3.1.2用二分法求方程的近似解 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修一
3.1.2用二分法求方程的近似解
一、单选题
1.关于用二分法求近似解的精确度
的说法，正确的是(
??)
A.?越大，零点的精确度越高????
?B.?越大，零点的精确度越低
C.?重复计算次数就是
??????????????????????????????????????????D.?重复计算次数与
无关
2.若函数
的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
那么方程
的一个近似根（精确度0.1）为（??
）．
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
3.是我们熟悉的无理数，在用二分法求
的近似值的过程中，可以构造函数
，我们知道
，所以
，要使
的近似值满足精确度为0.1，则对区间
至少二等分的次数为（??
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
4.某同学用二分法求方程
的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在
之间，他用二分法操作了7次得到了方程
的近似解，那么该近似解的精确度应该为（
??）
A.?0.1???????????????????????????????????B.?0.01???????????????????????????????????C.?0.001???????????????????????????????????D.?0.0001
5.下列函数图象与
轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（??
）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
6.函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内的零点个数是（??
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
7.方程ex=2﹣x的根位于（??
）
A.?（﹣1，0）??????????????????????????B.?（0，1）??????????????????????????C.?（1，2）??????????????????????????D.?（2，3）
8.在利用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中，若f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，则方程的根会出现在下列哪一区间内（?
）
A.?（1，1.5）??????????????????????B.?（1.5，1.75）??????????????????????C.?（1.75，2）??????????????????????D.?不能确定
二、填空题
9.用二分法求方程
在区间
内的近似解，经过________次二分后精确度能达到
.
10.用二分法研究函数
的零点时，第一次经计算
，
，第二次应计算________的值．
11.函数
的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是________．
12.已知函数f（x）=2x+
x﹣5在区间（n，n+1）（n∈N+）内有零点，则n=________．
三、解答题
13.已知函数f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1．
（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）．
f（1）=﹣1
f（1.5）=1
f（1.25）=﹣0.40625
f（1.375）=0.18359
f（1.3125）=﹣0.13818
f（1.34375）=0.01581
14.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10
km的线路，电线杆的间距为100
m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.
15.设正有理数a1是
的一个近似值，令a2=1+
，求证：
（1）介于a1与a2之间；
（2）a2比a1更接近于
．
16.已知函数f（x）=ex+4x﹣3．
（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的零点，并用二分法求函数f（x）零点的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.25≈1.3，e0.375≈1.45）；
（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，试求实数a的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：B
解：由精确度
的定义知，
越大，零点的精确度越低．
故答案为:B.
【分析】二分法中精确度ε
是控制的高低的,
ε
越大，零点的精确度越低．
2.答案：
C
解：由函数
为增函数，
由参考数据可得
,
且
,
所以当精确度
时,可以将
作为函数
零点的近似值,
也即方程
根的近似值．
故答案为：C．
【分析】先研究函数
，再利用函数的单调性，结合二分法求函数零点，由参考数据可得
,且
,可得解．
3.答案：
B
解：设对区间（1，2）至少二等分n次，此时区间长为1，
第1次二等分后区间长为
，
第2次二等分后区间长为
，
第3次二等分后区间长为
，
则第n次二等分后区间长为
，
依题意得
＜0.1，即2n＞10∴n≥4，即n=4为所求．
故答案为：B．
【分析】利用二分法结合已知条件得出对区间
至少二等分的次数.
4.答案：
B
解：令
，则用计算器作出
的对应值表：
由表格数据知，用二分法操作
次可将
作为得到方程
的近似解，，
近似解的精确度应该为0.01，
故答案为：B.
【分析】根据题意构造函数f(x)
利用计算器对应图表，代入数值求出结果即可。
5.答案：
D
解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
由图象可得，只有D不能满足此条件，
故答案为：D．
【分析】根据题意由图像利用二分法的定义，结合选项的函数图像即可得出结果。
6.答案：B
解：∵函数f（x）=ex+x﹣2在区间（0，1）内单调递增，
∵f（0）=1+1﹣3=﹣1＜0，且f（1）=e+1﹣3＞0，∴f（0）f（1）＜0，
∴函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点，
故答案为：B
【分析】利用二分法的定义可得函数f（x）=ex+x﹣3在区间（0，1）内有唯一的零点.
7.答案：B
解：设f（x）=ex+x﹣2，
则f（0）=1﹣2=﹣1＜0，
f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，
所以根据零点存在性定理，在区间（0，1）上函数f（x）存在一个零点，
即程ex=2﹣x的根位于（0，1）．
故选B．
【分析】设函数f（x）=ex+x﹣2，根据根的存在性定理进行判断即可．
8.答案：
B
解：∵f（1.5）?f（1.75）＜0，
由零点存在定理得，方程的根落在区间（1.5，1.75）．
故选B．
【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，它们异号，依据是零点存在定理即可得出结论．
二、填空题
9.答案：7
解：区间
的长度为1，当7次二分后区间长度为
.
故答案为:7.
【分析】二分法求方程的近似解时,每一次将区间减半,从而由精确度得到次数.
10.答案：
解：由二分法的解题步骤可得，第一次经计算得
，
，
得到函数
在
上存在零点，
第二次应计算区间
的中点值，即需要求
的值．
故答案为：
．
【分析】由已知判断函数
在
上存在零点，再利用二分法，即可求出第二次应计算的值.
11.答案：（0，3）
解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，
解得：0＜a＜3，
故实数a的取值范围是（0，3），
故答案为：（0，3）
【分析】由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．
12.答案：2
解：由f（2）=4+
﹣5=﹣
＜0，f（3）=8+
﹣5＞0及零点定理知，f（x）的零点在区间（2，3）上，两端点为连续整数，
∴零点所在的一个区间（n，n+1）（k∈Z）是（2，3），∴n=2，
故答案为：2．
【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．
三、解答题
13.答案：
解：（1）证明：∵f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1，
∴f（1）=﹣1＜0，f（2）=7＞0，
∴f（1）?f（2）=﹣7＜0
且f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1在（1，2）内连续，
所以f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）由（1）知，f（x）=2x3﹣x2﹣3x+1在（1，2）内存在零点，
由表知，f（1）=﹣1，f（1.5）=1，
∴f（1）?f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上，
∵f（1.25）=﹣0.40625，∴f（1.25）?f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上，
∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25）?f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上，
∵f（1.3125）=﹣0.13818，∴f（1.3125）?f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上，
∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125）?f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上，
由于|1.34375﹣1.3125|=0.03125＜0.1，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，
所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．
【分析】（1）根据函数零点存在定理即可判断（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确答案．
14.答案：解：如图所示，
首先从AB线路的中点C开始检查，
当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；
再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；
再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．
要把故障可能发生的范围缩小到100
m左右，查7次就可以了.
【分析】这是二分法在实际问题中的应用.由精确度得到次数.
15.答案：
（1）证明：a2﹣
=1+
﹣
=
，
∵若a1＞
，∴a1﹣
＞0，而1﹣
＜0，
∴a2＜
∵若a1＜
，∴a1﹣
＜0，而1﹣
＜0，
∴a2＞
，
故
介于a1与a2之间；
（2）证明：|a2﹣
|﹣|a1﹣
|
=
﹣|a1﹣
|
=|a1﹣
|×
，
∵a1＞0，
﹣2＜0，|a1﹣
|＞0，
∴|a2﹣
|﹣|a1﹣
|＜0
∴|a2﹣
|＜|a1﹣
|
∴a2比a1更接近于
【分析】（1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论，（2）利用作差法，判断即可得到a2比a1更接近于
.
16.答案：
解：（Ⅰ）由f（x）=ex+4x﹣3，得f′（x）=ex+4＞0，
f（x）在[0，1]上单调递增，
∵f（0）=﹣2，f（1）=e+1＞0，f（0）?f（1）＜00，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一零点，
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下
由上表可知区间[0.25，0.5]的长度为0.25，
所以该区间的中点x2=0.375，到区间端点距离小于0.2，
因此可作为误差不超过0.2的一个零点的近似值．
∴函数f（x）零点的近似值x≈0.375
（Ⅱ）当x≥1时，由f（x）≥ax，即，
令则
∵x≥1，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）min=g（1）=e+1，
∴a的取值范围是a≤e+1．
解：【分析】对第（Ⅰ）问要先根据题意判断函数在相应区间上的单调性，再有端点的函数值对比即可获得解的唯一性，然后再根据二分法的步骤逐次进行范围缩小，再结合所给信息即可获得问题的解答；对第（Ⅱ）首先将恒成立问题游离参数，转化为求函数的最小值问题即可．
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