2.4.2 解直角三角形（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
2.4 解直角三角形
第2课时
知识梳理
知识点1 已知斜边和一个锐角解直角三角形
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知C＝2，∠B＝30?，可得:
∠A＝90°－_______＝_______；由sinB＝，可求出b＝__________。
知识点2 已知一直角边和一个锐角解直角三角形
（1）如上图所示，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，已知b＝3，∠B＝30°，可得:∠A＝90?－________＝________；由tanB＝，可求出a＝__________。
（2）如上图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a，∠B，则b＝__________，c＝__________。
考点突破
考点1 已知斜边和一个锐角解直角三角形
典例1 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝6，A＝45°，解这个直角三角形。
思路导析: 已知c，∠A，求a的值时，可选择函数关系式sinA＝，得出a＝c·sinA；求b的值时，可选择函数关系式cosA＝，得出b＝c·cosA.也可利用勾股定理求b。
解:∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°。
∵sinA＝，∴a＝c·sina＝6sin45°＝6×＝3，b＝＝＝3.
友情提示 已知斜边和一个锐角解直角三角形的基本恩路是利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，然后利用正弦或余弦函数关系式求出直角边。
变式1 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝4，∠B＝60°，求a的值及△ABC的面积。
考点2 已知一直角边和一个锐角解直角三角形
典例2 如图所示，在Rt△ABC中，已知 ∠C＝90?，a＝10， ∠B＝60?，解这个直角三角形.
思路导析: 已知a，∠B，求b的值时，可选择函数关系式tanB＝，得出b＝a·tanB；求c的值时，可选择函数关系式cosB＝，得出c＝。也可利用勾股定理求c.
解:在Rt△ABC中，∠C＝90?，∴∠A＝90?－∠B＝90?－60?＝30?。
∵tanB＝，cosB＝，∴b＝a·tanB＝10tan60?＝10＝10.
c＝。
友情提示 已知一条直角边和一个锐角解直角三角形的基本思路是利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，然后选择与已知边、已知角、未知边有关的某一三角函数列函数关系式，由此函数关系式求出未知边。
变式2 （1）在Rt△ABC中，∠C＝90?.已知a＝6，∠A＝30?，求b，c的长；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90? ， tanA＝， BC＝6，求AC，AB的长.
典例3 如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90?，CD⊥AB于点D，tanB＝，CD＝2，求AB的长.
思路导析: 在Rt△ABC中，∠ACB＝90?， CD⊥AB，可得∠ACD＝∠B，所以tan∠ACD＝tan∠B＝，分别解Rt△ACD， Rt △CBD，求出AD， BD，便可求出AB.
解∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90?，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠DCB＝90?，∠DCB＋∠B＝90?。
∴∠ACD＝∠B。∴tan∠ACD＝tanB＝.
在Rt△ACD中，∠ADC＝90?，∵tan∠ACD＝，∴AD＝CD· tan∠ACD＝。
在Rt△CDB中，∠CDB＝90?，∵ tanB＝，∴BD＝。
∴AB＝AD＋DB＝1＋4＝5。
友情提示 已知直角三角形一条边和一个锐角三角函数值求其他边长时，若能找到联系已知边，已知角与所求边的三角函数关系式，可用这个函数关系式直接求解；若不能，可由三角函数值得到两边约关系式，列方程进行求解。
变式3 如图所示，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90?，CD⊥AB于点D，AC＝4，∠A＝30?，求BD的长。
巩固提高
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，当已知∠A和a，求c时，应选择的关系式是（ ）
A. c＝ B. c＝ C. c＝a·tanA D. c＝
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6 cm，则BC的长度为（ ）
A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm
3.如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）
2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3
4.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为（ ）
A.（，1） B.（1，） C.（＋1，1） D.（1，＋1）
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（ ）
B. 4 C. 8 D. 4
6.若等腰梯形下底长为4 cm，高是2 cm，下底角的正弦值是，则上底长为___________ cm.
7.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示边BC，AC，AB.已知下列条件，解直角三角形.
（1）∠A＝30°，c＝4；
（2）∠B＝45°，b＝2.
8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长。
9.如图所示，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m.试帮助小华求出旗杆AB的高度.（结果精确到0.1m，≈1.732）
10.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长.（结果保留根号）
11.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值。
体验中考
1.（福州中考）如图所示，以点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝a，则点P的坐标是（ ）
A. （sina， sina） B. （cosa， cosa） C. （cosa， sina） D. （sina， cosa）
2.（2019·宿迁）如图所示，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是________________。
3.（2019·自贡）如图所示，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠a，∠β如图所示，则 cos（a＋β）＝___________。
4.（广州中考）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝_________。
参考答案
知识梳理
知识点1: 30° 60° 1
知识点2:（1）30° 60° 3 （2）a·tanB
考点突破
1.解:在Rt∴ABC中，∠C＝90?，∵ cosB＝，∴a＝c·cosB＝4cos60°＝4×＝2.
∵sinB＝，∴b＝c·sinB＝4sin60?＝4×＝2.
∴S△ABC＝ab＝×2×2＝2.
2.解:（1）b＝6，c＝12；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90?，∵tanA＝＝，∴AC＝.
∴AB＝＝＝10.
3. BD＝
巩固提高
1.A 2.C 3. A 4.C 5. D 6.1
7.解: （1）∠B＝60?，a＝2，b＝2；
（2）∠A＝45?，a＝2，c＝2.
8. BC＝10
9，解:∵BD＝CE＝6（m），∠AEC＝60?，∴AC＝CE·tan60?＝6×＝6≈6×1.732≈10.4（m）.
∴AB＝AC＋ DE＝10.4＋1.5＝11.9（m）.
答:旗杆AB的高度是11.9m.
10.解:在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，∴AD＝。
∴BD＝2AD＝4.∵tan∠ADC＝，∴DC＝。
∴BC＝BD＋DC＝5。
在Rt△ABC中，AB＝。∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝2＋5＋.
11.解:在Rt△ABC中，∠C＝90?，AB＝10，sinA＝，∴BC＝4。
由勾股定理得，AC＝，则tanB＝。
体验中考
C 2. ＜BC＜2 3. 2 4. 17
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第二章 直角三角形的边角关系
2.4 解直角三角形
第2课时
知识梳理
知识点1 已知斜边和一个锐角解直角三角形
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知C＝2，∠B＝30?，可得:
∠A＝90°－_______＝_______；由sinB＝，可求出b＝__________。
知识点2 已知一直角边和一个锐角解直角三角形
（1）如上图所示，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，已知b＝3，∠B＝30°，可得:∠A＝90?－________＝________；由tanB＝，可求出a＝__________。
（2）如上图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a，∠B，则b＝__________，c＝__________。
考点突破
考点1 已知斜边和一个锐角解直角三角形
典例1 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝6，A＝45°，解这个直角三角形。
思路导析: 已知c，∠A，求a的值时，可选择函数关系式sinA＝，得出a＝c·sinA；求b的值时，可选择函数关系式cosA＝，得出b＝c·cosA.也可利用勾股定理求b。
解:∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°。
∵sinA＝，∴a＝c·sina＝6sin45°＝6×＝3，b＝＝＝3.
友情提示 已知斜边和一个锐角解直角三角形的基本恩路是利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，然后利用正弦或余弦函数关系式求出直角边。
变式1 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝4，∠B＝60°，求a的值及△ABC的面积。
考点2 已知一直角边和一个锐角解直角三角形
典例2 如图所示，在Rt△ABC中，已知 ∠C＝90?，a＝10， ∠B＝60?，解这个直角三角形.
思路导析: 已知a，∠B，求b的值时，可选择函数关系式tanB＝，得出b＝a·tanB；求c的值时，可选择函数关系式cosB＝，得出c＝。也可利用勾股定理求c.
解:在Rt△ABC中，∠C＝90?，∴∠A＝90?－∠B＝90?－60?＝30?。
∵tanB＝，cosB＝，∴b＝a·tanB＝10tan60?＝10＝10.
c＝。
友情提示 已知一条直角边和一个锐角解直角三角形的基本思路是利用直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，然后选择与已知边、已知角、未知边有关的某一三角函数列函数关系式，由此函数关系式求出未知边。
变式2 （1）在Rt△ABC中，∠C＝90?.已知a＝6，∠A＝30?，求b，c的长；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90? ， tanA＝， BC＝6，求AC，AB的长.
典例3 如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90?，CD⊥AB于点D，tanB＝，CD＝2，求AB的长.
思路导析: 在Rt△ABC中，∠ACB＝90?， CD⊥AB，可得∠ACD＝∠B，所以tan∠ACD＝tan∠B＝，分别解Rt△ACD， Rt △CBD，求出AD， BD，便可求出AB.
解∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90?，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠DCB＝90?，∠DCB＋∠B＝90?。
∴∠ACD＝∠B。∴tan∠ACD＝tanB＝.
在Rt△ACD中，∠ADC＝90?，∵tan∠ACD＝，∴AD＝CD· tan∠ACD＝。
在Rt△CDB中，∠CDB＝90?，∵ tanB＝，∴BD＝。
∴AB＝AD＋DB＝1＋4＝5。
友情提示 已知直角三角形一条边和一个锐角三角函数值求其他边长时，若能找到联系已知边，已知角与所求边的三角函数关系式，可用这个函数关系式直接求解；若不能，可由三角函数值得到两边约关系式，列方程进行求解。
变式3 如图所示，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90?，CD⊥AB于点D，AC＝4，∠A＝30?，求BD的长。
巩固提高
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，当已知∠A和a，求c时，应选择的关系式是（ ）
A. c＝ B. c＝ C. c＝a·tanA D. c＝
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6 cm，则BC的长度为（ ）
A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm
3.如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）
2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3
4.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为（ ）
A.（，1） B.（1，） C.（＋1，1） D.（1，＋1）
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（ ）
B. 4 C. 8 D. 4
6.若等腰梯形下底长为4 cm，高是2 cm，下底角的正弦值是，则上底长为___________ cm.
7.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示边BC，AC，AB.已知下列条件，解直角三角形.
（1）∠A＝30°，c＝4；
（2）∠B＝45°，b＝2.
8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长。
9.如图所示，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m.试帮助小华求出旗杆AB的高度.（结果精确到0.1m，≈1.732）
10.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长.（结果保留根号）
11.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值。
体验中考
1.（福州中考）如图所示，以点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝a，则点P的坐标是（ ）
A. （sina， sina） B. （cosa， cosa） C. （cosa， sina） D. （sina， cosa）
2.（2019·宿迁）如图所示，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是________________。
3.（2019·自贡）如图所示，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠a，∠β如图所示，则 cos（a＋β）＝___________。
4.（广州中考）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝_________。
参考答案
知识梳理
知识点1: 30° 60° 1
知识点2:（1）30° 60° 3 （2）a·tanB
考点突破
1.解:在Rt∴ABC中，∠C＝90?，∵ cosB＝，∴a＝c·cosB＝4cos60°＝4×＝2.
∵sinB＝，∴b＝c·sinB＝4sin60?＝4×＝2.
∴S△ABC＝ab＝×2×2＝2.
2.解:（1）b＝6，c＝12；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90?，∵tanA＝＝，∴AC＝.
∴AB＝＝＝10.
3. BD＝
巩固提高
1.A 2.C 3. A 4.C 5. D 6.1
7.解: （1）∠B＝60?，a＝2，b＝2；
（2）∠A＝45?，a＝2，c＝2.
8. BC＝10
9，解:∵BD＝CE＝6（m），∠AEC＝60?，∴AC＝CE·tan60?＝6×＝6≈6×1.732≈10.4（m）.
∴AB＝AC＋ DE＝10.4＋1.5＝11.9（m）.
答:旗杆AB的高度是11.9m.
10.解:在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，∴AD＝。
∴BD＝2AD＝4.∵tan∠ADC＝，∴DC＝。
∴BC＝BD＋DC＝5。
在Rt△ABC中，AB＝。∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝2＋5＋.
11.解:在Rt△ABC中，∠C＝90?，AB＝10，sinA＝，∴BC＝4。
由勾股定理得，AC＝，则tanB＝。
体验中考
C 2. ＜BC＜2 3. 2 4. 17
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