2.2.2对数函数及其性质 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修一
2.2.2对数函数及其性质
一、单选题
1.函数
的定义域为（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.函数
的图象过定点
（
）
A.?（1，2）??????????????????????????B.?（2，1）??????????????????????????C.?（-2，1）??????????????????????????D.?（-1，1）
3.已知
，
，
，则
、
、
的大小关系是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
4.若
，则
的取值范围是(???
)
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
5.若
，
，
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
6.函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不过(
??).
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
7.已知
，则下列结论正确的是（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
8.已知
，
，
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
9.已知
，
，则
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
10.函数
的图象可能是(?
)
A.????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????D.?
11.若
，那么实数
的取值范围是(???
)
A.?(0，1)?????????????????????????????B.?(0，
)?????????????????????????????C.?(
，1)?????????????????????????????D.?(1，＋∞)
12.已知函数
，满足
，则实数
的取值范围是（?
）
A.?(1,2)????????????????????????????????????B.?(2,3)????????????????????????????????????C.?(1,3)????????????????????????????????????D.?(2,4)
二、填空题
13.如果函数
的图象过点
，则
________.
14.函数
的定义域为________.
15.设函数
（
且
）恒过点
，则
________.
16.函数
的值域为________.
17.已知函数
和
的图像如图所示，则不等式
的解集是________
三、解答题
18.已知函数
.
（1）求函数的定义域；
（2）若
，求
的值；
（3）求证：当
时，
.
19.已知
?
（1）画出这个函数的图像
?
（2）当0f(2),利用函数图像求出a的取值范围
20.设函数
的定义域为
．
（1）若
，求
的取值范围；
（2）求
的最大值与最小值，并求出最值时对应的
的值．
21.设函数
的反函数为
，
.
（1）若
，求
的取值范围
；
（2）在（1）的条件下，设
，当
时，函数
的图像与直线
有公共点，求实数
的取值范围.
22.已知函数
且
．
（1）当
时求
的值域；
（2）设
，若方程
有实根，求
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：要使函数有意义，则
，
解得
且
，
所以函数定义域为
.
故答案为：A
【分析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解.
2.答案：
D
解：因为函数
必过点
，
所以当
时，有
，
所以函数
必过点
.
故答案为：D
【分析】根据对数函数
必过点
，即可确定相应函数图象所过定点坐标.
3.答案：
C
解：
函数
为减函数，则
.
函数
为增函数，则
.
下面来比较
与
的大小关系，
即比较
与
的大小关系，即比较
与
的大小.
，
，
因此，
.
故答案为：C.
【分析】比较
、
与
的大小，可得出
，
，再比较
与
的大小关系，可得出
、
、
三个数的大小关系.
4.答案：
B
解：
，则满足：
解得
故答案为：
【分析】根据题目条件得到不等式
计算得到答案.
5.答案：
C
解：因为
，
，
，
所以
，
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的单调性可得
，
，
，进而可得结果.
6.答案：
D
解：因为
，所以对数函数
经过点（1,0），经过第一、四象限，
函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数
的图象向左平移2个单位，
所以函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不经过第四象限.
故答案为：D
【分析】函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数
的图象向左平移2个单位，即得解.
7.答案：
C
解：对于A：因为
，所以
，
所以得到
，再换底公式可得
，所以错误；
对于B：
，
，
，
从而得到
，所以错误；
对于C：∵
，∴
在
上单调递减，
由
得，
；
∵
，∴
在
上单调递增，
由
得，
，∴
，正确；
对于D：设函数
，求导得
，
所以
时
，
单调递减；
时
，
单调递增；
因为
，所以存在
时，
，
即
，此时
，所以错误，
故答案为：C．
【分析】利用对数的换底公式，指数函数和幂函数的单调性，以及函数
的单调性，分别对四个选项进行研究，从而得到答案.
8.答案：
C
解：由对数函数比较底数大小口诀：
在第一象限，图像越靠近
轴，则底数越小
所以可知
，
而
，
又
在定义域单调递增，所以
，
且
，
所以
，
由
在
上单调递增，所以
，
所以
，故
，
故答案为：C
【分析】根据
，将
，利用对数函数的单调性，可得
大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.
9.答案：
D
解：由题意
，
，
，
又
，
，
易知
，
，
，即
，
∴
，又
，∴
，
故答案为：D．
【分析】利用t的取值范围结合对数函数的单调性和特殊值1对应的对数，再利用2x,3y,5z与1的大小关系，从而推出2x,3y,5z的大小关系。
10.答案：
D
解：函数
是奇函数，排除A，C；
当
时，
，对应点在x轴下方，排除B；
故答案为：D．
【分析】根据奇偶性的定义，判断函数为奇函数，结合图象的对称性及函数的取值逐一排除即可.
11.答案：
B
解：当
时，
，显然不适合题意；
当
时，由
可得：
，
即
，
故答案为：B
【分析】讨论
，
，结合对数函数的图象与性质得到结果.
12.答案：
A
解：函数
的定义域为
，
由
可得：
，
两边平方：，
则
（1）或
（2）
解（1）得：
无解
，解（2）得：
，
所以实数
的取值范围是：
；
故答案为：A
【分析】首先求出函数的定义域，把
代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案。
二、填空题
13.答案：
解：由于函数
的图象过点
，则
，得
，
且
，因此，
.
故答案为：
.
【分析】将点的坐标代入对数函数解析式，利用对数式化指数式可求出实数
的值.
14.答案：
解：由题意可得，
，
解得，
，
故答案为
．
【分析】由题意可得，
，解不等式可求．
15.答案：
解：
经过定点
，故
故答案为：
【分析】根据函数过定点得到
，计算得到答案.
16.答案：
解：
且
???
值域为：
故答案为：
【分析】把已知对数函数变形整理，得到，
利用且
?
，即可求出函数的值域.
17.答案：
解：函数
的定义域为
，
（1）当0＜x＜1时，f（x）＜0，g（x）＞0，
＜0，不符合；
（2）当1≤x＜2时，f（x）≥0，g（x）＞0，
≥0，符合；
（3）当x＞2时，f（x）＞0，g（x）＜0，
＜0，不符合；
所以解集是
，
故答案为
.
【分析】首先根据题意得出函数的定义域为
，
分析当0＜x＜1时，得出＜0，不符合题意；当1≤x＜2时符合题意；当x＞2时，不符合，由此得出不等式解集。
三、解答题
18.答案：
（1）解：由
，
得函数的定义域为
.
（2）解：
，即
，
∴
，∴
且
，∴
.
（3）解：∵
，，
∴
时，
，
又∵
，
∴
.
【分析】（1）利用真数大于零列出不等式组，其解为
，它是函数的定义域.（2）把方程
化为
后得到
，故
.（3）分别计算
就能得到
.
19.答案：
（1）解：如图：
?
（2）解：令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log32|，解得a=
或a=2.
从图像可知，当0＜a＜
时，满足f(a)＞f(2)，
所以a的取值范围是{a|0＜a＜
}
【分析】（1）根据函数解析式，函数
在上单调递增，且过定点（1,0），将
的图像在（0,1）的部分翻折，由此画出函数图像。
（2）首先令
f(a)=f(2)，代入函数中求出a的值，结合图像得出a的取值范围。
20.答案：
（1）解：
的取值范围为区间
（2）解：记
．
∵
在区间
是减函数，在区间
是增函数
∴当
即
时，
有最小值
；
当
即
时，
有最大值
．
【分析】（1）由已知函数的
定义域为
，即可求出
的取值范围
.
（2）先构造函数，
再利用二次函数的单调性，即可求出对数函数的最值及对应的
的值
.
21.答案：
（1）解：
?
不等式为
，
∴
，
解得
，∴
；
（2）解：
.
∴
.
当
时，
单调递增，∴
单调递增，
∴
，因此当
时满足条件.
【分析】（1）根据题意结合已知条件得出
，再利用对数函数的定义域和单调性得出不等式组，求解得出x的取值；
（2）根据已知条件得出
，进而分析得出
当
时
，
单调递增
，根据函数的值域得出当
时满足，即
。
22.答案：
（1）解：
，
函数
是单调增函数，
，
所以函数
的值域为
。
（2）解：函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
因为方程
有实根，
所以
在
有实根，
即
在
有实根，
化简整理得，方程
在
上有解
,?
设
对称轴
.
?①
即
，
因为
且
在
为增函数，
所以方程
在
无解.
②
，即
，
则
，解得
?，
综上
.
【分析】（1）根据复合函数的单调性，结合函数的定义域，即可求出函数的值域；
（2）对a的取值分类讨论，根据方程有实根，即可求出a的取值范围.
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