2.4.3 解直角三角形（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
2.4 解直角三角形
第3课时
知识梳理
知识点1 一般斜三角形的解法
如图所示，等腰三角形的顶角为120°，腰长为2，求它的底边BC长。
解:过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝_________，BC＝2BD。
在Rt△ABD中，AB＝__________，∠B＝_________，∴cosB＝_________。
∴BD＝____________。∴BC＝2BD＝_____________。
注意 在求线段的长或角的大小时，若所求的元素不在直角三角形中，可通过作辅助线把斜三角形转化为直角三角形（通常作高），或找已知直角三角形的边（或角）来代替所要求的元素。
知识点2 已知两角和一夹边解斜三角形
（1）如图所示，∠a＝45°，∠β＝120°，BC＝2，求BC边上的高。
解:过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∠a＝45°，∵tana_________，∴BD＝___________。
在Rt△ACD中，∠ACD＝180°－∠β＝60°，
∵tan∠ACD＝_________，∴CD＝___________。
∵BC＝BD－CD＝_________＝2，∴AD＝_________。
（2）如图所示，∠a＝30°，∠β＝45°，BC＝2，AD⊥BC于点D，求AD的长.
解:在Rt△ABD中，∠a＝30°∵tana＝________，∴BD＝___________。
在Rt△ADC中，∠β＝45°，∵tanβ＝__________，∴CD＝__________。
∵BC＝__________＝2，∴AD＝_________。
注意 在添加辅助线时，一定注意不能破坏已知的角。
考点突破
考点1 一般斜三角形的解法
典例1 如图所示，在△ABC中，AC＝4，∠A＝30°，tanB＝，求BC的长。
思路导析: 由于△ABC不是直角三角形，依题意，过点C作CD⊥AB于点D，将△ABC转化为两个直角三角形。
解:过点C作CD⊥AB于点D。
∵在Rt△ADC中，∠CDA＝90°，∠A＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC·sinA＝4×sin30°＝4×＝2.
∵在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，tanB＝，∴DB＝。
∴BC＝。
友情提示 解有特殊角的非直角三角形时，常通过作辅助线把它转化为直角三角形进行求解，这种方法叫做“化斜为直”法，具体方法为以特殊角为一锐角，构造直角三角形。
变式1 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AB＝30，求BC的长。
考点2 已知两角和一夹边解斜三角形
典例2 如图所示，在△ABC中，BC＝6，∠B＝30°，∠C＝45°，求△ABC的面积.（结果保留根号）
思路导析: 要求△ABC的面积，需求BC边上的高.过点A作AD⊥BC，交BC于点D.利用直角三角形的边角关系，用AD表示出BD和CD的长，然后再通过解方程求出AD的长。
解:过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∵∠B＝30°，∴BD＝＝AD。
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°∵∠C＝45°，∴DC＝＝AD.
∵BC＝BD＋DC＝AD＋AD＝6，∴AD＝。
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×（3－3）＝9－9.
友情提示 本例题是已知两角和夹边求斜三角形中的线段长问题，求解时要构造直角三角形，用一条线段长表示出其他线段的长，然后再通过解方程求解。
变式2 如图所示，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°。
（1）求BD和AD的长；
（2）求tanC的值.
典例3 如图所示，AD⊥BC于点D，BC＝2 cm，已知∠B＝45°，∠ACD＝60°，求AD的长.
思路导析: 此题可看成已知“两角和夹边”求线段长的问题.用AD表示出BD与CD的长，通过解方程求出AD的长.
解:在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴BD＝AD.
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴CD＝。
∵BC＝BD－CD＝AD－AD＝2（cm），∴AD＝（cm）。
友情提示 用所要求的元素来代替已知直角三角形的边（或角），从而构造方程求解.
变式3 （1）如图所示，在△ABC中，已知BC＝4，∠B＝30°，∠BCA＝135°，求AB的长；
（2）若BC＝4，∠B＝45°，∠BCA＝105°，求AC的长。（结果保留根号）
变式4 如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 m，求小岛B到公路的距离。
巩固提高
1.如图所示，在 △ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6.∠C＝45?，tan∠ABC＝3，则BD等（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 2
2.如所示，在ABC∠A＝30?，tanB＝，BC＝，则AB的长为___________。
3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45?，∠C＝120?，AB＝4 cm，则DC的长为_______。
4.BD为等腰ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为___________。
5.在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90?，tan∠ABD＝，AB＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝___________。
6.如图所示，在ABC中，已知AB＝9， tanA＝，tanB＝，则△ABC的面积为__________。
7.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点D，且AB＝4，求AD的长。
8.如图所示，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝，求:
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值。
9.在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠B＝30°，求∠BAC的值.
体验中考
1.（2019·湘西州）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（ ）
10 B. 8 C. 4 D. 2
2.（2019·长沙）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是（ ）
2 B. 4
C. 5 D. 10
3.（2019·凉山州）如图所示，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
B. C. D.
参考答案
知识梳理
知识点1：30? 2 30? AB·＝2×＝ 2
知识点2.（1）1 AD
（2） AD
考点突破
1. BC＝30＋30
2.解:（1）∵ BD⊥AC，∴∠ADB＝90?.在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30?，
∴BD＝AB· sinA＝3.∴AD＝AB·cosA＝3；
（2）CD＝AC－AD＝5－3＝2，在Rt△BCD中，tanC＝。
3. （1）4（＋1） （2）4
4，解:小岛B到公路1的距离为25m.
巩固提高
1. A 2. 3＋ 3. cm 4.2＋或2－或
5. 17或 6. 18
7.解：在Rt△ABC中.∵∠B＝30?，∴AC＝AB＝×4＝2。
∵AD评分∠BAC，∴在 Rt△ABC中，∠CAD＝30?，∴AD＝.
8.解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，
∵，∴∠C＝45?。
在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴.AE＝CE＝1.
在Rt△ABE中，，∴ BE＝3AE＝3.∴BC＝ BE＋CE＝4；
（2）∵AD 是ABC的中线，∴CD＝BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝∠C＝45?.∴sin∠ ADC＝.
9.解:①当∠BAC是钝角时，过点A作AD⊥EC，垂足为点D.
在Rt△ABD中，∵∠B＝30?，∴AD＝AB＝1，∠BAD＝ 60?.
∵在Rt△ADC中，CD2＝（）2－12＝1，即CD＝1，
∴△ACD是等腰直角三角形.∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°＋45?＝105?；
②当∠BAC是锐角时，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD＝CD＝1.
∵∠DAC＝45?.∴∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60?－45?＝15?.
∴∠BAC的度数为105?或15?
体验中考
D 2. B 3. D
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第二章 直角三角形的边角关系
2.4 解直角三角形
第3课时
知识梳理
知识点1 一般斜三角形的解法
如图所示，等腰三角形的顶角为120°，腰长为2，求它的底边BC长。
解:过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝_________，BC＝2BD。
在Rt△ABD中，AB＝__________，∠B＝_________，∴cosB＝_________。
∴BD＝____________。∴BC＝2BD＝_____________。
注意 在求线段的长或角的大小时，若所求的元素不在直角三角形中，可通过作辅助线把斜三角形转化为直角三角形（通常作高），或找已知直角三角形的边（或角）来代替所要求的元素。
知识点2 已知两角和一夹边解斜三角形
（1）如图所示，∠a＝45°，∠β＝120°，BC＝2，求BC边上的高。
解:过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∠a＝45°，∵tana_________，∴BD＝___________。
在Rt△ACD中，∠ACD＝180°－∠β＝60°，
∵tan∠ACD＝_________，∴CD＝___________。
∵BC＝BD－CD＝_________＝2，∴AD＝_________。
（2）如图所示，∠a＝30°，∠β＝45°，BC＝2，AD⊥BC于点D，求AD的长.
解:在Rt△ABD中，∠a＝30°∵tana＝________，∴BD＝___________。
在Rt△ADC中，∠β＝45°，∵tanβ＝__________，∴CD＝__________。
∵BC＝__________＝2，∴AD＝_________。
注意 在添加辅助线时，一定注意不能破坏已知的角。
考点突破
考点1 一般斜三角形的解法
典例1 如图所示，在△ABC中，AC＝4，∠A＝30°，tanB＝，求BC的长。
思路导析: 由于△ABC不是直角三角形，依题意，过点C作CD⊥AB于点D，将△ABC转化为两个直角三角形。
解:过点C作CD⊥AB于点D。
∵在Rt△ADC中，∠CDA＝90°，∠A＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC·sinA＝4×sin30°＝4×＝2.
∵在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，tanB＝，∴DB＝。
∴BC＝。
友情提示 解有特殊角的非直角三角形时，常通过作辅助线把它转化为直角三角形进行求解，这种方法叫做“化斜为直”法，具体方法为以特殊角为一锐角，构造直角三角形。
变式1 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AB＝30，求BC的长。
考点2 已知两角和一夹边解斜三角形
典例2 如图所示，在△ABC中，BC＝6，∠B＝30°，∠C＝45°，求△ABC的面积.（结果保留根号）
思路导析: 要求△ABC的面积，需求BC边上的高.过点A作AD⊥BC，交BC于点D.利用直角三角形的边角关系，用AD表示出BD和CD的长，然后再通过解方程求出AD的长。
解:过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∵∠B＝30°，∴BD＝＝AD。
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°∵∠C＝45°，∴DC＝＝AD.
∵BC＝BD＋DC＝AD＋AD＝6，∴AD＝。
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×（3－3）＝9－9.
友情提示 本例题是已知两角和夹边求斜三角形中的线段长问题，求解时要构造直角三角形，用一条线段长表示出其他线段的长，然后再通过解方程求解。
变式2 如图所示，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°。
（1）求BD和AD的长；
（2）求tanC的值.
典例3 如图所示，AD⊥BC于点D，BC＝2 cm，已知∠B＝45°，∠ACD＝60°，求AD的长.
思路导析: 此题可看成已知“两角和夹边”求线段长的问题.用AD表示出BD与CD的长，通过解方程求出AD的长.
解:在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴BD＝AD.
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴CD＝。
∵BC＝BD－CD＝AD－AD＝2（cm），∴AD＝（cm）。
友情提示 用所要求的元素来代替已知直角三角形的边（或角），从而构造方程求解.
变式3 （1）如图所示，在△ABC中，已知BC＝4，∠B＝30°，∠BCA＝135°，求AB的长；
（2）若BC＝4，∠B＝45°，∠BCA＝105°，求AC的长。（结果保留根号）
变式4 如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 m，求小岛B到公路的距离。
巩固提高
1.如图所示，在 △ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6.∠C＝45?，tan∠ABC＝3，则BD等（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 2
2.如所示，在ABC∠A＝30?，tanB＝，BC＝，则AB的长为___________。
3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45?，∠C＝120?，AB＝4 cm，则DC的长为_______。
4.BD为等腰ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为___________。
5.在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90?，tan∠ABD＝，AB＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝___________。
6.如图所示，在ABC中，已知AB＝9， tanA＝，tanB＝，则△ABC的面积为__________。
7.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点D，且AB＝4，求AD的长。
8.如图所示，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝，求:
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值。
9.在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠B＝30°，求∠BAC的值.
体验中考
1.（2019·湘西州）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（ ）
10 B. 8 C. 4 D. 2
2.（2019·长沙）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是（ ）
2 B. 4
C. 5 D. 10
3.（2019·凉山州）如图所示，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
B. C. D.
参考答案
知识梳理
知识点1：30? 2 30? AB·＝2×＝ 2
知识点2.（1）1 AD
（2） AD
考点突破
1. BC＝30＋30
2.解:（1）∵ BD⊥AC，∴∠ADB＝90?.在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30?，
∴BD＝AB· sinA＝3.∴AD＝AB·cosA＝3；
（2）CD＝AC－AD＝5－3＝2，在Rt△BCD中，tanC＝。
3. （1）4（＋1） （2）4
4，解:小岛B到公路1的距离为25m.
巩固提高
1. A 2. 3＋ 3. cm 4.2＋或2－或
5. 17或 6. 18
7.解：在Rt△ABC中.∵∠B＝30?，∴AC＝AB＝×4＝2。
∵AD评分∠BAC，∴在 Rt△ABC中，∠CAD＝30?，∴AD＝.
8.解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，
∵，∴∠C＝45?。
在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴.AE＝CE＝1.
在Rt△ABE中，，∴ BE＝3AE＝3.∴BC＝ BE＋CE＝4；
（2）∵AD 是ABC的中线，∴CD＝BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝∠C＝45?.∴sin∠ ADC＝.
9.解:①当∠BAC是钝角时，过点A作AD⊥EC，垂足为点D.
在Rt△ABD中，∵∠B＝30?，∴AD＝AB＝1，∠BAD＝ 60?.
∵在Rt△ADC中，CD2＝（）2－12＝1，即CD＝1，
∴△ACD是等腰直角三角形.∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°＋45?＝105?；
②当∠BAC是锐角时，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD＝CD＝1.
∵∠DAC＝45?.∴∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60?－45?＝15?.
∴∠BAC的度数为105?或15?
体验中考
D 2. B 3. D
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