3.2.1几类不同增长的函数模型 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教新课标A版
必修一
3.2.1几类不同增长的函数模型
一、单选题
1.给出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x0
，
当x＞x0时，就有（?
）
A.?f（x）＞g（x）＞h（x）???????????????????????????????????B.?h（x）＞g（x）＞f（x）
C.?f（x）＞h（x）＞g（x）???????????????????????????????????D.?g（x）＞f（x）＞h（x）
2.已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax
，
当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜
，则实数a的取值范围是（?
）
A.?∪[2，+∞）??????????????????????????????????????B.?∪（1，4]
C.?∪（1，2]??????????????????????????????????????????D.?∪[4，+∞）
3.下列函数中，增长速度最快的是（　　）
A.?y=20x???????????????????????????????B.?y=x20???????????????????????????????C.?y=log20x????????????????????????????????D.?y=20x
4.池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（???
）
A.?第
天????????????????????????????B.?第
天????????????????????????????C.?第
天????????????????????????????D.?第
天
5.下列说法正确的是（?
）
A.?函数y=f（x）的图象与直线x=a可能有两个交点
B.?函数y=log2x2与函数y=2log2x是同一函数
C.?对于[a，b]上的函数y=f（x），若有f（a）?f（b）＜0，那么函数y=f（x）在（a，b）内有零点
D.?对于指数函数y=ax（a＞1）与幂函数y=xn（n＞0），总存在一个x0,当x＞x0时，就会有ax＞xn
6.三个变量
，
，
随着变量
的变化情况如下表：
?
?
则关于
分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(?
??
)
A.?，
，
?????????????????B.?，
，
?????????????????C.?，
，
?????????????????D.?，
，
7.某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（　　）
A.?200只??????????????????????????????????B.?300只?????????????????????????????????C.?400只????????????????????????????????D.?500只
8.a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是
f1（x）=x2
，
，
f3（x）=log2x，f4（x）=2x
，
如果运动的时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（　　）
A.?a???????????????????????????????????????????B.?b???????????????????????????????????????????C.?c?????????????????????????????????????????????D.?d
9.f（x）=x2
，
g（x）=2x
，
h（x）=log2x，当x∈（4，+∞）时，三个函数增长速度比较，下列选项中正确的是（　　）
A.?f（x）＞g（x）＞h（x）???????????????????????????????????B.?g（x）＞f（x）＞h（x）
C.?g（x）＞h（x）＞f（x）???????????????????????????????????D.?f（x）＞h（x）＞g（x）
10.在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
﹣1.01
0.01
0.98
2.00
则x、y最合适的函数是（　　）
A.?y=2x?????????????????????????????B.?y=x2﹣1?????????????????????????????C.?y=2x﹣2??????????????????????????????D.?y=log2x
11.下列函数关系中，可以看着是指数型函数y=kax（k∈R，a＞0且a≠1）模型的是（　　）
A.?竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）．
B.?我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系．
C.?如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系．
D.?信件的邮资与其重量间的函数关系．
12.某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（m2）与时间t（月）之间的函数关系是y=at﹣1（a＞0，且a≠1），它的图象如图所示．
给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5m2；
②到第7个月浮草的面积一定能超过60m2
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到4m2
，
16m2
，
64m2所经过时间分别为t1
，
t2
，
t3
，
则t1+t2＜t3
，
其中所有正确命题的序号是（?
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
二、填空题
13.试探究下列三个函数，当x足够大后，其增长速度最快的是________?
①y=10x3②y=100?lgx③y=．
14.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：
，
，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），
有以下结论：
①当x＞1时，甲走在最前面；
②当x＞1时，乙走在最前面；
③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为________
（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．
15.地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，
现有三种价格模拟函数：
①f（x）=p?qx；②f（x）=px2+qx+1；③f（x）=x（x﹣q）2+p．
（以上三式中p、q均为常数，且q＞1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依此类推）．
（1）为准确研究其价格走势，应选________?种价格模拟函数．
（2）若f（0）=4，f（2）=6，预测该果品在________?月份内价格下跌．（5月、6月）
三、解答题
16.函数f（x）=2x和g（x）=x3的部分图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A（x1
，
y1），B（x2
，
y2），且x1＜x2
．
（Ⅰ）请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？
（Ⅱ）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由；
（Ⅲ）结合函数图象示意图，请把f（6），g（6），f（2011）、g（2011）四个数按从小到大的顺序排列．
17.20世纪90年代，气候变化专业委员会向政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2体积分数增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x（即当年数与1989的差）的关系，模拟函数可选用二次函数f（x）=px2+qx+r（其中p，q，r为常数）或函数
g（x）=abx+c（其中a，b，c为常数，且b＞0，b≠1），
（1）根据题中的数据，求f（x）和g（x）的解析式；
（2）如果1994年大气中的CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：画出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）的示意图：
观察图象发现，指数函数g（x）=ax（a＞1）的函数值增长速度最快，
其次是幂函数f（x）=xn（n＞0），最后是对数函数h（x）=logax（a＞1）．
根据它们增长的快慢，则一定存在正实数x0
，
当x＞x0时，就有g（x）＞f（x）＞h（x）．
故选D．
【分析】先分别画出三种函数模型：f（x）=xn（n＞0），g（x）=ax（a＞1）和h（x）=logax（a＞1）的示意图．观察图象发现，指数函数g（x）=ax（a＞1）的函数值增长速度最快，其次是幂函数f（x）=xn（n＞0），最后是对数函数h（x）=logax（a＞1）．根据它们增长的快慢从而得出结论．
2.答案：C
解：由题意可知，ax＞
在（﹣1，1）上恒成立，
令y1=ax
，
y2=
，由图象知：
0＜a＜1时a1≥
=
，即
≤a＜1；
当a＞1时，a﹣1≥
=
，可得1＜a≤2．
∴
≤a＜1或1＜a≤2．
故选
C．
【分析】由题意可知，ax＞
在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax
，
y2=
，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．
3.答案：
A
解：指数函数增长速度最快，
故选A．
【分析】由题意，指数函数增长速度最快．
4.答案：
D
解：因为每天增加一倍，
且第30天时，刚好被浮萍盖满，
所以可知，第29天时，刚好覆盖池塘的一半.
故答案为：D.
【分析】由题意，每天可增加原来的一倍，第30天时，刚好被浮萍盖满，所以第29天覆盖一半.
5.答案：
D
解：A：函数y=f（x）中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，
∴函数y=f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点．（A）就不对了．
B：由于两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，错；
C：根据零点存在性定理知，要求函数f（x）在区间[a，b]上连续才行，故其不正确；
故选D．
【分析】对于A：函数是特殊的映射，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，
函数y=f（x）的图象也是．
对于B：从函数的定义域出发考虑即可；
对于C：注意应用零点存在性定理的条件；
对于D：从对数函数、指数函数与幂函数的增长差异角度考虑即可．
6.答案：
C
解：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较，
可知对数函数的增长速度越来越慢，变量
随
的变化符合此规律；
指数函数的增长速度越来越快，
随
的变化符合此规律；
幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，
随
的变化符合此规律，
故答案为：C.
【分析】根据题意结合图表的数值利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
7.答案：
A
解：由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），这种动物第2年有100只，
∴100=alog3（2+1），∴a=100，
∴y=100log3（x+1），
∴当x=8时，y=100
log3（8+1）=100×2=200．
故选A．
【分析】根据这种动物第2年有100只，先确定函数解析式，再计算第8年的繁殖数量即可．
8.答案：
D
解：根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数，
当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体，
即一定是第四种物体，
故选D．
【分析】指数函数是一个变化最快的函数，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体，即一定是第四种物体．
9.答案：
B
解：∵f（x）=x2
，
g（x）=2x
，
h（x）=log2x，
∴f'（x）=2x，g'（x）=2xln2，h'（x）=，
当x＞4时，2xln2＞2x＞，
∴g'（x）＞f'（x）＞h'（x），
故三个函数的增长速度为g（x）＞f（x）＞h（x）．
故选B．
【分析】先对三个函数分别求导，然后根据x的范围判断导函数的大小关系，进而可判断其对应函数的增长速度的快慢．
10.答案：
D
解：根据x=0.50，y=﹣0.99，代入计算，可以排除A；
根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C；
将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意
故选D．
【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．
11.答案：
B
解：解：A：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，
信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；
B：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；
C：如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，
是反比例函数关系；
D：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．
故选B．
【分析】根据实际问题中的数量关系及指数型函数y=kax的模型，逐一判断．
12.答案：
A
解：根据图象过点（2，2）可知点（2，2）适合y=at﹣1即2=a
∴函数关系是y=2t﹣1，
令t=0时，y=
=0.5，故①正确；
令t=7时，y=26=64＞60，故②正确；
当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，
每月增加的面积不相等，故③不正确；
分别令y=4、16、64，解得t1=3，t2=5，t3=7，t1+t2＞t3
，
故④不正确．
其中所有正确命题的序号是：①②
故选A．
【分析】先根据图象经过点（2，2）求出a，代入函数的解析式，即可求出底数a，进而即可求出这个指数函数的表达式；然后对各个选择支进行逐一判断即可．令t=0时，y=
=0.5即可对①进行判断；对于②，将t=7代入函数的解析式，即可求出第7个月时浮萍的面积；对于③，当t=1时，和当t=2时，计算这两个月增加的面积；分别将y=4、16、64分别代入函数解析式，求出对应的t值，即可对于④进行判断．
二、填空题
13.答案：③
解：当x足够大时，函数y=10x3
，
是幂函数，其增长速度相比较不是最快的；
函数y=100?lgx，是对数函数，其增长速度相比较是最慢的；
函数y=，
是指数函数，且底数大于1，其增长速度相比较是最快的．
故答案为：③．
【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，即可判断出正确的结果．
14.答案：③④⑤
解：路程fi（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：
，
，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），
它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．
当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；
当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，
当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，
从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；
指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，
最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，
可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．
故答案为：③④⑤．
【分析】分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．
15.答案：③；5月、6月
解：（1）因为f（x）=pqx是单调函数，f（x）=px2+qx+1，只有两个单调区间，
不符合题设中的价格变化规律；
在f（x）=（x﹣1）（x﹣q）2+p中，f′（x）=3x2﹣4qx+q2
，
令f′（x）=0，得x=q，x=，
即f（x）有两个零点，
可以出现两个递增区间和一个递减区间，符合题设中的价格变化规律，
所以应选f（x）=x（x﹣q）2+p为其成绩模拟函数．
（2）①由f（0）=4，f（2）=6，得
得
f（x）=x3﹣6x2+9x+4（1≤x≤12，且x∈Z）．
由f′（x）=3x2﹣12x+9≤0得：1≤x≤3，
由题意可预测该果品在5、6月份内价格下跌．
故答案为：（1）③；（2）5月、6月．
【分析】（1）欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x（x﹣q）2+p为其成绩模拟函数．
（2）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．
三、解答题
16.答案：
（I）图象C1对应的函数：g（x）=x3；
图象
C2对应的函数：f（x）=2x
．
（II）记h（x）=f（x）﹣g（x），由h（1）=1，h（2）=﹣4，
由h（1）?h（2）＜0，得x1∈[1，2]，∴a=1．
同理：h（9）=﹣217，h（10）=24，h（9）?h（10）＜0，可得x2∈[9，10]，∴b=9．
（III）由两个函数的图象及两个函数的增长速度的快慢可得，f（6）＜g（6）＜g（2011）＜f（2011）．
【分析】（I）由幂函数和指数函数的增长的特点知，当自变量取值足够大时，2x远大于
x3
，
故g（x）=x3
，
f（x）=2x
．
（II）由h（1）?h（2）＜0，得x1∈[1，2]，
由h（9）?h（10）＜0，可得x2∈[9，10]，从而得出a，b的值．
（III）由两个函数的图象及两个函数的增长速度的快慢可得，当自变量取值足够大时，2x远大于
x3
．
17.答案：
解：（1）根据题中的数据，
得：和，
解得：和，
∴，
（2）∵f（5）=15，g（5）=17.25，…（8分）f（5）更接近于16，
∴选用作为模拟函数较好.
【分析】（1）利用二次函数的解析式为f（x）=px2+qx+r，由已知得出关于p，q，r的方程组，或对函数y=a?bx+c由已知得出a，b，c的方程，得出其函数式，从而求得其解析式；
（2）根据（1），得出x=5时的函数值，最后根据1994年大气中的CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，决定选择哪一个函数式较好．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)