2.1.2指数函数及其性质 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修一
2.1.2指数函数及其性质
一、单选题
1.若函数
是指数函数,则
的值为(???
)
A.?2??????????????????????????????????????B.?-2??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
2.不等式
的解集是（??
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
3.函数
（
且
）的图象必经过点（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
4.函数
与
在同一坐标系中的图象可能是（???
）
A.???????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????D.?
5.函数
的值域是（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
6.为了得到函数
的图象，只需把函数
的图像上所有的点（???
）
A.?向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.?向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.?向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.?向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
7.若指数函数
在
上是增函数,
则实数
的取值范围是（????
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
8.设
，?
则
（?????
）
A.?y3>y1>y2?????????????????????????B.?y2>y1>y3?????????????????????????C.?y1>y2>y3?????????????????????????D.?y1>y3>y2
9.函数
是指数函数，则
的值是（????
）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?1或3??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?1
10.设
，
，
，
，则
的大小关系为（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?.
11.若0）
A.?第一、二象限?????????????B.?第二、四象限?????????????C.?第一、二、四象限?????????????D.?第二、三、四象限
12.复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息(??
)元.（参考数据
）
A.?176???????????????????????????????????????B.?100???????????????????????????????????????C.?77???????????????????????????????????????D.?88
二、多选题
13.若指数函数
在区间
上的最大值和最小值的和为
，则
的值可能是（??
）.
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
三、填空题
14.不等式
的解集为________（用区间表示）.
15.已知函数f（x）＝ax﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为________．
16.已知函数
是指数函数，如果
，那么
________
（请在横线上填写“
”，“
”或“
”）
17.已知实数a
，
b满足等式
，下列五个关系式：
①
；②
；③
；④
；⑤
.
其中可能成立的关系式有
________.
18.若函数
(a＞0且a≠1)在定义域[m
，
n]上的值域是[m2
，
n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是________．
19.函数
的值域是________，单调递增区间是________.
四、解答题
20.比较下列各题中两个值的大小．
（1）1.82.2
，
1.83；
（2）0.7－0.3
，
0.7－0.4；
（3）1.90.4
，
0.92.4.
21.已知函数
（
且
）经过点（2，4）.
（1）求a的值;
（2）求
在[0,1]上的最大值与最小值.
22.解关于
的不等式：
.
23.设
且
，函数
在区间
上的最大值是14，求实数
的值．
24.已知函数
，
（
且
），
．
（1）求函数
和
的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数
和
的图象；
（3）如果
，请直接写出
的取值范围．
25.已知
（
）.
（1）当
，且
的解集为
，求函数
的解析式；
（2）若关于x的不等式
对一切实数恒成立，求实数
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：∵函数f（x）＝（
a﹣3）?ax是指数函数，
∴
a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，
∴f（x）＝8x
，
∴f（
）
2
，
故答案为：D．
【分析】根据指数函数的定义可得
a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x
代入可得答案．
2.答案：
D
解：因为y＝2x在R上是增函数，
，
所以2x﹣7<4x﹣1，即x>﹣3
所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，
故选D.
【分析】利用指数函数y＝2x在R上的单调性，得出关于x的不等式2x﹣7<4x﹣1，解此不等式，从而得出不等式的解集；
3.答案：
D
解：当
时，
，故函数图像必经过点
.
故答案为：D.
【分析】根据指数
直接计算得到定点.
4.答案：
A
解：由函数
易知C、D选项不正确，
对于A、B选项可知函数
为
时的图象，
但函数
的图象过
点，
而函数
的图象过
点，
所以B选项不正确，A选项正确.
故答案为：A.
【分析】先根据
的图象排除选项，再利用函数
的图象排除剩余选项即可.
5.答案：
C
解：∵2x>0,
故0≤4-2x<4,
∴函数值域为[0,2).
故答案为：C
【分析】利用指数函数的值域结合构造法求出函数
的值域。
6.答案：
D
解：首先
向右平移3个单位得到
，
再由
向下平移1个单位得到
.
故答案为：D
【分析】根据平移规律“左＋右－，上＋下－”，得到变换过程.
7.答案：
C
解：由指数函数单调性可知
，实数
的取值范围是
故答案为：C
【分析】利用指数函数的单调性求出实数
的取值范围。
8.答案：
D
解：因为
，
为单调递增函数，
所以
即y1>y3>y2
，
故答案为：D.
【分析】根据条件化为底为2的指数，再根据指数函数单调性确定大小
9.答案：
C
解：由题意
，解得
．
故答案为：C．
【分析】由已知利用指数函数的概念列式，即可求出a的值.
10.答案：
B
解：，
，
，
，
由于
，
，
，所以
，
故答案为：B．
【分析】利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小．
11.答案：
A
解：因为0又因为b＞0，把图像向上平移,即函数图象一定过第二象限,
故选A.
【分析】利用指数函数的图象与性质，得到当012.答案：
B
解：由题意，某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，
若在银行存放5年，可得金额为
元，即利息为
元，
若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时，利率可达4.01%，
若存放5年，可得金额为
元，即利息为
元，
所以将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息
元，
故答案为：B。
【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案。
二、多选题
13.答案：
A,B
解：当
时，指数函数
单调递增，
所以在区间
上的最大值
，最小值
，
所以
，求得
或者
（舍）；
当
时，指数函数
单调递减，
所以在区间
上的最大值
，，
所以
，求得
（舍）或者
.
综上所述：
或者
.
故答案为：AB
【分析】分别讨论
单增和
单减两种不同的情况即可较易求解
三、填空题
14.答案：
解：根据函数单调性可有：
，所以
【分析】由已知利用指数函数的单调性，得到，
即可求出解集.
15.答案：
解：∵函数
，其中
，?
令
可得
,
∴
,
∴点
的坐标为
，?
故答案为:
．
【分析】根据指数函数的图像恒过点
，令
可得
,可得
,从而得恒过点的坐标.
16.答案：
>
解：因为函数
是指数函数，
设
，
则
，
解得
或
（舍去）
所以
是增函数，所以
，
故答案为：
【分析】由题意设
，根据
求出解析式，即可比较
，
的大小.
17.答案：
①②⑤
解：分别画出函数
的图象，
根据实数
满足等式
,结合图象可知，
下列五个关系式：①
；②
；③
；④
；⑤
，
其中可能成立的关系式有①②⑤，
故答案为：①②⑤
【分析】分别画出函数
的图象，根据实数
满足等式
，即可判断出下列五个关系式中正确的结论.
18.答案：
(1，
)
解：由题意知：
与
的图像在(1，
)上恰有两个交点
考查临界情形：
与
切于
，
．
故答案为：
.
【分析】
在定义域[m
，
n]上的值域是[m2
，
n2]，等价转化为
与
的图像在(1，
)上恰有两个交点，考虑相切状态可求a的取值范围.
19.答案：
；
解：因为
,
所以
，
即函数
的值域是
因为
单调递减，
在（1，+
）上单调递减，
因此函数
的单调递增区间是（1，+
）.
【分析】本题利用复合函数求值域的方法求出值域，再利用求复合函数单调性的方法求出单调区间，注意复合函数单调性判断的法则，即同单调性为增函数，不同单调性为减函数。
四、解答题
20.答案：
（1）解：1.82.2
，
1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，∴1.82.2<1.83
（2）解：∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4
（3）解：∵1.90.4>1.90＝1；0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4
【分析】(1)由于两式底数相同为1.8>1,由指数函数的单调递增比较大小;
(2)由于两式底数相同为0.7<1,由指数函数的单调递减比较大小;
(3)由于两式底数相同为0.9<1,由指数函数的单调递减比较大小.
21.答案：
（1）解：将点
代入函数表达式得
，解得
.
（2）解：由（1）知
，
故函数
在
上是单调递增函数，
故最大值为
，最小值为
.
【分析】（1）将点
代入函数表达式，由此求得
的值.（2）根据指数函数单调性，求得函数
的最大值和最小值.
22.答案：
解：设
，
所以原不等式转化为
，
解得
，所以得到
，
即
，
而
单调递减，
所以得到
，
故不等式的解集为：
.
【分析】设
，将所求不等式转化为关于
的二次不等式，求出
的范围，即
的范围，再根据
单调性，求出
的取值范围.
23.答案：
解：令
，
则原函数化为
，
①当
时，
，
此时
在区间
上为增函数，
所以
，
所以
（舍）或
，
②当
时，
此时
在区间
上为增函数，
所以
，
所以
（舍）或
，
综上所述，
或
.
【分析】令
，将原函数化为
，①当
时，利用单调性得
，解得
；②当
时，利用单调性得
，解得
．
24.答案：
（1）解：∵f（﹣1）
．
∴
，∴a＝2，
所以f（x）＝2x
，
g（x）＝（
）x
（2）解：两个函数在同一坐标系的图象如图：
（3）解：由图象知当x＝0时，f（x）＝g（x），
若f（x）＜g（x），则x＜0，
即不等式的解集为（﹣∞，0）
【分析】（1）利用条件建立方程求出a的值即可求出函数的解析式（2）结合指数函数的图象和性质进行作图即可（3）结合图象，利用数形结合进行求解
25.答案：
（1）解：由
的解集为
，
可知
且
.
则
?
（2）解：
?
的解集为R.，当
时，满足题意；
当
时，由
.
综上，
【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系，即可求出实数a的值；
（2）根据指数函数的单调性，解不等式，将不等式恒成立问题转化，即可求出实数a的取值范围.
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