3.1.1方程的根与函数的零点 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教新课标A版
必修一
3.1.1方程的根与函数的零点
一、单选题
1.函数
的零点是（???
）
A.?1，2?????????????????B.?-1，-2?????????????????C.?（1，0）、（2，0）?????????????????D.?（-1，0）、（-2，0）
2.方程
的解所在区间为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.函数
的零点所在的区间是（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
4.若函数
在区间
上存在零点，则常数a的取值范围为（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
5.设α，β是方程
的两根，则
的值为（???
）
A.?8????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?-8????????????????????????????????????????D.?
6.用二分法计算
在
内的根的过程中得：
，
，
，则方程的根落在区间（????
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
7.已知定义在
上的函数
的图像是连续的，且有如下对应值表，那么
一定存在零点的区间是（???
）
1
2
3
5.1
4.2
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
8.方程
的解所在的区间是(??
)
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
9.已知函数
，则函数
的零点个数为(???
)
A.?4???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
10.若定义在R上的偶函数
满足
，且
时，
，则函数
的零点个数是（??
）
A.?2个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?6个???????????????????????????????????????D.?8个
11.函数
零点的个数是（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
12.已知函数
，若函数
有两个零点，则实数
的取值范围为(???
)
A.????????????????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.函数
的一个零点是
，则另一个零点是________.
14.设
表示不超过实数
的最大整数(如
，
)，则函数
的零点个数为________.
15.函数
的零点所在区间为
(n,n+1),n
∈
Z，则
n
=
________.
16.已知函数
是定义在R上的偶函数，且当
时，
．
若关于
的方程
有四个不同的实数解，则实数
的取值范围是________．
17.已知函数
的零点位于区间
内，则实数
的取值范围是________.
18.已知函数
，若关于
的方程
有8个不同根，则实数
的取值范围是________．
三、解答题
19.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
20.已知函数
的零点是
和
，求函数
的零点．
21.已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，方程有一正一负两根。
22.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
（1）求g[f(1)]的值；
（2）若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
23.已知函数
（1）求
的零点；
（2）若
有两个零点，求实数
的取值范围.
（3）若
有三个零点，求实数
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：由题意,令
,解得
或
,
即函数
的零点是1,2.
故答案为：A.
【分析】令
,求解即可.
2.答案：
B
解：取
，则函数单调递增，
，
，
故函数在
上有唯一零点，即
的解所在区间为
.
故答案为：
.
【分析】取
，则函数单调递增，根据零点存在定理计算得到答案.
3.答案：
C
解：因为
单调递增，且是连续函数，
故函数
至多有一个零点，
因为
，，
所以
，
所以函数
的零点所在区间是
,
故选C．
【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．
4.答案：
C
解：函数
在区间
上为增函数，
∵
，
，
可得
故选：C
．
【分析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知
，解不等式即可求得a
的取值范围.
5.答案：
A
解：由题意可知
，得
，
故答案为：A
【分析】利用韦达定理得到
，代入计算得到答案.
6.答案：
D
解：用二分法计算
在
内的根的过程中得：
，
，
，
而方程的根就是函数的零点，
根据函数零点的存在性定理可得方程的根落在区间
内，
故答案为：D.
【分析】首先根据题中所给的条件，
，
，
，根据函数零点存在性定理求得结果.
7.答案：
C
解：因为
，
，
，
所以
，
又函数
在
上连续，由函数零点存在定理，可得：
在区间
上必有零点.
故答案为：C
【分析】根据函数零点存在定理，结合题中数据，即可得出结果.
8.答案：
D
解：方程
的解所在的区间即函数
的零点所在的区间，
由于：
，
，
，
，
，
结合函数零点存在定理可得函数零点所在区间为
.
故答案为：D.
【分析】由题意结合零点存在定理确定方程的解所在的区间即可.
9.答案：
B
解：令
，则可得
，
当
时，即可得
，解得
；
当
时，即可得
，解得
.
则
，或
，或
当
时，
令
，解得
，不满足题意；
令
，解得
，满足题意；
令
，解得
，满足题意.
当
时，
令
，解得
或
(舍)；
令
，整理得
，
解得
或
满足题意；
令
，整理得
或
满足题意.
综上所述，函数零点有
共计
个.
故答案为：B.
【分析】令
，求得
的根，再求
的根，则问题得解.
10.答案：
D
解：
是定义在
上的偶函数，且
时，
，
当
时，
，
又
满足
，
所以
是周期为2的偶函数，且
，
令
，
，
设
，则
为偶函数，
所以
的零点的个数为
与
在
上交点个数的两倍，
画出
在
图象，
可得
与
在
上交点个数为4个，
所以
零点为8个.
故答案为：D.
【分析】根据已知可得
是周期为2的偶函数，令
，转化为求出
图象与
的图象交点的个数，画出函数图象即可求解.
11.答案：
B
解：函数
零点的个数，
即方程
的根的个数，
所以只需求函数
和函数
交点的个数
在同一坐标系中分别作出函数
和函数
的图像.
如图所示，函数
和函数
交点有1个.
故答案为：B
【分析】求函数
和函数
交点的个数，数形结合可得结论．
12.答案：
D
解：令
，即
，
又因为
，
所以
，即
，
所以
，即
，
因为函数
有两个零点，
则
有两个零点，即
与
有两个交点，
所以
，即
或
，
显然
的解集为
，
无解，
故选：D
【分析】令
，可得
，代入解析式可得
，从而可得
，只需
，解不等式即可.
二、填空题
13.答案：
解：依题意得：
，则
解得
.
所以
的两根为1，-6，故1为函数的另一个零点.
故答案为：1
【分析】由已知函数的零点列式，解得
，
得到函数的解析式，即可求出函数的另一个零点.
14.答案：
2
解：函数
的零点即方程
的根，
函数
的零点个数，即方程
的根的个数.
.
当
时，
.
当
时，
或
或
（舍）.
当
时，
，
方程
无解.
综上，方程
的根为
，1.
所以方程
有2个根，即函数
有2个零点.
故答案为：2.
【分析】函数
的零点即方程
的根，由
可得
.分
、
和
讨论，求出方程
的根，即得函数
的零点个数.
15.答案：
2
解：因为
,
所以
,
由函数零点存在定理知函数
在区间(2,3)上有零点,所以
.
故答案为:2
【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.
16.答案：
解：因为函数
是定义在R上的偶函数且当
时，
，
所以函数
图象关于
轴对称，作出函数
的图象：
若方程
有四个不同的实数解，
则函数
与直线
有4个交点，
由图象可知：
时，即有4个交点.
故m的取值范围是
，
故答案为：
【分析】若方程
有四个不同的实数解，则函数
与直线
有4个交点，作出函数
的图象，由数形结合法分析即可得答案．
17.答案：
（0,1）
解：由题意,令
,得
,
因为
,所以
,故
.
故答案为:
.
【分析】结合零点的概念,可得
,然后由
,可求得
的取值范围,进而可得到
的取值范围.
18.答案：
解：函数
的图像如图所示，
因为
，
所以关于
的方程
在
上有2个根．
令
，则方程
在
上有2个不同的正解，
所以
，解得
．
【分析】利用分段函数的图象结合换元法，再利用一元二次方程中的判别式法和正解与在端点处的函数值的关系，从而利用交集的运算法则结合数轴，从而求出实数b的取值范围。
三、解答题
19.答案：
（1）解：令
，解得
，所以函数
的零点是
；
（2）解：令
，由于
，
所以方程
无实数根，所以函数
不存在零点；
（3）解：令
，解得
，所以函数
的零点是
；
（4）解：令
，解得
，所以函数
的零点是
.
【分析】(1)根据题意利用零点的定义即可得出结论。(2)结合二次函数的性质可求出判别式小于零所以方程
x2
+
2
x
+
2
=
0
无实数根，所以函数
f
(
x
)
=
x2
+
2
x
+
2
不存在零点.(3)根据题意利用零点的定义即可求出结果。(4)根据题意利用零点的定义即可得出结果。
20.答案：解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
，解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)，
要求其零点，令log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0
【分析】由函数的两个零点存在，分别求出m,n，结合对数函数的基本性质：当真数等于1时，函数值为0，即可得出答案。
21.答案：解：因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得，
解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．
【分析】根据方程的根与函数零点的关系，判别式>0，两根积<0.联立方程组解出a即可.
22.答案：
（1）解：利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
（2）解：令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，
易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，
作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，
由图象可知，当1≤a<
时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，
即所求a的取值范围是
.
【分析】由题意可得函数y=g[f（x）]与函数y=a有4个交点，结合图象可得实数a的取值范围．根的存在问题相对来说是零点里头最重要的一个点，也是比较常考的点，一般都是以中档题的形式在选择题里出现，在解这种题的时候，做出函数图象是首要选择，然后根据图形去寻找答案．
23.答案：
（1）解：当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
，
的零点是
，
（2）解：依题意
有两个零点，等价于函数
与
有两个交点，
画出函数
的图象如下图：
由图可知
解得
故若
有两个零点，则
.
（3）解：
在
，
上单调递增，值域是
，
，
在
上单调递增，值域为
，如图：
令
，若
有三个零点，
有两个根，
，
，
要使
有一个交点，若
，有2个交点．
，
．
【分析】（1）分
和
两种情况，代入解析式解方程可得零点；（2）函数
有两个零点，等价于函数
与
有两个交点，画出函数
的图象，数形结合即可求出实数
的取值范围.（3）令
，若
有三个零点，
有两个根，
，
，要使
有一个交点，若
，有2个交点.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)