2.4.1 解直角三角形（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
2.4 解直角三角形
第1课时
知识梳理
知识点1 直角三角形中边角之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，可得下列边角关系:
（1）三角形的三边关系: a2＋b2＝____________。
（2）锐角之间的关系:∠A＋∠B＝____________。
（3）边角之间的关系:sinA＝cosB＝__________； cosA＝sinB＝__________ ；tanA＝__________。
知识点2 解直角三角形的定义
定义:由直角三角形中已知的元素，求出其他所有___________________的过程，叫做解直角三角形。
说明 （1）解直角三角形时，知道的两个元素中至少有一个是边。（2）解直角三角形时，应当先作图，然后结合图形，根据已知条件选择合适的关系式，并尽可能地使用题目中的原始数据进行计算。
知识点3 已知两条边解直角三角形
（1）已知一直角边和斜边解直角三角形，如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝2，c＝2，则b＝＝________＝_________，由sinA＝＝_________，可求出∠A＝_________。
（2）已知两直角边解直角三角形，如图2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝1，b＝，可得c＝＝___________＝___________，由 tanA＝＝_________，可求出∠A＝_________。
考点突破
考点 已知两边长度解直角三角形
典例1 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形。
思路导析: 已知斜边c和一条直角边a，则b＝；由sinA＝，求出∠A，则∠B＝90°－∠A.
解:∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴b＝＝＝4.
∵sinA＝＝，∴∠A＝45°。∴∠B＝90°－45°＝45°。
友情提示 本例题是已知一条直角边和斜边解直角三角形的基本题目，先利用勾股定理求出第三边，然后再用适当的三角函数求出对应的锐角，最后利用互余关系求出另一个锐角。
变式1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°已知a＝2，c＝4，解这个直角三角形。
典例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝3，b＝3，解这个直角三角形。
思路导析: 已知两直角边a，b，则c＝；由tanA＝，求出∠A，则∠B＝90°－∠A。
解:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵a＝3，b＝3，∴c＝＝＝6.
∵tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°。
友情提示 本例题是已知两条直角边解直角三角形的基本题目，先利用勾股定理求出第三边，然后利用已知的两边选择适当的三角函数求出对应的锐角，最后利用互余关系求出另一个锐角当然，用勾股定理求边较为复杂时，也可以先用恰当的三角函数求某一锐角。
变式2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝2，b＝2，解这个直角三角形。
巩固提高
1.在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则cosB等于（ ）
A. B. C. D.
2.若菱形中较长的对角线与边长的比为:1，则菱形的较小角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
B. C. D.
4.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，4），那么sina的值是（ ）
B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件，解直角三角形。
（1）a＝10，b＝10；
（2）a＝2，c＝4.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝－1，b＝3－，解这个三角形。
7.若菱形ABCD的周长为24 cm，面积为18 cm2，求菱形最小内角.
体验中考
1.（2019·宜昌）如图所示，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
B. C. D.
2.（2019·鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝__________。
3.（2018·眉山）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，BA，CD相交于点O，则tan∠AOD＝__________。
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）c2 （2）90? （3）
知识点2:未知元素
知识点3:（1） 2 45? （2） 2 30°
考点突破
1，解:在Rt△ABC中，∠C＝90?，∵a＝2，c＝4，∴b＝＝＝2.
∵sinA＝，∴∠A＝60?.∴ ∠B＝90°－∠A＝90?－60?＝30?。
2.解:∵在 Rt△ABC中， ∠C＝90?，∴c＝＝＝4.
∵tanA＝，∴∠A＝60?，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30?.
巩固提高
1. B 2.C 3. A 4.C
5，解:（1）c＝20， ∠B＝60?，∠A＝30?；
（2）b＝2，∠A＝∠B＝45?.
6，解:∵ tanB＝，∴∠B＝60?，∠A＝30?.
∵sinA＝，∴c＝.
7，菱形最小内角为30?。
体验中考
1. D 2. 或 3. 2
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第二章 直角三角形的边角关系
2.4 解直角三角形
第1课时
知识梳理
知识点1 直角三角形中边角之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，可得下列边角关系:
（1）三角形的三边关系: a2＋b2＝____________。
（2）锐角之间的关系:∠A＋∠B＝____________。
（3）边角之间的关系:sinA＝cosB＝__________； cosA＝sinB＝__________ ；tanA＝__________。
知识点2 解直角三角形的定义
定义:由直角三角形中已知的元素，求出其他所有___________________的过程，叫做解直角三角形。
说明 （1）解直角三角形时，知道的两个元素中至少有一个是边。（2）解直角三角形时，应当先作图，然后结合图形，根据已知条件选择合适的关系式，并尽可能地使用题目中的原始数据进行计算。
知识点3 已知两条边解直角三角形
（1）已知一直角边和斜边解直角三角形，如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝2，c＝2，则b＝＝________＝_________，由sinA＝＝_________，可求出∠A＝_________。
（2）已知两直角边解直角三角形，如图2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝1，b＝，可得c＝＝___________＝___________，由 tanA＝＝_________，可求出∠A＝_________。
考点突破
考点 已知两边长度解直角三角形
典例1 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形。
思路导析: 已知斜边c和一条直角边a，则b＝；由sinA＝，求出∠A，则∠B＝90°－∠A.
解:∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴b＝＝＝4.
∵sinA＝＝，∴∠A＝45°。∴∠B＝90°－45°＝45°。
友情提示 本例题是已知一条直角边和斜边解直角三角形的基本题目，先利用勾股定理求出第三边，然后再用适当的三角函数求出对应的锐角，最后利用互余关系求出另一个锐角。
变式1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°已知a＝2，c＝4，解这个直角三角形。
典例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝3，b＝3，解这个直角三角形。
思路导析: 已知两直角边a，b，则c＝；由tanA＝，求出∠A，则∠B＝90°－∠A。
解:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵a＝3，b＝3，∴c＝＝＝6.
∵tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°。
友情提示 本例题是已知两条直角边解直角三角形的基本题目，先利用勾股定理求出第三边，然后利用已知的两边选择适当的三角函数求出对应的锐角，最后利用互余关系求出另一个锐角当然，用勾股定理求边较为复杂时，也可以先用恰当的三角函数求某一锐角。
变式2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝2，b＝2，解这个直角三角形。
巩固提高
1.在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则cosB等于（ ）
A. B. C. D.
2.若菱形中较长的对角线与边长的比为:1，则菱形的较小角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
B. C. D.
4.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3，4），那么sina的值是（ ）
B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件，解直角三角形。
（1）a＝10，b＝10；
（2）a＝2，c＝4.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝－1，b＝3－，解这个三角形。
7.若菱形ABCD的周长为24 cm，面积为18 cm2，求菱形最小内角.
体验中考
1.（2019·宜昌）如图所示，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
B. C. D.
2.（2019·鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝__________。
3.（2018·眉山）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，BA，CD相交于点O，则tan∠AOD＝__________。
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）c2 （2）90? （3）
知识点2:未知元素
知识点3:（1） 2 45? （2） 2 30°
考点突破
1，解:在Rt△ABC中，∠C＝90?，∵a＝2，c＝4，∴b＝＝＝2.
∵sinA＝，∴∠A＝60?.∴ ∠B＝90°－∠A＝90?－60?＝30?。
2.解:∵在 Rt△ABC中， ∠C＝90?，∴c＝＝＝4.
∵tanA＝，∴∠A＝60?，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30?.
巩固提高
1. B 2.C 3. A 4.C
5，解:（1）c＝20， ∠B＝60?，∠A＝30?；
（2）b＝2，∠A＝∠B＝45?.
6，解:∵ tanB＝，∴∠B＝60?，∠A＝30?.
∵sinA＝，∴c＝.
7，菱形最小内角为30?。
体验中考
1. D 2. 或 3. 2
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