2.3幂函数 同步练习（含解析）
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人教新课标A版
必修一
2.3幂函数
一、单选题
1.下列函数为幂函数的是（??
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
2.已知函数
是在
上单调递增的幂函数，则
（??
）
A.?0或4????????????????????????????????????????B.?0或2????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?2
3.已知幂函数
的图象过点
，且
，则a的取值范围是（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
4.若函数f(x)是幂函数，且满足
，则
的值为（??
）
A.?－3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
5.已知幂函数
的图象过点
，则
的值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.已知幂函数
的图象过
，则下列求解正确的是（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
7.如图所示的曲线是幂函数
在第一象限内的图象.已知
分别取
，l，
，2四个值，则与曲线
、
、
、
相应的
依次为（??
）
A.?2，1，
，
???????????B.?2，
，1，
???????????C.?，1，2，
???????????D.?，1，2，
8.若函数
是幂函数，且其图象过点
，则函数
的单调增区间为（
??）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
9.已知函数
，其中
，若函数
为幂函数且其在
上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则
（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
10.若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）?）
A.?（–∞，0）∪（1，+∞）????????????????B.?（0，1）????????????????C.?（–∞，0）????????????????D.?（1，+∞）
11.下列命题中：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小。其中正确的是（?????
）
A.?①和④????????????????????????????????B.?④和⑤????????????????????????????????C.?②和③????????????????????????????????D.?②和⑤
12.已知幂函数
的图象不过原点，则
的值为（??
）
A.?0?????????????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?0或2
13.函数
的大致图象是
???
A.????????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????D.?
14.已知
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
15.函数
是幂函数，对任意的
，且
，满足
，若
，且
，则
的值(
??)
A.?恒大于0??????????????????????????????B.?恒小于0??????????????????????????????C.?等于0??????????????????????????????D.?无法判断
二、填空题
16.已知幂函数
的图象过点
，则此幂函数的解析式是
________.
17.已知关于
的函数
是幂函数，则
________．
18.设
，若
为偶函数，则
________．
19.设幂函数
的图像经过点
，则
________．
20.幂函数
在
时为减函数，则m=________。
三、解答题
21.比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）2.3
，2.4
；
（2），
；
（3）(－0.31)
，0.35
.
22.已知幂函数
的图象经过点(2,8)．
（1）试确定m的值；
（2）求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数a的取值范围．
23.已知幂函数
的图象过点
和
．
（1）求
的值；
（2）若函数
在区间
上的最大值比最小值大
，求实数
的值．
24.已知幂函数
在
上单调递增.
（1）求实数
的值；
（2）若
，求实数
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：由幂函数的定义
可知，
故答案为：A
【分析】由已知利用幂函数的定义分别判断各选项，即可得结果.
2.答案：
C
解：∵f（x）是幂函数，
∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣4m+2＞0，
则当m＝0时，2＞0成立，
当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，
故选C．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．
3.答案：
B
解：已知幂函数
的图象过点
，
则
，则
，
故幂函数
的解析式为
，若
，
则
，解得
或
.
故答案为：B.
【分析】求出幂函数解析式，根据函数单调性求解不等式.
4.答案：
D
解：设
，则由
，得
.
所以
，故
.
故答案为：D.
【分析】设出幂函数的一般形式，从而把
转化为关于幂指数的方程，解出幂指数后可求
.
5.答案：
B
解：设幂函数的表达式为
，则
，解得
，
所以
，则
.
故答案为：B.
【分析】利用幂函数图象过点
可以求出函数解析式，然后求出
即可。
6.答案：
A
解：∵幂函数y＝xα的图象过点（2，
），
∴
2α
，
解得α
，
故f（x）
，即
，
故答案为：A
【分析】利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误.
7.答案：
A
解：幂函数在区间
上，图象“指大图低”，所以从上至下依次为
，
对应曲线有
.
故选：A
【分析】由幂函数的图象性质，在区间
上，图象“指大图低”，观察得答案.
8.答案：
B
解：由题意得：
，解得：
，
故
，
将
代入函数的解析式得：，解得：
，
故
，
令
，解得：
，
故
在
递增，
故答案为：B．
【分析】分别求出m，a的值，求出函数
的单调区间即可．
9.答案：
A
解：因为函数
为幂函数,所以
,所以
,
又因为函数
在
上是单调递增函数,所以
,
所以
,
因为
,所以
.
当
时,函数
为奇函数,不合题意,舍去.
当
时.
为偶函数,符合题意.
所以
.
故答案为：
.
【分析】根据幂函数的概念和性质列式可解得.
10.答案：
D
解：设幂函数的解析式是f（x）=xα
，
将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得α=
>0，
又函数
f（x）在定义域是[0，+∞），
且f（x）在[0，+∞）递增，故
，解得x>1．
故答案为：D．
【分析】先根据幂函数f（x）的图象过点（16，8）求出α=
>0，再根据幂函数的单调性得到0，
解不等式即得不等式的解集.
11.答案：
D
解：当
时，不过(0,0)点，①错误；
当
时，
，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对；
当
时，
中
，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；
在(?∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是增函数，④错；
幂函数
，当
时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小，⑤对.
故答案为：D.
【分析】利用幂函数的图象特征结合幂函数的单调性，从而找出正确命题的序号。
12.答案：
A
解：
函数是幂函数，
?，解得：
或
，
当
时，
，过原点，不满足条件；
当
时，
，不过原点，满足条件，
.
故答案为：A.
【分析】根据函数是幂函数可知
，得出：
或
，然后验证，得到
的值.
13.答案：
A
解：由题意得，
，所以函数的定义域为
，
因为
，根据幂函数的性质，可知函数
在第一象限为单调递减函数，
故答案为：A．
【分析】由已知幂函数，得到函数的定义域为
，
利用幂函数的图象在第一象限单调递减，即可判断函数的大致图象.
14.答案：
D
解：由幂函数的单调性可知
而
，所以
.
故答案为：
【分析】根据幂函数的单调性得到
，再判断
得到答案.
15.答案：
A
解：因为对任意的
，且
，满足
，
所以幂函数
在
上是增函数，
，解得
，则
，
∴函数
在
上是奇函数，且为增函数.
由
，得
，
，
?
，
故答案为：A.
【分析】根据题意及幂函数的基本性质求得m，得到幂函数,该函数为奇函数且单调递增，代入数据计算，即可得出答案。
二、填空题
16.答案：
解：设
，因为
的图象过点
，
所以
，即
，
，解得
，因此
.
故答案为
.
【分析】设函数
，将点
的坐标代入函数
的解析式，求出
的值，即可得出函数
的解析式.
17.答案：
解：关于
的函数
是幂函数，则
.
【分析】由已知利用幂函数的概念，得到，
即可求出m的值.
18.答案：
解：由题可知，
时，
，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；
当时，不满足f(-x)=f(x),
．
故答案为：
．
【分析】将不同的值代入，逐一验证即可.
19.答案：
解：由题意得
【分析】利用已知条件幂函数的图象经过点
，借助代入法和幂函数的定义求出k和a的值，从而求出k+a的值。
20.答案：
2
解：因为
是幂函数，
所以
=1，故m=2或m=-1，
又幂函数
在
时为减函数，
所以-5m-3<0，所以m=2．
【分析】由已知函数是幂函数列式，得到m=2或m=-1，结合函数的单调性，即可判断m的值.
三、解答题
21.答案：
（1）解：∵y＝
为R上的增函数，
又2.3<2.4，∴2.3
<2.4
；
（2）解：∵y＝
为(0，＋∞)上的减函数，又
<
，
∴(
)
>(
)
；
（3）解：∵y＝
为R上的偶函数，
∴
＝
.
又函数y＝
为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，
∴0.31
<0.35
，即(－0.31)
<0.35
.
【分析】(1)结合幂函数的单调性的定义即可得出结论。(2)根据幂函数的单调性的的定义即可得出结论。(3)利用幂函数的单调性以及偶函数的性质即可得出结论。
22.答案：
（1）解：由题得
或m=-2(舍)；
（2）解：由题得
,
在R上单调递增,
由f(2-a)>f(a-1)可得
.
【分析】（1）由已知利用幂函数的解析式列式，即可求出m的值；
（2）由已知利用幂函数的单调性列式，即可求出a的取值范围.
23.答案：
（1）解：因为幂函数
的图象过点
，
所以
，解得
，
所以
，
又点
也在幂函数上
，
所以
；
（2）解：由（1）知，
，
①当
时，函数
在区间
上单调递增，
由题意可得：
，
解得
；
②当
时，函数
在区间
上单调递减．
∴
，
解得
．
综上所述，
或
．
【分析】（1）先由幂函数
的图象过点
，求出解析式，再由图像过点
，即可求出结果；（2）先由题意得到
，分别讨论
，
两种情况，根据对数函数单调性，即可求出结果.
24.答案：
（1）解：因为
是幂函数，
所以
，解得
或
，
又因为
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
.
（2）解：由于
在区间
都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当
，即
时，原不等式成立；
②当
且
时，有
，即
，解集为空集；
③当
且
时，有
，即
，
∴
综上所述：
的取值范围是
.
【分析】（1）由幂函数的定义可得
，再利用
在
上单调递增，即可得出
范围；（2）由于
在区间
，
上都是减函数，且
，分三种情况讨论，即可得出．
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精品试卷·第
2
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（共
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必修一
2.3幂函数
一、单选题
1.下列函数为幂函数的是（??
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
2.已知函数
是在
上单调递增的幂函数，则
（??
）
A.?0或4????????????????????????????????????????B.?0或2????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?2
3.已知幂函数
的图象过点
，且
，则a的取值范围是（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
4.若函数f(x)是幂函数，且满足
，则
的值为（??
）
A.?－3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
5.已知幂函数
的图象过点
，则
的值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.已知幂函数
的图象过
，则下列求解正确的是（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
7.如图所示的曲线是幂函数
在第一象限内的图象.已知
分别取
，l，
，2四个值，则与曲线
、
、
、
相应的
依次为（??
）
A.?2，1，
，
???????????B.?2，
，1，
???????????C.?，1，2，
???????????D.?，1，2，
8.若函数
是幂函数，且其图象过点
，则函数
的单调增区间为（
??）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
9.已知函数
，其中
，若函数
为幂函数且其在
上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则
（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
10.若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）
A.?（–∞，0）∪（1，+∞）????????????????B.?（0，1）????????????????C.?（–∞，0）????????????????D.?（1，+∞）
11.下列命题中：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小。其中正确的是（?????
）
A.?①和④????????????????????????????????B.?④和⑤????????????????????????????????C.?②和③????????????????????????????????D.?②和⑤
12.已知幂函数
的图象不过原点，则
的值为（??
）
A.?0?????????????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?0或2
13.函数
的大致图象是
???
A.????????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????D.?
14.已知
，则（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
15.函数
是幂函数，对任意的
，且
，满足
，若
，且
，则
的值(
??)
A.?恒大于0??????????????????????????????B.?恒小于0??????????????????????????????C.?等于0??????????????????????????????D.?无法判断
二、填空题
16.已知幂函数
的图象过点
，则此幂函数的解析式是
________.
17.已知关于
的函数
是幂函数，则
________．
18.设
，若
为偶函数，则
________．
19.设幂函数
的图像经过点
，则
________．
20.幂函数
在
时为减函数，则m=________。
三、解答题
21.比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）2.3
，2.4
；
（2），
；
（3）(－0.31)
，0.35
.
22.已知幂函数
的图象经过点(2,8)．
（1）试确定m的值；
（2）求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数a的取值范围．
23.已知幂函数
的图象过点
和
．
（1）求
的值；
（2）若函数
在区间
上的最大值比最小值大
，求实数
的值．
24.已知幂函数
在
上单调递增.
（1）求实数
的值；
（2）若
，求实数
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：由幂函数的定义
可知，
故答案为：A
【分析】由已知利用幂函数的定义分别判断各选项，即可得结果.
2.答案：
C
解：∵f（x）是幂函数，
∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣4m+2＞0，
则当m＝0时，2＞0成立，
当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，
故选C．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．
3.答案：
B
解：已知幂函数
的图象过点
，
则
，则
，
故幂函数
的解析式为
，若
，
则
，解得
或
.
故答案为：B.
【分析】求出幂函数解析式，根据函数单调性求解不等式.
4.答案：
D
解：设
，则由
，得
.
所以
，故
.
故答案为：D.
【分析】设出幂函数的一般形式，从而把
转化为关于幂指数的方程，解出幂指数后可求
.
5.答案：
B
解：设幂函数的表达式为
，则
，解得
，
所以
，则
.
故答案为：B.
【分析】利用幂函数图象过点
可以求出函数解析式，然后求出
即可。
6.答案：
A
解：∵幂函数y＝xα的图象过点（2，
），
∴
2α
，
解得α
，
故f（x）
，即
，
故答案为：A
【分析】利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误.
7.答案：
A
解：幂函数在区间
上，图象“指大图低”，所以从上至下依次为
，
对应曲线有
.
故选：A
【分析】由幂函数的图象性质，在区间
上，图象“指大图低”，观察得答案.
8.答案：
B
解：由题意得：
，解得：
，
故
，
将
代入函数的解析式得：，解得：
，
故
，
令
，解得：
，
故
在
递增，
故答案为：B．
【分析】分别求出m，a的值，求出函数
的单调区间即可．
9.答案：
A
解：因为函数
为幂函数,所以
,所以
,
又因为函数
在
上是单调递增函数,所以
,
所以
,
因为
,所以
.
当
时,函数
为奇函数,不合题意,舍去.
当
时.
为偶函数,符合题意.
所以
.
故答案为：
.
【分析】根据幂函数的概念和性质列式可解得.
10.答案：
D
解：设幂函数的解析式是f（x）=xα
，
将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得α=
>0，
又函数
f（x）在定义域是[0，+∞），
且f（x）在[0，+∞）递增，故
，解得x>1．
故答案为：D．
【分析】先根据幂函数f（x）的图象过点（16，8）求出α=
>0，再根据幂函数的单调性得到0
解不等式即得不等式的解集.
11.答案：
D
解：当
时，不过(0,0)点，①错误；
当
时，
，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对；
当
时，
中
，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；
在(?∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是增函数，④错；
幂函数
，当
时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小，⑤对.
故答案为：D.
【分析】利用幂函数的图象特征结合幂函数的单调性，从而找出正确命题的序号。
12.答案：
A
解：
函数是幂函数，
?，解得：
或
，
当
时，
，过原点，不满足条件；
当
时，
，不过原点，满足条件，
.
故答案为：A.
【分析】根据函数是幂函数可知
，得出：
或
，然后验证，得到
的值.
13.答案：
A
解：由题意得，
，所以函数的定义域为
，
因为
，根据幂函数的性质，可知函数
在第一象限为单调递减函数，
故答案为：A．
【分析】由已知幂函数，得到函数的定义域为
，
利用幂函数的图象在第一象限单调递减，即可判断函数的大致图象.
14.答案：
D
解：由幂函数的单调性可知
而
，所以
.
故答案为：
【分析】根据幂函数的单调性得到
，再判断
得到答案.
15.答案：
A
解：因为对任意的
，且
，满足
，
所以幂函数
在
上是增函数，
，解得
，则
，
∴函数
在
上是奇函数，且为增函数.
由
，得
，
，
?
，
故答案为：A.
【分析】根据题意及幂函数的基本性质求得m，得到幂函数,该函数为奇函数且单调递增，代入数据计算，即可得出答案。
二、填空题
16.答案：
解：设
，因为
的图象过点
，
所以
，即
，
，解得
，因此
.
故答案为
.
【分析】设函数
，将点
的坐标代入函数
的解析式，求出
的值，即可得出函数
的解析式.
17.答案：
解：关于
的函数
是幂函数，则
.
【分析】由已知利用幂函数的概念，得到，
即可求出m的值.
18.答案：
解：由题可知，
时，
，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；
当时，不满足f(-x)=f(x),
．
故答案为：
．
【分析】将不同的值代入，逐一验证即可.
19.答案：
解：由题意得
【分析】利用已知条件幂函数的图象经过点
，借助代入法和幂函数的定义求出k和a的值，从而求出k+a的值。
20.答案：
2
解：因为
是幂函数，
所以
=1，故m=2或m=-1，
又幂函数
在
时为减函数，
所以-5m-3<0，所以m=2．
【分析】由已知函数是幂函数列式，得到m=2或m=-1，结合函数的单调性，即可判断m的值.
三、解答题
21.答案：
（1）解：∵y＝
为R上的增函数，
又2.3<2.4，∴2.3
<2.4
；
（2）解：∵y＝
为(0，＋∞)上的减函数，又
<
，
∴(
)
>(
)
；
（3）解：∵y＝
为R上的偶函数，
∴
＝
.
又函数y＝
为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，
∴0.31
<0.35
，即(－0.31)
<0.35
.
【分析】(1)结合幂函数的单调性的定义即可得出结论。(2)根据幂函数的单调性的的定义即可得出结论。(3)利用幂函数的单调性以及偶函数的性质即可得出结论。
22.答案：
（1）解：由题得
或m=-2(舍)；
（2）解：由题得
,
在R上单调递增,
由f(2-a)>f(a-1)可得
.
【分析】（1）由已知利用幂函数的解析式列式，即可求出m的值；
（2）由已知利用幂函数的单调性列式，即可求出a的取值范围.
23.答案：
（1）解：因为幂函数
的图象过点
，
所以
，解得
，
所以
，
又点
也在幂函数上
，
所以
；
（2）解：由（1）知，
，
①当
时，函数
在区间
上单调递增，
由题意可得：
，
解得
；
②当
时，函数
在区间
上单调递减．
∴
，
解得
．
综上所述，
或
．
【分析】（1）先由幂函数
的图象过点
，求出解析式，再由图像过点
，即可求出结果；（2）先由题意得到
，分别讨论
，
两种情况，根据对数函数单调性，即可求出结果.
24.答案：
（1）解：因为
是幂函数，
所以
，解得
或
，
又因为
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
.
（2）解：由于
在区间
都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当
，即
时，原不等式成立；
②当
且
时，有
，即
，解集为空集；
③当
且
时，有
，即
，
∴
综上所述：
的取值范围是
.
【分析】（1）由幂函数的定义可得
，再利用
在
上单调递增，即可得出
范围；（2）由于
在区间
，
上都是减函数，且
，分三种情况讨论，即可得出．
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精品试卷·第
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