
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B___B∪A
A∩B___B∩A
A∪A＝__
A∩A＝__
A∪?＝__
A∩?＝__
A?B?A∪B＝__
A?B?A∩B＝__
1．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B＝( )
A．{x|x＞－2}
B．{x|x＞－1}
C．{x|－2＜x＜－1}
D．{x|－1＜x＜2}
解析： 画出数轴，如下图所示，则A∪B如阴影部分所示，故选A.
答案： A
2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝( )
A．{2,4}
B．{1,2,4}
C．{2,4,8}
D．{1,2,4,8}
答案： C
3．已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝________.
解析： A＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，
∴A∩B＝{0，－1}∩{x|x≥0}＝{0}．
答案： {0}
4．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
[题后感悟] 此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示．
1.①若本例(1)中问题改为求A∪B；
②本例(2)中，问题改为求M∩N.
解析： ①由例1中的数轴表示知A∪B＝{x|x≥1}．故选B.
②由例1中的数轴表示知M∩N＝{x|－3＜x＜5}，故选C.
答案： ①B ②C
由题目可获取以下主要信息：
①集合B非空；
②集合A不确定，且A∩B＝?.
解答本题可分A＝?和A≠?两种情况，结合数轴求解．
[题后感悟] 出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑．
2.设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．
解析： 如下图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知1＜a≤3.
3．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解析： 由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1,7}且A∩B＝C得：
7∈A,7∈B且－1∈B，
∴在集合A中x2－x＋1＝7，
解得：x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－x＋2m＝0}．若A∩B＝B，求m的取值范围．
[策略点睛] 欲求a值需求B，而求B需先化简A，又A∩B＝B的含义是什么？即B?A，讨论集合B，列方程求解．
[题后感悟] (1)已知方程解集之间的关系，如何求有关参数值？
①明确参数满足的条件，需求哪个集合，设为M；
②化简每个集合；
③由集合间的关系求出集合M，或确定某一元素属于集合M.
④求参数值．
(2)解决上述问题时需注意什么问题？
求出参数值后，务必代入集合中检验是否满足元素的互异性及其它条件．
(3)常见集合间关系的等价转换
①?
(A∩B)?A∩B≠?，?
(A∪B)?A∪B≠?；
②A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A；
③A∩B＝??A，B中没有公共元素，且A，B都有可能为?.
4.设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
5．已知集合A＝{x|－3≤x≤7}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
1．对并集概念的理解
“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x?B”；“x∈B，但x?A”；“x∈A，且x∈B”．Venn图如图．另外，在求两个集合的并集时，它们的公共元素只出现一次．
2．对交集概念的理解必须注意
(1)并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.如图．
(2)概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
(3)特别地，还有如图所示的三种情形：
3．集合的交、并运算
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
?(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
◎设集合A＝{x∈R|x2＋2x＋2－p＝0}，且A∩{x|x>0}＝?，求实数p的取值范围．
【错解】 依题意，方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数解，
因此Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.
所以实数p的取值范围为{p|p<1}．
【错因】 A∩{x|x>0}＝?，表示方程x2＋2x＋2－p＝0没有正实数解，此时等价于方程没有实数解或有非正实数解，只有正确理解这一集合语言，才能正确求解．
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第2课时 补集及综合应用
学习目标
特别关注
1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
2．熟练掌握集合的基本运算．
1．求给定集合的补集．(重点)
2．求交、并、补集的运算．(难点)
3．数形结合思想在解题中的应用.
1．已知集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y|y＝5－x2，x∈R}，则A∪B等于________．
答案： R
2．设P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q＝________.
解析： Q＝{x|－2＜x＜2}，
∴P∩Q＝{x|－2＜x＜1}．
答案： {x|－2＜x＜1}
1．全集
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_____
_____，那么就称这个集合为全集，通常记作___.
所有
元素
U
{x|x∈U，且x?A}
?UA
不属于集合A
自然语言
对于一个集合A，由全集U中_____________
的所有元素组成的集合称为集合A相对于全
集U的补集，记作_____
符号语言
?UA＝________________
图形语言
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，则?UM＝( )
?
A．{x|－2＜x＜2}
B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|x＜－2或x＞2}
D．{x|x≤－2或x≥2}
解析： M＝{x|－2≤x≤2}
则?UR＝{x|x＜－2或x＞2}，故选C.
答案： C
2．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则?UA
＝( )
A．{1,3}
B．{3,7,9}
C．{3,5,9}
D．{3,9}
答案： D
3．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析： ∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}
而A＝{x∈U|x(x＋m)＝0}，故m＝－3.
答案： －3
4．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
求?R(A∪B)及(?RA)∩B.
解析： 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵?RA＝{x|x＜3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.
已知全集U、集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B.
[解题过程]
借助Venn图，
如右图所示，
得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∵?UB＝{1,4,6,8,9}，
∴B＝{2,3,5,7}．
[题后感悟] 在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而利用A∪?UA＝U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式，故进行补集运算时，要紧扣补集定义及补集的性质来解题．
1.(1)已知全集U＝{x|x≥－2}，集合A＝{x|x＞1}，求?UA.
解析： (1)如图所示：
由图可知?UA＝{x|－2≤x≤1}．
(2)设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x＜3或x＞4}，求a，b的值．
解析： ∵A＝{x|a≤x≤b}，
∴?UA＝{x|x＜a或x＞b}，
又?UA＝{x|x＜3或x＞4}，
∴a＝3，b＝4.
设U＝R，已知集合A＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|0≤x＜7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(?UB)；(4)B∩(?UA)；(5)(?UA)∩(?UB)．
(4)如下图．
?UA＝{x|x≤－5或x≥5}，
?UB＝{x|x＜0或x≥7}
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|x≤－5或x≥7}．
[题后感悟] (1)如何求不等式解集的补集？
①将不等式的解集在数轴上标出；
②取数轴上剩余部分即为补集．
(2)求不等式解集的补集时需注意什么问题？
①实点变虚点、虚点变实点．
如A＝{x|－1≤x＜5}，则?RA＝{x|x＜－1或x≥5}；
2.(1)本例中，若将条件“A＝{x|－2解析： 把全集U和A、B集合在数轴上表示如下：
由图可知?UA＝{x|x<－4或2A∩B＝{x|－3?U(A∩B)＝{x|x≤－3或2(?UA)∩B＝{x|2(2)设全集U＝{x∈N
|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,4}
B．{1,5}
C．{2,4}
D．{2,5}
解析： U＝{x∈N
|x＜6}＝{1,2,3,4,5}
A∪B＝{1,3,5}，?U(A∪B)＝{2,4}．故选C.
答案： C
[题后感悟] 解答本题的关键是利用A??RB，对A＝?与A≠?进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．
解析： B＝{x|x＋a＜0}＝{x|x＜－a}，
?UA＝{x|x≤1}．
∵B??UA，∴－a≤1，∴a≥－1.
1．全集与补集概念的理解
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2)若x∈U，则x∈A和x∈?UA二者必居其一，不仅如此，结合Venn图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A.
2．交集、并集、补集的关系
(1)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)(如下图所示)
(2)?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)(如下图所示)
◎设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
【错解】 因为?UA＝{5}，所以5∈U且5?A，所以a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，解得a＝2或a＝－4，即实数a的值是2或－4.
【错因】 本题解答错误在于忽略了集合A的元素|2a－1|是由a确立的，事实上，当a＝2时，|2a－1|＝3，A＝{2,3}，符合题意，而当a＝－4时，A＝{9,2}，不是U的子集．
【正解】 因为?UA＝{5}，则5∈U且5?A，且|2a－1|＝3.
解得：a＝2，即a的取值是2.也可以采用错解中的步骤，最后加上错因中的验证一步.
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第一章
集合与函数的概念
1．1 集 合
1．1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
学习目标
特别关注
1．通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性．
2．体会元素与集合间的“从属关系”．
3．记住常用数集的表示符号并会应用．
1．利用集合中元素的三个特性解题．(重点)
2．常与方程、不等式等结合命题．
3．准确认识元素与集合之间的符号“∈”、“?”．(易混点)
1．自然数的集合包含：零和______；
有理数的集合包含：整数和_____．
2．到一个定点的距离等于定长的点的集合是___．
正整数
分数
圆
1．集合
(1)一般地，我们把__________统称为元素，把一些元素
组成的_____叫做集合．
(2)集合相等
只要构成两个集合的元素是_____的，我们就称这两个
集合是相等的．
(3)集合与元素的表示
通常用_____________A，B，C，…表示集合．
通常用______________a，b，c，…表示集合中的元素．
研究对象
总体
一样
大写拉丁字母
小写拉丁字母
2．元素与集合的关系
a∈A
a?A
关系
文字语言
符号
属于
a属于集合A
_____
不属于
a不属于集合A
______
3.常用数集及表示符号
有理数集
整数集
名称
非负整数集
(自然数集)
正整
数集
_______
_________
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
1．下列对象能构成集合的是( )
A．2011年高考数学试卷中所有的难题
B．平面直角坐标系中，坐标轴上的一些点
C．北京大学建校以来毕业的所有学生
D．上海所有的高楼
解析： A中难题标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；B中“平面直角坐标系中，坐标轴上的一些点”，元素不明确，故不能组成一个集合；C中的对象都是确定的而且是不同的，因而能构成集合；D中的对象高楼标准不明确，不满足确定性，故不能构成集合．
答案: C
4．以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有多少个元素？
解析：∵方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，
方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2，
∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，
共有3个元素
[解题过程]
序号
结论
理由
①
正确
满足确定性与整体性
②
错误
“高科技产品”无明确标准，构不成集合
③
错误
“近似值”无明确标准，构不成集合
④
错误
“部分女生”不是全体，不明确标准，构不成集合
[题后感悟] 判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
1.下列所给对象不能构成集合的是________．
(1)高一(6)班所有帅哥；
(2)某一班级16岁以下的学生；
(3)某学校身高超过1.80米的学生；
(4)1,2,3,1.
解析： (1)不能构成集合．“帅哥”的概念是模糊
的，不确定的，无明确的标准，故不能构成集合．
(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．
(3)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．
(4)虽然(4)中的对象具备确定性，但有两个元素1相同，不符合元素的互异性，所以(4)不能组成集合．
答案： (1)(4)
[题后感悟] (1)对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N
(N＋)N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数学的表示方法，应当熟练掌握．
(2)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
已知集合A含有三个元素1,0，a，若a2∈A，试求实数a的值．
[解题过程]： (1)若a2＝1，则a＝±1，2分
当a＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去；
当a＝－1时，集合A中有三个元素1,0，－1，符合.6分
(2)若a2＝0，则a＝0，
此时集合A中有两个相同元素0，舍去.8分
(3)若a2＝a，则a＝0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去.10分
综上可知：a＝－1.12分
[题后感悟] 根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略．另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．
3.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，
(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.
对集合中元素三个特性的认识
(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系．
◎写出方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合．
【错解】 x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a，则解集为{1，a}．
【错因】 错解没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
【正解】 x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；
若a≠1，则方程的解集为{1，a}.
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1．1.2 集合间的基本关系
学习目标
特别关注
1．理解集合之间包含与相等的含义．
2．能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系．
3．在具体情境中，了解空集的含义．
1．集合间关系的判断．(难点)
2．本节内容常与函数、不等式相结合．
3．符号“∈和?”、“a和{a}”、“{0}和?”的区别．(易混点)
1．子集、真子集、集合相等的概念
任意一个
包含
?
?
概念
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中
_________元素
都是集合B中
的元素，就说
这两个集合有
____关系，称
集合A为集合B
的子集.
A
B
(或B
A)
x∈B，且x?A
A?B且B?A
=
真子集
如果集合A?B，但存
在元素____________，
则称集合A是集合B的
真子集.
A
B
(或
B
A)
集合
相等
如果___________，那
么就说集合A与集合B
相等.
A
B
2.空集
(1)定义：_____________的集合，叫做空集．
(2)用符号表示为：___.
(3)规定：空集是任何集合的_____．
不含任何元素
?
子集
3．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的______，即_____.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么
_____.
子集
A?A
A?C
1．已知集合A＝{x|－1A．A>B
B．A
B
C．B
A
D．A?B
答案： C
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{x|x＋3＝3}
B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0}
D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
解析： 选项A所代表的集合是{0}并非空集；选项B中的属性x2＋y2＝0?x＝0，且y＝0，
选项B所代表的集合是{(0,0)}并非空集；选项C中属性x2≤0，而x2≥0，即得x2＝0?x＝0，选项C所代表的集合是{0}并非空集，
选项D中的方程x2－x＋1＝0的Δ＝1－4＝－3＜0，
即无实数根．
答案： D
3．下列各式正确的是________．
(1){a}?{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)?
{0}；
(4)0?{0}；(5){1}
{x|x≤5}；(6){1,3}
{3,4}．
解析：
题号
正误
原因
(1)
√
任何一个集合都是它本身的子集．
(2)
√
两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义．
(3)
√
空集是任何非空集合的真子集．
答案： (1)(2)(3)(5)
(4)
×
元素0是集合{0}中的一个元素，故应为0∈{0}．
(5)
√
∵1＜5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}?{x|x＜5}．
又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}?{x|x＜5}．
(6)
×
∵1∈{1,3}，但1?{3,4}，∴{1,3}?{3,4}．
“
”是“真包含于”的意思.
4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解析： ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.
已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，试判断M与P的关系．
[解题过程] 方法一：(1)对于任意x∈M，
则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，
∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，
∴x∈P，由子集定义知M?P.
(2)∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，
即a＝2∈N＋，而1?M，
因1＋a2＝1在a∈N＋时无解．
综合(1)、(2)知，M
P.
方法二：取a＝1,2,3,4，…，
可得M＝{2,5,10,17，…}，P＝{2,1,5,10,17，…}．
∴M?P.
[题后感悟] 要判断两个集合之间的关系，主要看两个集合元素之间的关系，本例中集合M中的任一元素x＝1＋a2都可以写成集合P中的元素所具有的形式(a＋2)2－4(a＋2)＋5，从而证明M?P，但要说明集合M是P的真子集，还必须在P中找到一个不在M中的元素．
1.已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，试判断M与P的关系．
解析： ∵a∈R，∴x＝1＋a2≥1，
x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1.
∴M＝{x|x≥1}，P＝{x|x≥1}．
∴M＝P.
写出满足{a，b}
A?{a，b，c，d}的所有集合A.
[解题过程] 由题设可知，一方面A是集合{a，b，
c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个．
故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，
b，c，d}．
[题后感悟] (1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键．
(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写避免发生重复和遗漏现象．
(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意?和集合本身易漏掉．
2.本例中条件改为{a，b}?A
{a，b，c，d}，求满足条件的所有集合A.
解析： 由题意知{a，b}是A的子集，A中至少有两
个元素a，b，又A是{a，b，c，d}的真子集，则A中
含有c，d两个元素中的一个．
故满足条件的集合有{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，
若A＝B，求c的值．
[策略点睛] 欲求c的值需建立关于c的方程，而集
合B中的元素含有c，集合B中的元素满足互异性，
只能建立不等关系(可求c的范围)，不能建立方程．
而条件中还有A＝B，根据集合相等则元素相同，
可建立方程，进而求c.
[题后感悟] 如何根据集合相等求参数值？
①根据含参集合中元素的互异性确定参数的范围；
②根据集合相等，即元素完全相同，列出关于参数的方程(组)；
③解方程(组)；
④结合①③，确定参数的值．
3.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．
解析： ∵A＝B，∴x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足互异性，舍去．
②当y＝0时，x＝x2，
解得x＝1或x＝0(舍去)，此时A＝{1,0}＝B，满足条件．
综上可知x＝1，y＝0.
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.求实数m的取值范围．
[题后感悟] (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为是非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．
4.已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
5．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x
＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围．
解析： A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，
∵B?A，
∴B＝?或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
(1)当B＝?时，
方程x2＋2(a＋1)x＋a2＝0无实根，
则Δ＜0，即4(a＋1)2－4(a2－1)＜0.
∴a＜－1.
1．子集、空集的概念的理解
(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合．如A＝?，则集合A不含B中的任何元素．
(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}．
2．∈与?、a与{a}、{0}与?的区别
(1)∈与?的区别：∈表示元素与集合之间的关系，因此，有∈Q，?Q等；?表示集合与集合之间的关系，因此，有Q?R，??R等．
(2)a与{a}的区别：一般地，a表示一个对象，而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集)，a是集合{a}的一个元素．因此有2∈{2}，不能写成2＝{2}．
(3){0}与?的区别：{0}是含有一个元素的集合，?是不含任何元素的集合．因此，有??{0}，不能写成?＝{0}，?∈{0}．
3．两集合相等的证明
若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、B是无限集时，欲证A＝B，只需证A?B与B?A都成立即可．
◎若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B
A，求m的值．
【错因】 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．原因是考虑不全面，由集合B的含义及B?A，忽略了集合为?的可能，而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现?的可能．
练规范、练技能、练速度
谢谢
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