圆的一般方程课题引入
依据教学内容特点，课题引入方式可以是：
1．我们学习了圆的标准方程，认识了特殊形式，还需要认识一般形式，它的一般形式是什么？什么是圆的一般方程？怎样互化？引出本课题．
2．类比直线方程的点斜式、两点式和一般式，探索圆的方程是否有一般方程，圆的一般方程是什么？标准方程与一般方程怎样互化，引出本课题．直线方程的参数式
直线l经过点P0（x0，y0），v ＝（a，b）是它的一个方向向量，
x＝x0＋at ①
y＝y0＋bt
实数t叫做对应于点P的参变数，简称参数．方程组①直线方程的参数式．
直线l的倾斜角为α，
x＝x0＋tcosα
y＝y0＋tsinα
其中t为参数，这是直线参数式方程的一种特殊形式．圆的切线和切点弦方程
本文介绍有关圆的切线方程和切点弦方程的两个结论．这里所涉及的两个方程不仅简单易记，便于应用，而且极为相似．
结论1 若M(x0，y0)是圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0上一点，则过点M的圆的切线方程是
代入①得过点M的切线方程为
特别地，若M(x0，y0)是圆x2＋y2=r2上一点，则过M点的圆的切线方程是x0x＋y0y=r2．
结论2 若从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0外一点M(x0，y0)引圆的两条切线MT1、MT2，切点为T1、T2，则直线T1T2的方程是
证明 设切点T1(x1，y1)，T2(x2，y2)由定理1知切线MT1的方程是
切线MT2的方程是
∵M在切线MT1、MT2上，
∴下列两式同时成立：
∴点T1、T2都在直线
上，即直线T1、T2的方程为
特别地，若过圆x2＋y2=r2外一点M(x0，y0)所引圆的两条切线为MT1、MT2，则过两个切点T1、T2的直线方程为x0x＋y0y=r2．
由此可以看出，过圆上一点的切线方程与从圆外一点作圆的两条切线的切点弦所在直线方程，从形式看是一致的．
要善于运用圆的特性解题
解析几何中，圆属二次曲线，因此，适用于二次曲线的解题方法当然也应适用于圆，比如利用“Δ”值判断直线与二次曲线的位置关系等．但是，圆还具有仅属于自身、有别于其他二次曲线的特有的性质，如：可直接通过圆心到直线的距离与半径的大小来判断圆与直线的位置关系，垂直于弦的直径平分此弦及其逆定理，切线长定理，切割线定理，圆周角等于同弧所对的圆心角的一半，等等．因此在解有关圆的问题时，要善于把握、运用圆的这些特性(及与平面几何相关性质的结合)，从而使解题思路明晰，解题过程简捷．请看下面的例题：
例1 一个圆经过P(2，－1)点和直线l：x－y=1相切，并且圆心在直线y=－2x上，求它的方程．
简解 因圆心在直线y=－2x上，故可设圆心A的坐标是(t，－2t)．又因该圆经过P(2，－1)点，故可将此圆方程写为(x－t)2＋(y＋2t)2=(t－2)2＋(2t－1)2(即为r2)，并可求得圆心A到直线l的距离为(点线距离公式）：
化简可得t2－10t＋9=0．解得：t1=1，t2=9．
所求的圆为(x－1)2＋(y＋2)2=2与(x－9)2＋(y＋18)2=338(如图)．
评析 显然，上面解法运用了圆的特性“圆心到切线的距离等于半径”来求t值，这要比用“Δ”方法简捷．
例2 圆x2＋y2－4x＋2y＋c=0与直线l：3x－4y=0交于A，B两点，圆心为P，若∠APB=90°，求c．
评析 上面的解法运用了圆的特性：找出弦心距与半径(而不是弦长与半径)的关系，简化了解题过程．
例3 动点A，B在直线x=3上移动，且∠AOB=60°，求△AOB外心的轨迹．
简解 如图设M(x，y)是△AOB的外心，作MN⊥AB，N为垂足，根据圆的特性，应有∠AMN=∠AOB=60°(圆心角与圆周角的关系)．
(注意：由于外心M必定在直线x=3的左侧，因此一定有x＜3)．
例4 过圆x2＋y2=4与y轴的正半轴的交点A作圆的切线l，点M是l上异于A的任一点，过M作圆的另一切线，切点为Q，求当点M在l上移动时，△MAQ垂心H的轨迹．
简解 A点坐标为(0，2)．过Q作QP⊥l，P为垂足，由圆的切线性质，必有MO⊥AQ，因此等腰△MAQ的垂心H实际上就是直线MO与QP的交点．
练习：问将单位圆O：x2＋y2=1的圆心移到什么位置时，才能使它既与y轴相切，又与圆1：(x－3)2＋y2=16在交点P处的切线互垂(直交)？
提示：可设移动后的圆心O2的坐标是(1，m)或(－1，n)(以保证与y轴相切)．根据圆的特性可知：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，因此必有∠O1PO2=90°．
过两条曲线交点的曲线系方程
曲线系定理：设两条曲线C1：f1（x，y）＝0，C2：f2（x，y）＝0，C1、C2相交，那么方程mf1（x，y）＋nf2（x，y）＝0 （m，n∈R．m，n不同时为零）所以表示的曲线一定经过C1、C2的交点．
为了使用方便，可对该方程变形，由于m，n不同时为零，所以mf1（x，y）＋nf2（x，y）＝0可以写成f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0［或f2（x，y）＋λf1（x，y）＝0］．如何求解与圆有关的问题
圆是解析几何中的重要内容之一，它的方程有标准式和一般式两种形式．在解决与圆有关问题时，除了利用上述两种形式外，还必须考虑它在平面几何中的一些性质：
一、先确定圆心，再计算半径
例1 求过点A(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5=0相切于点B(1，2)的圆的方程．
解 设所求方程为(x－a)2＋(y－b)2=R2．
∵圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2=5，
∴圆心为C(－1，3)，直线BC的方程为
即 x－y－2=0
由于所求圆的圆心(a，b)既在直线BC上，又在AB的中垂线上．
∴R2=(11－4)2＋(9＋1)2=149．
故所求圆为(x－11)2＋(y－9)2=149．
二、充分利用平面几何性质
例2 圆x2＋y2=4内有一点P(0，1)，过P任意作直角三角形APB，且∠APB=90°，A、B在圆上，求弦AB中点M的轨迹．
解 如图1，
∵OM⊥AB，
∴|MO|2＋|MB|2=|BO|2=4．
又∵△APB为直角三角形，
∴|MB|=|MP|，
∴|MO|2＋|MP|2=4．
设M(x，y)，则x2＋y2＋(x－0)2＋(y－1)2=4，
即 2x2＋2y2－2y－3=0．
例3 △ABC的两个顶点为A(0，0)、B(2，0)，顶点C在第一象限内移动，且使∠C恒为直角，求△ABC的内切圆圆心P的轨迹方程．
解 如图2，
∵P为内切圆圆心，
∴△ABC的内切圆圆心的轨迹方程为
三、利用曲线系方程解题
分析 此题有多种解法，其中以曲线系方程最为简单．
例5 求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点P(8，6)的圆的方程．
经过圆与l的交点的圆系方程，再由条件经过点A，得出所求圆的方程．
解 设所求圆的方程为
直线和圆的位置关系教学内容与教学目标
1．教学内容：
直线和圆的交点．直线和圆相割、相切和相离．
2．教学目标：
（1）知道直线和圆有交点，有两个交点、只有一个交点和没有交点的充要条件分别是什么？会用直线和圆的方程研究直线和圆相割、相切和相离的位置关系，并会解决与位置关系有关的问题．
（2）了解用方程研究直线和圆的位置关系时运用的数形结合、方程、转化、分类讨论的思想方法和待定系数、消元的数学方法．
（3）通过用方程研究直线和圆的位置关系的教学，培养学生观察、比较、联想、猜想的思维能力；归纳、演绎的推理能力和数、式运算能力．
（4）通过本节课的教学，对学生进行事物的联系与在一定条件相互转化的辩证唯物主义观察点的教育．最大值与最小值小结
本前面的模块中，我们以题型为主线，阐述了最值问题的几种基本方法。下面我们将这几种方法总结一下。
一、单调性法
单调性法是通过确定目标函数的单调性，然后结合自变量的取值范围，从而求得最值的方法，是求函数最值的基本方法之一。
如求函数的最小值，可先研究单调性，当时单调递增，也单调递增，因此函数单调递增。即时，函数取得最小值0。
二、配方法
对求形如二次函数或可转化为二次函数的复合函数的最值问题，常使用配方法求解。但使用配方法一要考虑原函数的定义域，二要注意对应抛物线顶点的横坐标是否在定义域内。
如求的最值，由于且，∴当时，，当时，。
三、均值定理法
运用均值定理求最值时，必须做①正：这两个（或三个）数都是正数；②定：这两个（三个）正数的和或积是定值；③等：等号可以取到。三个条件缺一不可。因此我们有时需对函数做一些处理。
如求函数的最大值。则
当且仅当即时，取到最大值。
四、换元法
当函数用别的方法难于直接求最值时，可考虑换元，从而转化为熟悉函数。
如求函数的最大值。可令，则
∴可得函数的最大值为。
有时已知求的最值时，也常常会选用参数，使从而变为一元函数的最值问题。
如设是正常数，且，求的最小值。此时可令，则
当且仅当时取到最值。
五、几何法
对某些函数的最值问题，可以利用它们的几何意义求解更为方便。
如已知实数满足等式求的最小值。此题的几何意义是过原点的直线与圆有公共点时所取的最小值，相切时取得最值，即解得.
∴
六、判别式法
对于形如的函数，若其有最值，常用判别式法求解。即转化为关于的二次函数，利用判别式从而解出。使用时需检验其可靠性，即取最值时，是否有相应的与之对应．直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系有以下三种：相交、相切、相离．用直线与圆的公共点的个数定义这三种位置关系：直线和圆有且只有两个公共点时叫相交；有且只有一个公共点时叫相切；没有公共点时叫相离．
判定直线与圆的位置关系常用下面两种方法：
（1）代数方法：设圆C的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l的方程为Ax＋By＋C＝0．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
Ax＋By＋C＝0
＞0 l和C相交，
判别式△ ＝0 l和C相切，
＜0 l和C相离．
（2）几何方法，设圆C的圆心C到直线l的距离为d，圆的半径为r．则有：
d＜r l与⊙C相交，
d＝r l与⊙C相切，
d＞r l与⊙C相离．
x的一元二次方程
消y（或x）圆的标准方程和切线问题教案
教学目标
1．使学生掌握圆的标准方程和切线的探求过程和方法．
2．通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑推理能力，
3．培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质．
教学重点与难点
圆的标准方程和切线的求法是教学重点，圆的切线的求法是教学难点．
教学过程
师：前面我们学习了曲线和方程的关系，请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？
生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点的坐标为(x，y)；②探求这些点的横坐标x与纵坐标y之间的关系，列出等式并化简．
师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲．用这个方法我们曾经求出圆心在原点，半径为5的圆的方程，它的方程是怎样的？
生：x2+y2=25，
师：若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？
生：x2+y2=r2．
师：你是怎样得到的？(启发地)圆上的点满足什么条件？这些条件怎样转化成圆上的点的坐标所满足的条件？
生：此圆是到原点的距离等于r的点的集合，由两点间的距离公式可得：
即x2+y2=r2．
师：x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊，圆心在原点．有时候圆心可能不在原点，若此圆的圆心移至(a，b)点，圆的方程是怎样的？
生：此圆是到点(a，b)的距离等于r的点的集合，由两点间的距离公式可得
即：(x－a)2+(y－b)2=r2．
师：方程(x－a)2+(y－b)2=r2叫做圆的标准方程．圆的标准方程由哪些量决定？是否可以和平面几何中有关理论联系起来？
生：平面几何中，圆由圆心、半径决定，圆的方程由a、b、r决定(其中a、b是圆心的横、纵坐标，r是圆半径)．
师：很好！这里再一次体现了解析几何的特点——用代数的方法研究几何问题．由此可见，要确定圆的方程，只须确定a、b、r这3个独立变量即可．
请同学们思考这样一个问题：
例1 已知两点A(4，9)和B(6，3)，求以AB为直径的圆的方程，并且判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
师：这道题的已知、要求很明确，应怎样解？
生：先求圆的方程，再判断点的位置．
师：要确定圆的方程需要求什么？要不要按“四步曲”来求？
生：不需要，只要根据圆的标准方程，求出圆心和半径即可．
师：怎么求？
生：用中点公式求圆心坐标，用两点间距离公式求半径．
师：好！请具体求出．
生：圆心C(a，b)是线段AB的中点，那么它的坐标为：a=5，b=6．
因此圆的方程是：(x－5)2+(y－6)2=10．
所以点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
由此可见，若点P(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上，点P的坐标与圆的方程有什么关系？P在圆外，圆内呢？
师：这道题研究了点和圆的位置关系．试问直线和圆有哪些位置关系？
生：相交、相离、相切．
师：相切是直线和圆的位置关系中比较常见，也比较重要的位置关系，在解析几何中，我们研究曲线常常要求出切线的方程，你能求出过圆上一点的切线方程吗？
师：你打算怎样求？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求．
师：斜率怎么求？
生：……
师：已知条件有哪些？可以直接利用吗？不妨画张图看看．如图2－22．
生：切线与半径OP互相垂直，故斜率互为负倒数．
师：哪位同学能够具体的说一说？
猜想？
生：……
如果看不出来，我们可以再演算两个例子试一试．谁来举例？
生：圆的方程是x2+y2=13，过其上一点(2，3)的切线方程是2x+3y－13=0．
生：圆的方程是x2+y2=5，过其上一点(－2，1)的切线方程是－2x+y－5=0．
师：发现规律了吗？(学生纷纷举手回答问题)
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程．
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点(x0，y0)，结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：x0x十y0y=r2．
师：这个猜测对不对？若对，可否给予证明？
生：……
师：这个问题就相当于：已知圆的方程是x2+y2=r2，求过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程．
用点斜式表示方程，有什么条件？
生：切线若与x轴垂直，则不能用点斜式表示．
师：要求切线的斜率，需要求半径OP的斜率，OP的斜率一定存在吗？
(引导学生完成解题过程)
解 ①若切线的斜率不存在，x0=±r，y0=0，切线方程为x=r，或x=－r．
②若半径的斜率不存在，y0=±r，x0=0，切线的方程为y=r，或y=－r．
③若切线及半径的斜率都存在，设切线的斜率为k，
经过点P的切线方程为：
亦即x0x+y0y=r2．(*)
经验证：①②均适合(*)式，故切线方程为：x0x+y0y=r2．
师：对照圆的方程x2+y2=r2及点P(x0，y0)，看看切线方程与圆的方程有什么关系？
生：圆的方程可看成x·x+y·y=r2，将其中一个x、y用切点的坐标x0、y0替换，可得到切线方程．
师：按照这种方法，若圆的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，过其上一点(x0，y0)的切线方程会是怎样的呢？能猜到吗？
生：切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2．
师：你的猜测对吗？可否给予证明？
这实际上就是：已知圆的方程是
(x－a)2+(y－b)2=r2，
求经过圆上一点(x0，y0)的切线方程．
解 ①若切线及半径的斜率都存在，
即(x0－a)(x－x0)+(y0－b)(y－y0)=r2．(**)
② 若切线或OP的斜率不存在时，切线方程也是(**)式．
师：(**)式与同学猜测的结果(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2不同，是我们猜错了？还是算错了？哪里出了毛病？
生：对比两个方程，凑出(x－a)项，将(**)式整理如下：
[(x－a)－(x0－a)](x0－a)+[(y－b)－(y0－b)](y0－b)=0，
即：(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=(x0－a)2+(y0－b)2．
因为P在圆上，
故(x0－a)2+(y0－b)2=r2，
所以切线方程为：(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2．
这与同学们猜测的结果是一致的！
设计思想
在教学过程中，教师遵循数学本身的发展规律，同时注意到学生的认识规律，力求使它们同步协调，具体做法如下：
在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线——圆．
从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等等合情推理的方法，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美学——对称、简洁．
在探求圆的切线方程时，运用波利亚一般解题方法求出过圆x2+y＝r=r2上一点(x0，y0)的切线方程，同时也提出思考：若改变条件为圆(x－a)2+(y－b)2=r2，结论将发生怎样的变化？此时引导学生通过观察、类比、联想、猜测、归纳出一般方程，并且给以证明，既教猜想，又教证明．
在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议控制研究的方向与进程，通过问题和提示，帮助度过难关．
参数方程疑难解析
1．方程，（t为参数）中x0、y0及a、b的几何意义，及如何将它化为以定点(x0、y0)到动点(x，y)的数量t为参数的参数方程是学生学习的疑难之处．可以通过数字系数的方程为例加以解释．，如，令t = 0，得到点(1，2)，进而说明 (x0、y0)是直线上的一个点，即直线必过点(x0、y0)．由，得知此直线的斜率为，进而说明直线上任意点(x，y)与点 (x0、y0)连线的斜率为．如果直线倾角为，则有tan=．
由三角知识可知
由于0≤＜，sin≥0，可知当b≥0时，用，当b＜0时，用可将方程，化为t为定点到动点数量的直线的参数方程．
2．将参数方程化成普通方程后，有可能扩大取值范围的道理及普通方程中x、y取值范围的确定是学生的疑难之处．
学生应当明确“=0（λ是常数，λ∈R）是成立的必要条件”是逻辑知识中的基本原理，不加证明．教学时，可以通过具体例子，说明原理的内容．使学生知道它的实际生活和学习中已大量应用，这一关系在解方程组中更是时刻离不开的．在消参过程中，由于参数方程作为已知条件，它所内含的x、y的取值范围．就是普通方程中x、y的取值范围．并以此保证消参前后的方程表示同一曲线．将，y = g(t)理解为两个以t为自变量的函数，利用所学过的求函数值域的方法，即可求出x、y的取值范围．
例如中x=(1－2sin2t)＋sin2t=，中，所求曲线的普通方程为且，曲线是以和为端点的线段．
教学中应以理解原理为主，以消参的方法为主，以曲线大范围的改变为主（淡化孤立点，特别是极限点的取舍）．圆概念辨析
1．圆的标准方程．是通过形数结合，根据定义，以圆特定位置（圆心）和大小（半径）构造的特殊形式的方程，方程的形式和结构特征，直接显示了方程曲线的形状（圆）、位置（圆心）和大小（半径）．常以它为标准判断一个方程是不是圆的方程，并求得圆的圆心和半径．
2．圆的一般方程．通过运算（整式乘法）变形，把圆的标准方程转化为二元二次方程的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey+F=0 （*）
说明方程（*）是表示圆的必要条件．经过配方转化、分类讨论，与圆的标准方程对照、得到：当D2＋E2－4F＞0的条件下，方程（*）表示一个圆的充分条件．在D2＋E2－4F＞0时，方程（*）叫做圆的一般方程．通过必要与充分条件的逻辑推理，得到圆的一般方程．
圆的一般方程突出了方程形式上的特征：未知数的平方项系数相同且不等于零；没有交叉乘积项（即xy项），因而只能表明曲线的形状（圆），隐含了圆的位置和大小．
3．直线和圆的位置关系．这里是用方程研究直线与圆相交、相切和相离的位置关系．运用转化与方程的思想方法，把它们的方程组成的方程组消元转化为一元二次方程，用一元二次方程根的判别式研究相交（Δ＞0）、相切（△=0）和相离（△＜0）的关系，并求得相交的交点或切点．或用圆心到直线的距离d与半径r比较：当d＜r时，相交；d=r时，相切d＞r时，相离．若须求交点，通常用前一种方法．参数方程例题讲解1
直线的参数方程选配应以巩固参数的几何意义为主，椭圆和圆可选利用参数方程减少变量个数，简化运算的例题．互化应以参数方程化普通方程为主．
例1 与，是否表示同一条直线．
此例可使学生明确以下几点：
①曲线的参数方程可能不唯一．
②两个方程均表示直线．两个方程中的参数的意义不同，取相同的t，对应的点可能不同，但t取全体实数时，所对应的点集相同．
③判断方程中t的几何意义是否为定点(x0，y0)到动点P (x，y)的数量，有二个原则，其一为a2＋b2=1，其二是b≥0，这是因为为直线倾角时，必有sin2+cos2=1及sin≥0．
④上A，B两点间距离为．上述方程中通过换元（当 b≥0），可知t’的几何意义就是定点(x0，y0)到动点(x，y)的数量，其上两点间距离即为．
⑤通过计算：，使学生知道(x0，y0)必为直线上的点，等于直线的斜率．
例2 在圆x2＋2x＋y2=0上求一点，使它到直线2x＋3y－5=0的距离最大．
此题常用解法有：①求过圆心(－1，0)与直线2x＋3y－5 = 0垂直的直线和圆的交点，并根据图形舍去一个点．②求与2x＋3y－5 = 0平行的圆的切线，再求切点，并根据图形舍去一个点．③设切点坐标T(x0, y0)，利用方程组,解出切点，再根据图形舍去一个解．④利用圆的参数方程，则圆上点到2x＋3y－5 = 0的距离为
当，即时，d取得最大值，此时，．即点P (，)为所求．
例3 在椭圆4x2＋9y2=36上求一点P，使它到直线x＋2y＋18=0的距离最短（或最长）．
此题如用求切线的方法解，计算量大．利用椭圆的参数方程，则椭圆上点到直线的距离
当时，d取得最小值，此时，，．即点P(, )为所求．
例2 例3是使学生知道利用圆和椭圆的参数方程，可以用单变量表示动点坐标
（x，y），以简化运算．
例4 将下列数方程化成普通方程．
①， ②，
③， ④，
⑤．
用①～④题介绍消参的常用方法，代入消元法、加（减）、乘（除）消元法，平方消元法，并强调它们是方法不是目的，故消参时，一个题目可能几个方法联合使用或重复使用，第③题还可以用设t=tan将原式化为，后消参，第⑤题可以用①式乘以x＋②式乘以y直接消去参数m．为了区别于先将x、y表达式求出，再消去m的方法，可将此法称为直接消参法．这个方法更能使学生体会到参数的本质含义．此法对解综合题十分有用．
例5 直线3x－2y＋6=0，令y = tx ＋6（t为参数）．求直线的参数方程．
将y = tx＋6代入3x－2y＋6=0，解得，将它代入y = tx＋6得，此题是使学生了解，化普通方程为给定参数的参方程的一般方法．
例6 将参数方程，化为普通方程．
所求普通方程为y2=－x＋1，x∈[0，1]．通过类似的例题，说明消参过程中的等价性问题．圆的标准方程知识讲解
1．直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系，从不同的角度看，得到不同的认识．从图形的相对位置看，有相割、相切和相离，相切可认为是相离与相割的极限位置．从点的集合的公共点看，有二个、一个和设有公共点，从对应的方程组的解看，有二个、一个和无解．在直线和圆的特定图形中，这三个认识的结论是一致的．
直线和圆的位置关系，蕴涵了分类、极限思想和量变质的观点．蕴涵数形结合、转化、方程的思想方法．
教学时，应强调用对应方程组的解的情况认识直线和圆的位置关系．
2．用方程研究直线和圆的位置关系
据上分析，就是研究二元二次方程组：
的解的情况，依据方程的思想方法，就是研究消去一个未知数后得的一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0， 或 ay2＋by＋c＝0． ③
的根的情况，依据一元二次方程的性质，就是研究根的判别式符号，于是得到如下的关系：
根的判别式△符号 消元后一元方程的实数根 对应方程组的实数解 直线和圆的公共点（交点） 直线和圆的位置关系
△＞0 两个（不等） 两组（不同） 两不（不重合） 相割
△＝0 两个（相同） 一组（认为两组相同） 一个（认为两个重合） 切切
△＜0 无 无 无 相离
以上判断是双向联结的．
由于圆的特殊性，又可以用圆心（，）到直线①的距离d和圆半径（D2＋E2－4F＞0）的关系判断位置关系：
用方程研究直线和圆的位置关系，把研究方法由观察、论证、度量转化为计算．蕴涵了对应、转化、数形结合、分类讨论和方程等思想方法，蕴涵的思想、观点和方法十分丰富．
教学时，紧紧抓住关系依存的对应与转化过程，理解与掌握用方程研究直线和圆的位置关系的思想与方法．
①
②
直线和圆相交；
直线和圆相切；
直线和圆相离．圆的方程复习提高课教案1
教学目标
通过对圆的方程这一单元典型问题的研究，帮助学生进一步深化和掌握有关圆的问题，把基础知识进行综合应用，培养学生的数学思维能力，分析综合能力，提高学生的解题技能．
教学重点和难点
重 点：圆的方程的三种形式，圆的切线，直线和圆，圆和圆间的位置关系，和圆有关的数值问题．
难 点：基础知识的灵活应用．数学知识间的相互连系，联想和迁移能力的养成．
教学过程设计
本节课是一节复习提高课，以新的探索发现，研究为主线，教师向学生说明目的和问题后，就充分地让学生去思考，设计，试解，教师最后对学生的解法进行归纳，总结．注意从多个角度去启发培养学生的创造能力．
同学们，本节课就“圆的方程”“圆的切线”“与圆有关的数值问题”进行研究，老师列举一些典型的问题，请同学们展开思路去探索，老师最后进行归纳总结．
问题1．选择题．
(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆，则a的取值范围是
[ ]
[ ]
A．一个圆，． B．两个圆， C．半个圆， D．两个半圆，
(3)圆x2＋y2－4x＋4y＋6=0截直线x－y－5=0所得弦长等于
[ ]
(4)圆x2＋y2－2x=0和圆x2＋y2＋4y=0的位置关系是
[ ]
A．相离，B，外切，C．内切，D．内切．
[分析与解答]
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件D2＋E2－4F＞0．
即a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，3a2＋4a－4＜0．
(2)方程成立的条件是|x|－1≥0，即|x|≥1∴x≥1或x≤－1．在x≥1或x≤－1的条件下，平方．x2－2|x|＋1=1－(y－1)2
整理 x2＋y2－2|x|－2y＋1=0．
当x≥1时，|x|=x．
x2＋y2－2x－2y＋1=0，(x－1)2＋(y－1)2=1．
当|x|≤－1时，|x|=－x．
x2＋y2＋2x－2y＋1=0，(x＋1)2＋(y－1)2=1．
故应选(D)．
(3)x2＋y2－4x＋4y＋6=0．即(x－2)2＋(y＋2)2．
(4)x2＋y2－2x=0，(x－1)2＋y2=1．圆心O1(1，0)，半径r1=1．
x2＋y2＋4y=0，x2＋(y＋2)2=4．圆心O2(0，－2)，半径r1=2．
两圆相交，故应选(C)．
[分析与解答] 依题题作出草图，进行分析思考．
A：x2＋y2－2x=0 (x－1)2＋y2=1．
圆A的圆心(1，0)，半径r=1．
设所求圆C的圆心为(a，b)，半径R由A、C两圆相切，连心线AC的长等于1＋R=1＋CQ．
显然第一个方案计算量要大于第二个方案，我们采用第二个方案．
问题3．从圆(x－1)2＋(y－1)2=1外一点P(2，3)向这个圆到切线，求切线的方程，(课本第108页25题)
[汇集同学们的各种创见]
[解法一] 若切线的斜率K存在，设切线方程为y－3=K(x－2)
即Kx－y＋3－2K=0，已知圆的圆心为(1，1)，半径为1．
若切线的斜率不存在，则x=2，直线x=2过(2，3)点与圆相切，故所求切线方程为3x－4y＋6=0或x=2．
[解法二] 当k存在时，设切线方程为y－3=K(x－2)．
得 (1＋k2)x2－2(2k2－2k＋1)x＋4(k2－1)=0
令判别式△=4(2k2－2k＋1)2－4·(1＋k2)·4(k2－1)=0
当k不存在时，另一条切线为x=2，
故所求切线方程为3x－4y＋6=0，或x=2，
[解法三] 设切点为Q(x0，y0)，过P的切线为PQ，圆C的圆心为(1，1),半径r=1．
∵△PQC为直角三角形，
CQ2＋PQ2=CP2
(x0－1)2＋(y0－1)2＋(x0－2)2＋(y0－3)2=(2－1)2＋(3－1)2
化简得 x0＋2y0－4=0 (1)
又切点Q在圆上，(x0－1)2＋(y0－1)2=1 (2)
故所求切线方程为3x－4y＋6=0或x=2．
以PC为直径的圆的方程为
(x－1)(x－2)＋(y－1)(y－3)=0
它与圆(x－1)2＋(y－1)2=1相交，设两圆交点为Q，由于PQ⊥CQ，因此交点Q即为切点．
故所求切线方程为3x－4y＋6=0或x=2．
[分析与解答]
过(1，2)点的直线l：y－2=k(x－1)，
即kx－y－k＋2=0．
过(1，2)点向圆C作两条切线，两条切线的斜率的最大，最小值，就是k的最
sinθ－tcosθ=2－3t
问题5 已知点A(3，0)，B为圆x2＋y2=1上的一点，∠AOB的平分线OP交AB于P点，求P点的轨迹方程．
[分析与解答]
设交点P的坐标为(x，y)．
B点的坐标为(x0，y0)．
因B点在已知曲线上运动，我们考虑“转化法”
∵OP为∠AOB的平分线，利用角平分线定理．
B点在圆x2＋y2=1上，代入
经讨论，当∠AOB=0时，∠AOB的平分线与AB的交点在线段AB上，应把这一情况扩充进去．
圆的方程及应用
教学目标
1．使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的具体条件，准确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，通过圆的标准方程的推导，培养学生分析问题和解决问题的能力．
2．掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径．
3．理解掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系，能根据图形特点，写出曲线方程之间的关系；能根据代数方程，画出曲线与曲线之间的各种图形，有利于问题的简化，达到解题的目的．
4．努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题，要充分利用数形结合的思想和方程的思想，由图形来探索解题的方法．
重点难点
1．圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选用圆的一般方程解决问题．
2．直线和圆的各种位置关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题．
3．难点是如何适当的利用平面几何中圆的有关性质和定理解题．虽然解析几何中讨论圆的问题主要是利用代数方程，但灵活应用平面几何中的有关定理在有些时候对解题会有很大的帮助，这一点在复习圆及有关问题时应予以足够的重视．
教学过程
圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线，用坐标法，从圆的特征性质导出圆的方程，再通过圆的方程来研究与圆有关的问题．由于圆的特殊性和其广泛的应用，所以在复习圆的过程中应着重掌握好以下几个方面的问题．
1．圆的方程的各种情况及其应用；
2．圆的切线方程；
3．有关圆的轨迹问题；
4．直线与圆结合的应用问题．
例题部分
例1 求圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点P(3，-2)的圆的方程．
分析 由于已知条件涉及到圆的圆心和半径，所以设所求圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=R2，根据题意，则有以下方程组成立
评述 这是一道典型的例题，它充分体现了点在曲线上，点的坐标满足曲线方程的主导思想；圆的半径由点到切线的距离来描述，圆心由它所适合的方程组来决定，本题实际上给出了确定圆的方程的基本方法．前面已经提到了复习圆这一节时要充分利用圆的有关平面几何的性质和定理，如能考虑到这一点，本题的解法则可能会更简单：如图1，设所求圆的圆心为C，则PC垂直于直线x+y-1=0，
例2 已知经过点A(0，1)和点B(4，a)，且与x轴相切的圆只有一个，求此时a的值及相应的圆的方程．
分析 因为该圆与x轴相切，故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径，所以用圆的标准方程解本题．
解 因为所求圆与x轴相切．所以可设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=y02．
因为A(0，1)，B(4，a)在圆上，所以
消去y0，得
(x0-4)2+a2=a(x02+1)
即 (1-a)x02-8x0+(a2-a+16)=0． ③
(2)当a≠1时，若适合题意的圆只有一个，方程③必须有二等根，即有Δ=b2-4ac=0．得64+4(a-1)(a2-a+16)=0，整理该方程有a[(a-1)2+16]=0，
评述 本题的特点是由数形结合的思想出发，画出草图，做出定量分析，在此基础上建立与题意相适应的代数方程，并通过解方程组使问题得到解决．
例3 已知抛物线y2=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过焦点F，求此三角形的外接圆方程．
分析 先求三角形另两个顶点A，B的坐标，再求过O，A，B三点的圆的方程．
解 如图(2)所示，设△OAB为抛物线y2=2px的内接三角形，AD，
因为OA⊥BE，所以KOA·KBE=-1，即
例4 求过点P(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程．
解 因为(2-1)2+(4+3)2=50＞1，所以点P(2，4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部．
4=k(x-2)．①
把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1，即
(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0，
其判别式Δ=56k-192．
的一条切线的方程．
因为圆心(1，-3)到该直线的距离d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程．
综合(1)、(2)，所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0．
评述 在解决这类问题的时候，一定要注意两点，第一是先判断点P(2，4)与圆的位置关系，点P(2，4)必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜率k不存在的情况，以免漏解．这样考虑问题较细致，但计算量相应较大，如能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点，则计算量相应减少，解法简化．
由圆心为(1，-3)，半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊情况x=2，这样就可得两条切线方程．
例5 求经过点A(4，-1)，且与已知圆C：(x+1)2+(y-3)2=5相外切于点B(1，2)的圆的方程．
解 如图3，设所求的圆C′的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2．因为C′既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB中垂线方程为3x-y-6=0，BC所在直线的方程为x+2y-5=0，所以圆心C′的坐标应满足方程组
解 得a=3，b=1．
因为所求圆C′过点A(4，-1)，所以
(4-3)2+(-1-1)2=R2=5．
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5．
评述 确定一个圆的方程主要是两个数据：圆心和半径．本题解决的关键是要确定圆心C′的位置，C′一确定，半径即为|C′A|．由已知条件得出C′满足的条件有两个，一是C′在线段AB的垂直平分线上；二是圆C和C′相外切，C′一定在直线CB上，由此建立(a，b)所满足的方程组，问题即可得解．
例6 已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线l交x轴、y轴分别于A，B点，设O为原点，|OA|=a，|OB|=b(a＞2，b＞2)．
(1)求证圆C与直线l相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．
解 (1)因为l与圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线l的方
评述 讲解本题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第(1)小题被反复应用多次，特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值得借鉴．
例7 AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一点，l为过C点的圆的切线，过B引BP⊥l，且交AC的延长线于P，求点P的轨迹．
解法一 如图4所示，以圆心O为原点，AB所在的直线为x轴，建立坐标系，则定圆方程为x2+y2=r2．
(因为C是动点，点P因点C动而动，故可)设P点坐标为(x，y)，C点坐标为(x1，y1)．(P点是直线AC，BP的交点，所以P点受直线AP和BP的制约，因此建立直线AP与BP的方程，来确定P点与C点坐标之间的关系式．)
因为C点不与点A，B重合，所以y1≠0，由过C点的切线l的方程为x1x+y1y=r2，直线BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC
=r2，即(x-r)2+y2=4r2(y≠0)即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴上的两个点．
评述 本题特点是动点P随着相关点C的运动而运动，如果能用动点P的坐标(x，y)，表示相关点C的坐标(x1，y1)，则按照相关点C所满足的条件列出方程，就能得动点P的轨迹方程．这种方法通常称为相关点法，在解析几何中经常用到，应给予足够的重视．
解法二 因为BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP．因此|BP|=2|OC|=2r．
这说明当点C运动时，动点P距定点B的距离总等于常数2r．根据定义可得到：P点轨迹是以点B(r，0)为圆心，以2r为半径的圆．因为C点不与A，B点重合，所以y≠0，所以点P的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0)．
例8 从直线x=-2上一动点P向圆x2+y2=1引两条切线，求以两切点为端点的弦AB的中点M的轨迹方程．
分析 如图5，本题解决的思路是如何建立起切点弦AB所在直线的方程．如图所示，OP⊥AB，由kOP·kAB=-1，即可得出PO，AB交点M的轨迹方程．
解 在直线x=-2上任取一点P(-2，y′)，过P引圆的两条切线PA，PB，A，B为两切点．设A，B点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，AB
y2y=1．
因为P点在两条切线上，所以
-2x1+y′y1=1，-2x2+y′y2=1．
根据上式知点A，B的坐标满足方程-2x+y′y=1．
即切点弦AB所在直线的方程为2x-y′y+1=0，点M在直线AB上，所以
因为PM⊥AB，所以kPM·kAB=-1，因此
即方程2x2+2y2+x=0[除去(0，0)]是两直线交点M的轨迹方程．
评述 切点弦AB所在直线的方程是由认真分析动点P所满足的两个方程得到的，不同于一般直接求直线方程的方法，这种方法值得重视．
例9 一动圆过定点(c，0)且与定圆(x+c)2+y2=4a2(a＞0，c＞0)相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解 设F2(c，0)，F1(-c，0)，即F2是已知定点，F1是已知定圆的圆心，动圆圆心P(x，y)，由于F2与定圆F1有三种位置关系，所以分三种情况讨论．
(1)F2在定圆F1的内部，即c＜a时动圆P只能与定圆F1内切，所
(2)F2在定圆F1上，即c=a时动圆P与定圆相切于定点F2，轨迹方程为直线y=0除点F2，F1．
(3)F2在定圆F1外，即c＞a时，若动圆P与定圆F1外切，则有|PF1|-|PF2|=2a；若动圆P与定圆F1内切，则有|PF2|-|PF1|=2a，所以应有
评述 本题关键是要搞清楚F2与定圆F1的三种位置关系，应用数形结合的思想建立其轨迹方程．
例10 若实数x，y满足方程x2+y2-2x+4y=0，试求x-2y的最大值和最小值．
分析 如果把方程x2+y2-2x+4y=0变形为(x-1)2+(y+2)2=5，可知方程
式x-2y的值，就可看作是直线x-2y=t与x轴交点P(t，0)的横坐标．由于直线x-2y=t的斜率是定值，显然当直线x-2y=t与已知圆相切时，t有最大值或最小值，基于上述分析 ，采用以下解法一．
解法一 将已知方程整理为(x-1)2+(y+2)2=5，即知它表示圆心为O
所以x-2y的最大值为10，最小值为0．
解法二 因为x2+y2-2x+4y=0，所以
(x-1)2+(y+2)2=5．
当sin( -α)=1时，x-2y的最大值为10；
当sin( -α)=-1时，x-2y的最小值为0．
评述 本题的解法二是利用了圆的参数方程，将式子x-2y转化为角α的函数，然后利用正弦、余弦函数的有界性来求出x-2y的最大值和最小值．
的截距．从数形结合的思想来研究，如图6所示，动点(x，y)既在圆上又在直线系上，因此这些平行线在y轴上截距的最大值与最小值恰好是这族平行线中与圆相切的切线的截距．利用圆心到切线距离等于半径，来确定b的值．
所以x-2y的最大值为10，最小值为0．
最小值．
解 问题即求圆(x-3)2+(y-3)2=6上的点与原点O连线的斜率的最大值和最小值，根据数形结合的思想，容易得到过原点的圆的两条切线的斜率即为所求．
设切线为y=kx代入圆的方程中有(1+k2)x2-6(1+k)x+12=0．因为直线
例12 已知圆M的方程(x-3)2+(y-4)2=4和两点A(-1，0)，B(1，0)．在圆上求一点P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．
解 如图7所示，根据三角形的中线公式有|AP|2+|BP|2=2|OP|2+2|OB|2=2|OP|2+2，所以当|OP|2取得最小值时，|AP|2+|BP|2也取得最小值．根据平面几何知识知，线段OM与圆的交点P
评述 本题解决的思路主要是根据平面几何中有关知识，代数计算问题比较简单．因此在解决有关圆的问题时，应重视平面几何中的有关性质和定理，要充分利用．
能力训练
1．A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的
[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又非必要条件
2．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是
[ ]
3．两圆C1：x2+y2+4x-4y+7=0，C2：x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有
[ ]
A．2条 B．3条
C．4条 D．以上都不是
条直线的方程是
[ ]
C．x=-3 D．x=-3或3x+4y+15=0
6．圆C1：x2+y2-2x-6y+9=0关于直线x-y-1=0对称的曲线方程为
[ ]
A．x2+y2+2x+6y+9=0 B．x2+y2-6x-2y+9=0
C．x2+y2-8x+15=0 D．x2+y2-8x-15=0
8．直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1有两个交点，则a，b，c应满足的关系是
[ ]
A．a2+b2≤c2 B．a2+b2＜c2
C．a2+b2≥c2 D．a2+b2＞c2
9．圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于
[ ]
C．1 D．5
10．和x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆心轨迹方程为
[ ]
A．x2=2y+1 B．x2=1-2y
C．x2=2|y|+1 D．x2=2y-1
11．圆心在抛物线y2=8-4x的顶点，且与其准线相切的圆的方程为______．
13．圆(x-3)2+(y-3)2=32上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数是______．
14．若m∈R，圆x2+y2+2mx-my-25=0恒过两个定点，它们的坐标是______．
范围是______．
16．一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是______．
17．圆x2+y2=16上的点到直线x-y=8的距离的最小值是______．
18．斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹是______．
19．已知圆的方程为(x-1)2+y2=1，过原点O作圆的任意弦，则这些弦的中点M的轨迹方程是______．
20．动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为定值2，则动圆圆心的轨迹方程为______．
答案提示
1．B 2．D 3．B 4．D 5．D
6．C 7．D 8．D 9．A 10．C
11．(x-2)2+y2=1
13．3
15．(-∞，0)∪(0，+∞)
16．x2+y2+4y-6=0
18．y=-x在圆内的部分
20．x2-2xy-y2+2=0
设计说明
准备圆的复习课时，我考虑重点应突出两点．第一是数形结合思想方法的体现，如例9、例10、例11、例12．第二应重视平面几何中有关圆的定理的应用．如例1的另一解法，例4的另一解法，例9、例10的处理方法．在解决圆这一部分问题时，不急于先列代数方程，仔细审题，根据条件尽量画出满足或接近题设条件的图形加以分析，最终确定最简单的解法．参数方程知识系统及其结构
当曲线作为点运动的轨迹时，可以得到曲线上点P (x，y)与时间t的关系，即x、y与t的关系．将x、y通过另一个变量t表示出来同样可以确定曲线的图形．这就是曲线的参数方程，曲线的参数方程是曲线方程的一种形式，它实质上，仍是反映曲线上点的坐标x与y之间相互依赖的关系．它相对于曲线的普通方程，x与y间关系显得不够直接，但它能更直接体现曲线的成因．教学时，应结合实际注意参数t的几何或物理意义，明确学习参数方程的实际意义．普通方程与参数方程作为表示曲线的不同形式，它们应有内在的联系，这就是参数方程与普通方程之间的互化．互化在提示新旧知识联系的同时，也体现了它们的不同．特别是曲线范围的不同，在教学中应从理论和实践上予以重现．
平面直角坐标系
曲线的普通方程
曲线的参数方程
互 化圆的一般方程小结或总结
本节课学习了圆的一般方程和求圆的方程的方法，从而丰富了圆的方程知识和求圆的方程的方法．
圆的一般方程由标准方程用乘法公式展开而得，也可认为是二元二次方程的x2、y2项系数相同且不为0，xy项的系数为0的特殊形式．当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不是圆的一般方程．一般方程可以配方化为标准方程，也可以用公式，，（D2＋E2－4F＞0）求圆心坐标和半径．
已知三个独立条件可求圆的方程，依据已知条件，或直接求圆心坐标和半径，或用待定系法求标准方程或一般方程中待定字母参数的值．圆的一般方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
(二)能力训练点
使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
(三)学科渗透点
通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．
二、教材分析
1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)
2．难点：圆的一般方程的特点．
(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)
3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．
(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)
三、活动设计
讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．
四、教学过程
(一)复习引入新课
前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．
(二)圆的一般方程的定义
1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：
(1)
(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆；
(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．
这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、
法．
2．圆的一般方程的定义
当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．
(三)圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．
(2)
与圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．
(3)
的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．
当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；
(2)没有xy项，即B=0；
(3)D2+E2-4AF＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．
教师还要强调指出：
(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；
(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．
(四)应用与举例
同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．
例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x2+y2-8x+6y=0，
(2)x2+y2+2by=0．
此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．
同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．
例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有
解得：D=-8，E=6，F=0，
故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．
例2小结：
1．用待定系数法求圆的方程的步骤：
(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；
(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．
2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：
例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
(0，2)．
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为
故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．
这时，教师指出：
(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．
(2)此题也可以用圆系方程来解：
设所求圆的方程为：
x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)
整理并配方得：
由圆心在直线l上得λ=-2．
将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．
的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．
此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：
(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；
(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．
(五)小结
1．圆的一般方程的定义及特点；
2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；
3．用待定系数法，导出圆的方程．
五、布置作业
1．求下列各圆的一般方程：
(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．
2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．
3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．
作业答案：
1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0
(2)x2+y2-4x-2y-20=0
2．x2+y2-x+7y-32=0
3．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以
4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：
(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．
当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-
与x轴的两个交点．
六．板书设计参数方程教学内容与教学目标
本单元教学内容：曲线参数方程的概念，直线、圆、椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，圆的渐开线．
本单元教学目标：使学生理解参数方程的概念，初步掌握直线、圆、椭圆的参数方程．理解参数的几何或物理意义．掌握参数方程与普通方程互化的方法，会根据给出的参数，建立曲线的参数方程．
结合曲线参数方程的建立，对学生进行运动变化观点的教育，结合参数方程与普通方程的互化，使学生加深对等价转化思想的理解，提高转化中逻辑关系的认识，提高逻辑思维能力，提高利用参数解决问题的能力．
课时安排
本单元教学时间约需5课时，具体分配如下：
曲线的参数方程 约2课时
参数方程与普通方程互化 约2课时
圆的渐开线和小结复习 约1课时利用直线与圆有交点解题
当直线与圆有交点时，则圆心到直线的距离不大于半径．利用这一几何性质解题，可使一些数学问题迅速获解．
一、求值
解 已知条件化为
二、求最值
解 显然该曲线族恒过原点，而直线y＝2x也过原点，设另一个交点坐标为
把y＝2x代入曲线族方程得
三、确定参数的取值范围
解 原方程可化为
3cos2x－2sin2x＋2m＋1＝0，
四、证明不等式
圆的一般方程教案
教学目标
1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．
2．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．
教学重点与难点
圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．
教学过程
一、复习并引入新课
师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．
生：(x－a)2+(y－b)2=r2．
师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？
生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．
师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？
生A：是的．
生B：缺少条件A2+B3≠0．
师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？
(书写课题：“圆的一般方程”的探求)
二、新课
师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？
生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得
x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*)
师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？
生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．
生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件．
师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？
生：配方．
师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？
(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)
1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以
3．当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．
教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．
师：圆的一般方程有什么特点？
生A：是关于x、y的二元二次方程．
师：刚才生A的说法对吗？
生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．
师：特殊在什么地方？
(通过争论与举反例后，由教师总结)
师：1．x2，y2系数相同，且不等于零．
2．没有xy这样的二次项．
(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？
生：必要条件．
师：还缺什么？
生：D2+E2－4F＞0．
练习：判断以下方程是否是圆的方程：
①x2+y2－2x+4y－4=0
②2x2+2y2－12x+4y=0
③x2+2y2－6x+4y－1=0
④x2+y2－12x+6y+50=0
⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0
⑥x2+y2－12x+6y+F=0
三、应用举例
师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？
生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．
师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．
生B：不用死记，配方即可．
师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．
例1 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求圆心和半径．
分析 标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单．
解法：设出一般方程，用待定系数法．
例2 一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程．
解法一 设出一般方程，用待定系数法．(由三角形性质知：顶点为(0，5))
解法二 设出标准式x2+(y－b)2=r2．(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)．
四、小结
注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项；
3°D2+E2－4F＞0．
另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变化有关．
五、作业：
1．求下列各圆的一般方程：
①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；
②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．
2．求下列各圆的圆心坐标和半径：
①x2+y2－2x－5=0
②x2+y2+2x－4y－4=0
③x2+y2+2ax＝0
④x2+y2－2by－2b2＝0
3．求证：两圆x2+y2－4x－6y+9=0和x2+y2+12x+6y－19=0相外切．
设计思想
这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”．
在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用讨论式，引导学生探索，重视探索过程．一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法．
同时，通过类比进行条件的探求——“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比．
在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．
圆的参数方程
方程组 x＝a＋rcos叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程，是参数．
y＝b＋rsin圆系方程
我们把具有某一共同性质的圆的集合叫做圆系，它们的方程叫做圆系方程．
1．若圆心确定，半径r取任意实数，所得一系列的圆构成一个圆系，称为同心圆系．
2．通过两个已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程是：
C：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0，其中是不等于－1的任意常数（这个圆系方程不包括圆C2）．曲线的普通方程
相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．圆的标准方程小结或总结
用方程研究直线和圆的位置关系，有两种方法；
一是用直线和圆的方程组成的方程组来研究．其方法和步骤是：（1）消元转化整理为一元二次方程的一般式；（2）求出一元二次方程的判别式；（3）依据判别式的符号确定位置关系：△＞0相割；△＝0相切；△＜0相离．
二是用圆心坐标和直线方程计算圆心到直线的距离d，依据d和半径r的大小关系确定位置关系：d＜r相割；d＝r相切；d＞r相离．
运用上述方法解决问题时，应根据已知条件和求解目标灵活运用，并结合运用数形结合，转化等数学方法，迅速找到问题的解法．圆的标准方程
圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．圆例题讲解
有助于掌握圆的标准方程的特征、求圆的方程及其圆心、半径和一般方程转化为标准方程的方法，并学会用圆的各种形式的方程研究直线与圆的位置关系．设计的例题注意开放性和应用性，以培养学生的创新和应用意识．
例1．求过原点与直线：2x－y＋3=0相切，切点在y轴上的圆的方程．
目的在于掌握用标准方程或一般方程求圆的方程的方法，兼顾掌握直线与圆相切的特征．教学时，引导学生分析条件，选择是用求圆心半径的直接法还是设出方程用待定系数法．
若用标准方程，须求圆心（，b）和半径r，若用一般方程，须求圆上的三点坐标．显然切点易求得A（0，3），又过点O（0，0），只须求圆与x轴的另一个必交点B（x1，0）．易知AB是圆的直径．由直线AB⊥，得×2=－1．即x1=6．此时，直径AB的两个端点已知，无论用哪种形式的方程都可得圆的方程：x2＋y2－6x－3y=0．
例2．设方程x2＋y2－(2m＋6)x＋(2－8m2)y＋16m4＋9=0．是否存在实数m，使方程表示的圆的圆心在x轴上，若存在，求m的值及这时圆的圆心和半径；若不存在，说明理由．
目的在于掌握圆的一般方程的充要条件，和用配方法化一般方程为标准方程．教学时，引导学生注意圆的一般方程的充要条件，根据条件灵活、创造性地运用圆的知识．假设存在m的实数值的情况下求解，用配方法，得
［x－(m＋3)］2＋［y－(4m2－1)］2 =－7m2＋6m＋1．
解不等式、与方程 得m=．
若用圆的一般方程的充要条件：D2＋E2－4F＞0，和圆心在x轴上得E=0，也可以求得，m =，然后再求此时的圆心（，0）和半径（=）．
－7m2＋6m＋1＞0 ，
4m2－1=0 ．圆的一般方程教案
教学目标
(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．
(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题．
教学重点和难点
重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
难点：圆系的理解和应用．
教学过程设计
(一)教师讲授：
请同学们看出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
我们把它看成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆．
②
(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示
(2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形
∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
做圆的一般方程．
现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0．且没有xy这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件．但不是充分条件．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组
∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0．
[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：
y－1=(－2)(x－2) 2x＋y=5
∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=25．
[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出．
解 设曲线上的动点为M(x，y)．
化简得 x2＋y2＋2x－3=0
配方 (x＋1)2＋y2=4．
∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．
[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的．为此我们要研究较简单的办法．
P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90°，则O、P1、P0、P2四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手．
即 x2＋y2－x0x－y0y=0．
把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2．
∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．
这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线．
请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究过这样一个定理．(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0)．求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”．
根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0．表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得曲线方程，x0x＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r2．就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆的交点．
通过这个题，我们有下面一般的结论：
如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交．
(1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆．
(2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线．
这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用．应当注意的是：
方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一个集合，这个集合我们把它叫做一个圆系．这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合．
(三)学生课堂练习
1．课本练习题1
(1)点(0，0)．
2．课本练习题2．
(1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，－b)，半径为|b|．
3．课本练习题3．
(四)作业
习题7．7 5，6，7，8
圆的一般方程例题讲解
本节课主要以求圆的方程的例题为主．
例如，求下列已知条件的圆的方程
（1）圆心在x轴上，半径是5，且以点A（5、4）为中点的弦长是．
（2）过点P（1，－2）和Q（5，0），且圆心在直线l：2x－y－3＝0上．
通过例题的解答，学会分析已知条件，选用圆的方程形式，创造易求方程的条件．教学时，引导学生定向分析，不盲目探索．
思路与解：
（1）已知半径r=5，和圆心坐标中的b＝0，显然应定向探求圆心的坐标a．由已知可知弦心距，则圆心P（a，0）与弦中点A（5，4）的距离可求a．应选用圆的标准方程．
解 设圆心为P（a，0），由已知可知：
[(a-5)2＋42]＋()2＝52．
解之，得a＝3，或a＝7．
所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝25，或（x－7）2＋y2＝25，
即x2＋y2－6x－16＝0， 或 x2＋y2－14x－24＝0．
（2）已知圆上两个点的坐标，可列两个方程，再根据圆心在直线上列第3个方程．
解 设所求方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，，由题意，得
解之，得
所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0．
由于圆上两点的坐标也满足标准方程，而圆（a，b）又满足已知条件，也可以选用标准方程，得：
解之，得
所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－4x－2y－5＝0．
由于圆心是线段PQ的垂直平分线与l的交点，于是又可先求圆心再求半径．
∵，线段PQ的中点为M（3，－1），
则线段PQ的中垂线方程为y＋1＝－2（x－3），即2x＋y－5＝0，
解方程组 解之，得
则圆心为（2，1），半径．
同样可求得上述方程．用直线与圆的位置关系解三角题
有些三角问题，如能注意已知式的结构，挖掘出它所蕴含的几何背景，化数为形，常能收到意想不到的效果．
本文就利用直线与圆的位置关系解三角题例说如下：
一、求值
解 原方程化为：
直线①与圆②有公共点的充要条件是：圆心到直线的距离不大于圆的半径．
本例把三角问题化归为几何问题求解，方法别致，过程利落．这种转化的关键就是要善于分析和联想．
二、确定函数的值域或最值
把上式变形为整式：
三、确定参数的取值范围
于是此方程组有实数解，从而有：
对一类(如例2、例3)能化归为形如asinx＋bcosx＋c＝0的三角问题，应用直线与圆的位置关系求解，不失为一种行之有效的方法．
四、证明条件等式
【例4】设A、B、C为△ABC的三个内角，且
求证：△ABC为等腰三角形(1979年上海市数学竞赛试题)．
分析 常规解法是：展开行列式，将条件化成(sinB－sinA)(cosC－cosA)－(cosB－cosA)(sinC－sinA)＝0，再将左边变形，得
由此式可推出所需结论，但这样证明过程冗繁．
观察题设和结论，可以联想到平面上三点共线问题．两者对比，可见，条件有相同之处，因此，我们可以尝试从三点共线入手．
这种证法，构思新颖，简洁巧妙．
分析 这是一道常见的数学题，用三角变换较繁，若不依常规，寻求“变异”，联想直线与圆的位置关系证明则更显优越．
五、证明不等式
【例6】 求证：
arc sin(cosx)＞cos(arc sinx)．
分别画出上面两个函数的图象(如图)．由图象直观显见，线段AB和半圆O是相离的.故arc sin(cosx)＞cos(arc sinx)．
(1979年河南省数学竞赛试题)．
综上所述可见，在数学教学中，应重视数学各分支之间的相互沟通，问题的相互转化，正如数学家G·波利亚所指出的那样，解题的一个常用办法就是“不断地变换你的问题和视角”，实践表明：采用跨分支的数学方法，获得多种解题途径，这对培养学生思维的发散性，促使其解题能力的提高是大有裨益的．
圆的方程概念辨析
1．圆的标准方程．是通过形、数结合，根据定义，以圆的特定位置（圆心）和大小（半径）构造的特殊形式的方程，方程的形式和结构特征，直接显示了方程曲线的形状（圆）、位置（圆心）和大小（半径）．常以它为标准判断一个方程是不是圆的方程，并求得圆的圆心和半径．
2．圆的一般方程，通过运算（整式乘法）变形，把圆的标准方程转化为二元二次方程的形式：
x2+y2+Dx+Ey+F=0 （*）
说明方程（*）是表示圆的必要条件．经过配方转化、分类讨论，与圆的标准方程对照，得到：当D2+E2－4F >0的条件下，方程（*）表示一个圆的充分条件．在D2+E2－4F >0时，方程（*）叫做圆的一般方程．通过必要与充分条件的逻辑推理，得到圆的一般方程．
圆的一般方程突出了方程形式上的特征：未知数的平方项系数相同且不等于零；没有交叉乘积项（即x y项），因而只能表示曲线的形状（圆），隐含了圆的位置和大小．
3．圆的参数方程．是由特殊到一般，当圆心在原点时，根据三角函数的定义，由角θ终边和圆的交点坐标，得到半径为r的圆的参数方程：
（θ为参数）．
当圆心为O1（a，b）时，把圆心在原点的圆按向量v = (a，b)平移，得到圆心在
O1（a，b），半径为r的圆的参数方程：
（θ为参数）
消去参数θ，参数方程可转化为圆的标准方程．
圆的参数方程不仅显示了圆心、半径（当θ为一个特定的角时），还直接指出了圆上点的坐标特点，在解决某些与圆有关的问题常用到．
4．直线和圆的位置关系．这里是用方程研究与圆相交、相切和相离的位置关系．运用转化与方程的思想方法，把它们的方程组成的方程组消元转化为一元二次方程，用一元二次方程根的判别式研究相交（△>0）、相切（△=0）和相离（△<0）的关系，并求得相交的交点或切点．或用圆心到直线的距离d与半径r比较：当d < r时，相交；d = r时，相切；d>r，相离．若须求交点，通常用前一种方法，也可以用圆或直线中其中的一个参数式研究．圆的标准方程教案
教学目标
(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．
(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．
教学重点和难点
重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．
难 点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．
教学过程设计
(一)导入新课，教师讲授．
同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．
什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．
“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”．
定点就是圆心，定长就是半径．
根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程．(启发引导学生推导)．
设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r．
则│CM│=r,
两边平方． (x-a)2+(y-b)2=r2,
我们得到圆的标准方程，
这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．
如果圆的圆心在原点．O(0,0)．即a=0．b=0．
这时圆的方程为
．
下面我们用大家学过的向量知识再来推导一下圆的方程．
设 M(x,y)是圆上任意一点，过圆心C(a,b)，作x轴的平行线与圆交于A、B两点，则A点坐标为(a-r,b)，B点坐标为(a+r,b)，
=(x-(a-r),y-b)、=(x-(a+r),y-b)，
M为圆上一点，AM⊥BM，·=0．
[x-(a-r)][x-(a+r)]+(y-b)2=0,
整理得．(x-a)2+(y-b)2=r2．
例1．求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程．
解：已知圆心C(1，3)，现在来求圆的半径r，因圆心到切线的距离等于半径，
例2 图7-37是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度．
[师生共同分析思路]
如图，先确定有关各点的坐标，A(-10,0)、B(10,0)、P(0,4)，再找出圆拱所在圆的方程，设这圆的圆心为(0,b)，半径为r，则圆的方程为x2+(y-b)2=r2，由，A、B、P这些已知点，选A、P或B、P代入圆的方程，可以求出b和r，这样，这个圆的方程就为已知．P2点为圆上一点，满足圆的方程，P2的坐标为(-2,y2)，把x=-2代入圆的方程，求出y2，∴A2P2的长度为y2．
(学生阅读例2)
(二)学生课堂练习
1、课本练习题1．(1)x2+y2=9;(2)(x-3)2+(y-4)2=5;
(3)(x-8)2+(y+3)2=25．
2、课本练习题2．x2+y2=196．
(三)教师讲授，师生研究
下面我们来研究圆的切线问题：
(1)已知切点坐标，求过这切点的切线方程．
例1 已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程．
[分析]切线是直线，已知切线过切点，因此应从点斜式考虑，连接圆心O与切点M，切线l⊥OM，OM的斜率可求出，则切线的斜率l也可求出，由点斜式可得到切线的方程．
解： 设切线l的斜率为K，切线l：y-y0=K(x-x0),
∴切线l的方程是
这个公式很重要，要熟记其特征与各个字母的含义．
(2)已知切线的斜率，求切线的方程．
们通过判别式可以解决这个问题．
Δ=(12b)2-4×13×9(b2-13)=0, 4b2-13(b2-13)=0,
即两条切线为：2x+3y-13=0或2x+3y+13=0．
(3)过圆外一已知点引圆的切线，求切线的方程．
例3 已知圆的方程为x2+y2=13，P(-4，7)是圆外一点，求过P点与圆相切的切线方程．
[解法一]求出切点．
设切点的坐标为(x0,y0)，
则切线方程为x0x+y0y=13．
又P(-4，7)点在切线上，
(-4)x0+7y0=13．
代入切线方程，得两条切线，2x+3y-13=0或18x+y+65=0．
[解法二]求出斜率．
设切线的方程为：y-7=K(x-4)
即kx－y＋4k＋7=0．
根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，求出k，
代入点斜式，得两条切线为2x＋3y－13=0或18x＋y＋65=0．
(四)学生课堂再练习：
(五)小结．圆的切线的求法．
(1)已知切点求切线，把切点(x0，y0)坐标代入公式x0x＋y0y=r2即得到切线方程．但这种代法对同学们来讲，目前只适用于圆心在原点的圆．
(2)已知斜率求切线，可设切线的斜截式y=kx＋b，代入圆的方程，由△=0，求出截距b．这种求法适用于圆心在原点的圆，计算量较小．
(3)过圆外一点作圆的切线，把切线高为点斜式，根据圆心到切线的距离等于半径这一基本性质，确定斜率，得到切线．这一求法较有普遍性，同学们要牢牢掌握，圆心不在原点时，用起来方便．
(六)作业．
习题7．7 1、2、3、4
圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时， x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫圆的一般方程．
一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）x2和y2的系数相同，不等于0；
（2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的必要条件，但不是充分条件。曲线的参数方程
设平面曲线C上任意点的坐标（x，y）可表示成 的形式，这里和是辅助变量t的函数，对于曲线上每个特定的点，t取相应的确定的值，对于曲线上不同的点，对应的t值也不同；反之，在某一范围内的每个t值都有曲线上的点与之对应．这时，就可作为曲线C的方程，叫做参数方程．其中的辅助变量t叫做参变量，或参变数、参数．
常见曲线的参数方程如下：
1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：
（t为参数）
2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：
（为参数）
3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：
（为参数） （或 ）
4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：
（为参数） （或 ）
5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：
（t为参数，p＞0）圆的标准方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．
(二)能力训练点
通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
(三)学科渗透点
圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
二、教材分析
1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．
(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)
三、活动设计
问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．
四、教学过程
(一)复习提问
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
(二)建立圆的标准方程
1．建系设点
由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
3．列方程
由两点间的距离公式得：
4．化简方程
将上式两边平方得：
(x-a)2+(y-b)2=r2．
(1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
这时，请大家思考下面一个问题．
问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．
教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
(三)圆的标准方程的应用
例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．
教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；
指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．
例2 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；
(2)(x+4)2+(y+3)2=7；
(3)(x+2)2+ y2=4
教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．
例3 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解(1)：
分析一：
从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．
解法一：(学生口答)
设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为：
(x-5)2+(y-6)2=10
分析二：
从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．
解法二：(给出板书)
∵直径上的四周角是直角，
∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．
化简得：
x2+y2-10x-12y+51=0．
即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．
解(2)：(学生阅读课本)
分别计算点到圆心的距离：
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
这时，教师小结本题：
1．求圆的方程的方法
(1)待定系数法，确定a，b，r；
(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．
2．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
(1)点在圆上 d=r；
(2)点在圆外 d＞r；
(3)点在圆内 d＜r．
3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)
例4 图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)．
此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：
(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；
(2)用待定系数法求圆的标准方程；
(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．
(四)本课小结
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
五、布置作业
1．求下列条件所决定的圆的方程：
(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；
(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．
2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．
证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．
3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．
4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．
作业答案：
1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32
2．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为
所以圆的方程为
化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0
即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
4．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：
x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)
六、板书设计直线和圆的方程复习提高课教案2
教学目标
(1)通过师生共同总结本章的知识体系和基础知识，带动学生更系统全面地掌握基础知识，加深理解，强化记记忆，为今后更好地应用这些知识打好基础．
(2)通过与本章知识相关的届年的高考试题的练习与研究，检验促进学生对知识的理解和掌握，开拓学生的视野，培养他们的分析，综合应用能力．
教学过程设计
在学生学习完第七章“直线和圆的方程”后，我们安排了两节复习总结课，引导学生系统总结记忆本章的基础知识，进一步深化和准确对这些基础知识的理解．这部分总结工作应启发学生自己完成，教师加以完善．可事先布置为家庭作业．在总结基础知识的同时，我们以历年高考题为练习题，组织学生试作，研究，教师最后进行总结讲评．
一、本章知识体系：
二、本章基础知识
直线
线性规划
圆．
三、典型问题练习与研究
(一)选择题
1．直线bx＋ay=ab(a＜0，b＜0)的倾斜角是
[ ]
(1993年高考题)
2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2=0上的圆的方程是
[ ]
A．(x－1)2＋(y－1)2=4．
B．(x＋3)2＋(y－1)2=4．
C．(x－3)2＋(y＋1)2=4．
D．(x＋1)2＋(y＋1)2=4．
(2001年高考题)
共有
[ ]
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(1991年高考题)
4．圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值是
[ ]
A．6
B．4
C．5
D．1
(1993年高考题)
5．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1=0，则直线PB的方程是
[ ]
A．2y－x－4=0．
B．2x－y－1=0．
C．x＋y－5=0．
D．2x＋y－7=0．
(2001年高考题)
[ ]
(1999年高考题)
7．已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax＋by＋c=0(ab＞0)，那么l2的方程是
[ ]
A．bx＋ay＋c=0．
B．ax－by＋c=0．
C．bx＋ay－c=0．
D．bx－ay＋c=0．
(1992年高考题)
8．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
[ ]
(2000年高考题)
9．已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹
[ ]
C．(0，1)
(2000年高考题)
10．设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是
[ ]
A．圆
B．两条平行直线
C．抛物线
D．双曲线
(2001年春高考题)
[分析与解答]
2．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋=r2，圆心在直线x＋y－2=0上，a＋b－2=0，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2=4，故应选(A)．
4．作出草图，再作OA垂直已知直线3x＋4y－25=0于A点，
∴|OA|－1=5－1=4．就是圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值．应选(B)．
5．P在直线x=2上，|PA|=|PB|，P点在AB的垂直平分线上，由x－y＋1=0得A点坐标为(－1，0)．于是B点坐标为(5，0)．
又KPA=1．KPB=－KPA=－1．
由点斜式，PB的方程y－0=(－1)(x－5)，即x＋y－5=0
∴应选(C)．
7．直线l1与直线l2关于直线y=x对称，以(y，x)代换(x，y)，由l1得，ay＋bx＋c=0(ab＞0)，即bx＋ay＋c=0，应选(A)．
8．x2＋y2＋4x＋3=0，即(x＋2)2＋y2=1，圆心(－2，0)，半径为1，过原点的直
9．这题有的同学用夹角公式去求，理论上是正确的，但计算量太大了，实际上很难算出来．要认真分析，结合图形去思考．
l1：y=x，斜率为1，倾斜角α1=45°．
作出草图去思考，α1=45°,l1与l2的夹角不超过15°,则α2的范围为30°到45°，及45°到60°．
又tanα2=a，
a的范围在tan30°到tan45°，及tan45°到tan60°，
10．设P点坐标(1，t)，Q点坐标(x，y)，这里有两个关系，OP⊥OQ，|OP|=|OQ|，我们通过这两个条件，建立方程．
x2＋y2≠0，y2=1，∴y=±1．
所求轨迹为两条平行线，应选(B)．
(二)填空题．
1．给定三点A(1，0)，B(－1，0)，C(1，2)，那么通过点A，并且与直线BC垂直的直线方程是________(1989年高考题)
[分析与解答]
直线的方程y－0=(－1)(x－1)即x＋y－1=0，有的同学首先用两点式求出直线BC的方
程，你认为有必要吗？
切线，找斜率的最大值．
设切线为y=Kx，Kx－y=0，
(三)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A的平分线所在直线的方程y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．(1992年高考题)
[分析与解答]
两条直线相交得一个交点，求A与C的坐标，需先求过两点的直线方程．
[解法二] 同解法一，得顶点A(－1，0)．
因x轴是∠A的平分线，所以点B(1，2)关于x轴的对称点B1(1，－2)在AC所在的直线上，由两点式得AC的方程y=－(x＋1)，以下同解法一．
(四)已知两条直线l1：2x－3y＋2=0，l2：3x－2y＋3=0，有一动圆(圆心半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1、l2被圆所截得弦分别为26，24，求圆心M的轨迹方程．(1983年高考题)
[分析与解答]
两条直线同一个圆，l1，l2分别有圆半径，圆心距，弦长之间的关系，消去共同变量圆半径，则可得到M的轨迹方程．
设圆心M(x，y)，圆半径R，M到l1，l2的距离为d1，d2．根据弦，弦心距，半径间的关系
代入上式化简为x2＋2x＋1－y2=65
∴M的轨迹方程为 (x＋1)2－y2=65．
(五)已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程．并说明它表示什么曲线．(1994年高考题)
[分析与解答]
如图，设MN切圆于N，|MN|=λ|MQ|，(λ＞0)
因圆的半径|ON|=1
|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，
整理得，(x2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4x2)=0，为所求轨迹方程．
当λ≠1时，方程表示一个圆．
(六)已知一个圆C：x2＋y2＋4x－12y＋39=0，和一条直线l：3x－4y＋5=0，求圆C关于直线l对称的圆的方程．(1985年高考题)
[分析与解答]
圆C：(x＋2)2＋(y－6)2=1，圆心为(－2，6)，半径r=1．圆C关于l对称的圆C'，圆C'的半径为1，而圆心(a，b)与(－2，6)关于直线l对称，这个问题实际上是求点(－2，6)关于直线l的对称点(a，b)，用求对称点的办法解决．
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋2)2=1．
(七)自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．(1989年高考题)
[分析与解答]
根据入射光线与的反射光线的对称性，设光线所在直线的方程为
y－3=K(x＋3)，即Kx－y＋3K＋3=0
已知圆，x2＋y2－4x－4y＋7=0
圆C为(x－2)2＋(y－2)2=1与圆C关于x轴对称圆C'的方程为C'：(x－2)2＋(y＋2)2=1，直线Kx－y＋3k＋3=0与圆C'相切．
∴所求直线方程为4x＋3y＋3=0或3x＋4y－3=0．
[分析与解答]
sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，A≠B，
可得，a=6，b=8，设△ABC内切圆圆心为O'
内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2=4．
[解法一] 设圆上动点P的坐标为(x，y)，
S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
=3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76=88－4x．
因P点在内切圆上，0≤x≤4，
S最大值=88－0=88，S最小值=88－16=72．
圆上动点P的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)．
S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
=(2cosθ－6)2＋(2＋2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(2sinθ－4)2＋(2＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ)2
=80－8cosθ，
∵0≤θ＜2π，
S最大值=80＋8=88，S最小值=80－8=72．
(九)如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A，B，试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C，使∠ACB取得最大值．(1986年高考题)
[分析与解答]
设点A的坐标为(0，a)，点B的坐标为(0，b)，0＜b＜a，
设C点的坐标为(x，0)，(x＞0)，
(十)设圆满足①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1
在满足条件①，②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．(1997年高考题)
[分析与解答]
设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得各弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为
∴2b2=a2＋1，2b2－a2=1．
则 5d2=|a－2b|2=a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)=2b2－a2=1．
当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，d取得最小值．
∴所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2=2或(x＋1)2(y＋1)2=2．
圆与圆的位置关系
设两个圆C1和C2的圆心和半径分别为C1（a1，b1）、r1，C2（a2，b2）、r2则
＝r1＋r2 C1和C2外切．
＝|r1－r2| C1和C2内切．
＞r1＋r2 C1和C2外离．
＜|r1－r2| C1和C2内含．
|r1＋r2|＜＜r1＋r2C1和C2相交．(共6张PPT)
直线与圆部分练习题
1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ）
A. 4 B.
C.5 D. 5.5
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( )
A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0
3、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（ ）
A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定
4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是________________________
B
C
B
x+y-5=0
5、直线 x+y+a=0与 y= 有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A. [1, ) B.[1, ] C.[ , -1] D ( , -1]
D
6、一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为 ，求此圆方程。
答： (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9
直线与圆的位置关系
一、直线与圆位置关系的判定方法
方法1、利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判定
1、当d2、当d=r时，圆与直线相切
3、当r>r时，圆与直线相离
注意：要用点（圆心）到直线的距离公式，直线方程要化 为一 般式形式
方法2、判别式法。即：利用直线方程与圆方程联立的方程组的 解来判断
1、联立直线与圆的方程组，
2、把直线方程化为y= kx+b的形式代入圆的方程，并整理为关于x的一元二次方程形式
3、利用以上一元二次方程的判别式 与零的大小判断
（1）当 >0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，即方程组有两组解，那么直线与圆有两个交点，即直线与圆相交。
（2）当 =0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，即方程组有一组解，那么直线与圆有两个交点，即直线与圆相切。
步骤：
（3）当 =0 时，一元二次方程有无实数根，即方程组无解，那么直线与圆没有交点，即直线与圆相离。
直线与圆的位置关系中
常用技巧
充分利用直线与圆的位置关系如：垂直、相交于一点（相切）等列方程
1、垂直时用斜率之积等于-1列方程
2、相切时用圆心到直线的距离等于半径列方程
3、相交时用半径、弦心距和弦的一半构成的直角三角形利用勾股定理列方程
求弦心距的方法：圆心到弦所在的直线的距离，即用点到直线的距离公式计算。直线和圆的方程知识系统及其结构
本章研究的对象是直线和圆．用坐标法，数形结合，主要研究曲线（含直线）和方程的关系，直线和圆的方程．用方程研究两条曲线（含直线）的位置关系．
知识系统及其结构如框图所示：
本章内容共7节，分三个单元：直线、曲线和方程、圆的方程．
类比一次函数的图象，认识直线和方程的关系．数形结合研究直线的方向，引出直线的倾斜角α，α≠90 时，转化为用斜率表示直线的倾斜程度，用直线上的点和斜率研究直线方程．用方程研究两条直线的位置关系，把方程转化为不等式研究平面区域，进而研究它的应用——简单的线性规划，并进行社会实践活动的实习作业．
在认识直线和方程的基础上，由特殊到一般，研究一般曲线和方程（的关系），又研究特殊的曲线——圆的方程．
α=90
直
线
和
圆
的方
程
直线的倾斜角（α）
直 线 的 方 程
两条直线的位置关系
简单的线性规划
直线
曲线和方程
斜率
特 列
实习作业
一 般
圆的方程
特 殊参数方程概念辨析
课本中炮弹的飞行轨迹是学生在物理学习中极为熟悉的“斜抛运动”的一个实例．教学中不必过多解释，重点在于利用它，从数学的角度说明力学中的运动方程就是数学中的参数方程．它们是实际研究的需要，便于表示两个变量之间的联系．同时由于参数t有一定取值范围，导致x、y也有一定的取值范围．在具体研究中，参数t可以是有物理、几何意义的变量，也可以是变数．关键是t与点（x、y）能否构成对应关系．同时，学生应认识到引进参数t可以起到减少变量个数的作用，给研究多变量问题以一个新的方法．
一条直线规定了方向和原点后，只要一个变量就可以表示直线上点的位置．(例如x轴)当直线位于平面内时，表示直线上点的位置，除了一个变量外，还需对直线本身位置的刻画，直线参数方程，，中（）及就是对直线自身位置的描述，t是对直线上点的位置的描述．
课本的例1给出了椭圆的一个参数方程，两个圆分别叫做椭圆的大辅助图和小辅助图，椭圆长轴和短轴分别是它们的直径．其中叫做椭圆上点的离心角．椭圆上只有个别点（如椭圆的顶点）的离心角与中心角相等．一般点的中心角与离心角不同．两个点离心角的差与中心角的差也不同．因与椭圆上的点一一对应，椭圆上点可表示为P (acos、bsin)，起到减少变量个数的效果．
参数方程化为普通方程后，普通方程表示的曲线的范围可能扩大．它的逻辑原理是：，,（λ是常数，λ∈R）．即方程组的解一定是方程的解，方程的解不一定是方程组的解，也可叙述为f＋g = 0是f = 0且g = 0成立的必要条件．由此可知，任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性．从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用x = f（t），y = g（t），借助函数中求值域的方法，以t为自变量，求出x和y的值域，作为普通方程中x和y的取值范围．圆的方程例题讲解
有助于掌握圆的标准方程的特征、求圆的方程及其圆心、半径和一般方程转化为标准方程的方法，并学会用圆的各种形式的方程研究直线与圆的位置关系．设计的例题注意开放性和应用性，以培养学生的创新和应用意识．
例1．求过原点与直线l：2x－y+3 = 0相切，切点在y轴上的圆的方程．
目的在于掌握用标准方程或一般方程求圆的方程的方法，兼顾掌握直线与圆相切的特征．教学时，引导学生分析条件，选择用圆的哪种形式的方程求解较方便．
若用标准方程或参数方程，须求圆心（a，b）和半径r．若用一般方程，须求圆上的三点坐标．显然，切点易求得A（0，3），又过原点O（0，0），只须求圆与x轴的另一个必交点B（x1，0）．易知AB是圆的直径．由直线AB⊥l，得，即x1=6，此时，直径AB的两个端点已知，无论用哪种形式的方程都可得圆的方程x2 + y2－6x－3y = 0．
例2．设方程 x2 + y2－(2m+6 ) x + (2－8m2 )y +16m4 + 9 = 0．是否存在实数m，使方程表示的圆的圆心在x轴上，若存在，求m的值及这时圆的圆心和半径；若不存在，说明理由．
目的在于掌握圆的一般方程的充要条件，和用配方法化一般方程为标准方程．教学时，引导学生注意圆的一般方程的充要条件，根据条件灵活、创造性地运用圆的知识．启发对开放探索性问题封闭解．假设存在m的实数值的情况下求解．用配方法，得
．
解不等式、与方程 得 ．
若用圆的一般方程的充要条件：D2+E2－4F>0，和圆心在x轴上得E = 0，也可以求得，然后再求此时的圆心（）和半径（）．圆的方程知识系统及其结构
知识系统及其结构如框图所示：
用坐标法研究圆，依据初中学过的圆的定义，数形结合得到圆的标准方程．这里不研究圆的基本的性质，只研究标准方程的特点，根据条件建立标准方程和它的应用．运用乘法公式，可把标准方程化为二元二次方程的一般形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，在D2+E2－4F>0的条件下，称之为圆的一般方程．运用配方转化的思想方法，一般方程可转化为标准方程．用参数表示圆上任意的坐标，又得圆的参数方程，参数方程与标准方程可以互化．
教学时，重点突出两点：一是求圆的方程．其方法有轨迹法和待定系数法两种．二是根据圆的方程研究圆的自身性质和圆与其他几何图形，特别是与直线、圆的位置关系．
圆
圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2 = r2
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
D2+E2－4F>0
圆的参数方程
直线与圆的位置关系(共9张PPT)
直线与圆的位置关系
X
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
直线与圆的位置关系
d > r
d = r
d < r
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
(2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
n=0
n=1
n=2
△<0
△=0
△>0
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
的判定方法：
(1)若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)
与圆的位置关系是 ( )
(A)在圆上 (B) 在圆内
(C) 在圆外 (D)以上皆有可能
(2)若圆x2+y2=1与直线 + =1(a>0,b>0)相切，
则ab的最小值为 ( )
(A)1 (B) (C)2 (D)4
C
C
例题1
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16
(1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程;
(2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求弦AB中点M的轨迹.
例题2
O
x
y
P(5,0)
Q
解:（1）设过P的圆O的切线切圆于点Q，
∵△PQO是Rt△ ，
∴切线长PQ=
连OQ，
（2）设M(x,y)是所求轨迹上任一点，A(x1,y1),B(x2,y2)
AB的斜率为k，
由题意：
消去y得：
0
16
25
10
)
1
(
2
2
2
2
=
-
+
-
+
k
x
k
x
k
（*）
消去k得：
当y=0时,k=0 此时x=0 而
又由
所求轨迹方程为
练习
(4)若方程 有解，求b的取值范围。
(1)已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0，则过A(3，5)的圆的切线方程为 。
(2)圆x2+y2 2x 4y+1=0上到直线x+y 1=0的距离为 的点共有 个。
(3)已知圆C:x2+y2 2x 4y+1=0，直线l:x+y+2=0，在圆上求一点P，使P到直线x+y+2=0的距离最短。
设切点为Q（x0，y0），则切线方程为xox+y0y=16
由题意得：
所求切线方程为：
设所求切线方程为
即：
设所求切线 方程为：
直线l与圆O相切， O到直线l的距离等于半径
即：
解得：
所求切线方程为：代数问题的三角解法
数学的解题方法，华彩纷呈．对于代数、几何、三角，其中一者的问题可用另外二者的方法去求解．本文就代数问题的三角解法分类举例说明如下：
一、若题中出现x2＋y2 = m2(x、y、m＞0)时，可考虑作三角代换x = msinθ，y = mcosθ
二、若题中出现|a|≤1，|b|≤1时，可考虑作三角代换a＝sinθ1，b＝sinθ2(或
cosθ2)
简析：由|x|≤1，|y|≤1可联想到|sinθ1|≤1和|sinθ2|≤1．
可假设x＝sinθ1，y = sinθ2，证明思路便明朗化．
证明：设x = sinθ1，θ1∈(－∞，＋∞)，y = sinθ2，θ2∈(－∞，＋∞),
根．
四、若题中出现1＋x2时，可考虑作三角代换x = tanθ
中出现x2－y2 = m2时，可设x = msecθ(或mcscθ)，y = mtanθ(或mcotθ)；若题中
最后，值得一提的是，用三角代换求解代数问题，必须注意确定角的范围，否
则，可能破坏代换前后变量取值范围的一致性，导致解题失误．例如，已知x＋y＝1，求M＝(x＋3)2＋y2的最值．若设x＝sin2θ，y＝cos2θ，代入整理得M＝2(sin2θ＋1)2＋8，M最大＝16，M最小＝10．这样，就解答错了，这是因为把x，y的
圆的标准方程教学内容与教学目标
1．教学内容：
圆的一般方程．求圆的方程．
2．教学目标：
（1）知道什么是圆的一般方程，表示圆的充分条件是什么？会由圆的一般方程确定圆的半径和圆心坐标，会根据已知条件灵活运用圆的标准方程或一般方程求圆的方程．
（2）通过圆的标准方程和一般方程的互化、求圆的方程，了解其中的转化思想方法和配方、待定系数的数学方法．
（3）通过方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件的教学，培养逻辑思维能力；在解决问题中培养运算能力．
（4）通过本节课的教学，对学生进行事物之间是相互联系，在一定条件下相互转化的辩证唯物主义观点教育．圆的标准方程课题引入
根据教学内容特点，课题引入式可以是：
1．以“形”引“数”，用“数”解“形”．由平面几何可知，直线和圆有相割（两个交点）、相切（一个交点）和相离（无交点）的位置关系，相应的方程组有两个解、一个解和无解．依据方程的性质，我们来研究不通过求出方程组的解判断直线和圆的位置关系的办法，引出本课题．
2．对比旧课，引出新课，我们学过，根据两个直线方程的系数关系，可以判断两条直线的位置关系，那么，用直线和圆的方程的系数能不能判断它们的位置关系，现在来研究这个问题，引出本课题．圆的一般方程知识讲解
1．圆的一般方程．
圆的一般方程，是指方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0在D2＋E2－4F＞0的条件下表示圆的方程名称．一般方程来源于用乘法公式把标准方程展开整理，也可以认为是二元二次方程的一般式
Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 ④
在（1）A＝C≠0，且（2）B＝0时的特殊形式转化而来．把这两个认识结合起来，条件（1）和（2）是方程④表示圆的必要而不充分条件．
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．如果表示圆也未突出圆的位置和大小的特征．但可以清楚的看出三个独立条件确定圆．
教学时，由圆的一般方程化标准方程时，既可用配方法（这是重点），也可用公式：，，（D2＋E2－4F＞0）．
2．三个独立条件确定一个圆，求圆的方程．
从平面几何可知，不共线的三点确定一个圆，从圆的标准方程和一般方程可知，均含三个待定的字母参数．标准方程中参数的意义明确，只须求得圆心的坐标和半径，代入标准方程可得圆的方程；一般方程中参数的意义隐含，但形式表明，求得圆上三点的坐标，用待定系数法易求参数D、E、F．
教学时，应引导学生分析已知条件，选用方程形式，创造性地应用．以培养创新意识．圆知识内容与网络结构
圆
曲线和方程
标准方程
一般方程
在
上
在
外
在
内
相交
相切
相离
点和圆的位置
关系
圆和圆的位置
关系
直线和圆的位置
关系
相交
相切
相离圆的切线方程
过定点P（x0，y0）的圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线．
（1）若P点在圆上，过P点只有圆的一条切线，切线方程为x0x＋y0y＋（x＋x0）＋（y＋y0）＋F＝0．
（2）若P点在圆外，则过P点的圆的切线有两条．
这类问题可以这样解：设出切线方程，其中斜率k为待定系数．再利用圆心到切线的距离等于半径（或判别式等于零），求出k值．
（3）若P点在圆内，则过P点的圆的切线不存在．圆的参数方程教案2
教学目标
(1)了解曲线的参数方程的含义，参数方程和普通方程的区别．
(2)掌握圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半径，在解题中灵活运用．会把圆的参数方程与普通方程进行互化．
(3)掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方法．
教学重点和难点
重点：圆的参数方程，圆的参数方程与普通方程的互化．利用距离判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．
难点：参数方程的理解．点与圆、直线与圆、圆与圆位置的判断．
教学过程设计
(一)学生阅读课本．(P97 3．圆的参数方程到P98例6前)．
(二)导入新课，设圆O的圆心在原点，半径是r．
根据三角函数的定义：
P点的横坐标x，纵坐标y都是Q的函数．
我们把这个方程叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．如果圆的圆心为O1(a，b)，半径为r，我们可以看成是由圆心在原点O，半径为r的圆按向量V=(a，b)平移而得到．
即(x，y)=(rcosθ，rsinθ)＋(a，b)=(a＋rcosθ，b＋rsinθ)
这个方程表示圆心在(a，b)点，半径为r的圆．
消去参数就得到圆的标准方程．
(x－a)2＋(y－b)2=r2．
相对于参数方程来说，我们前面学过的方程叫曲线的普通方程．
例1 如图，已知点P是圆x2＋y2=16上的一个动点，点A是X轴上的定点，坐标为(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
[分析] 这个问题符合我们前面学过的用“转化法”求轨迹的特征，我们先用“转化法”作一下．然后再考虑其它方法．
[解法一] 设动点M的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x′，y′)．
则(2x－12)2＋(2y)2=16．(x－6)2＋y2=4．
∴M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆．
[解法二] P点在圆x2＋y2=16上，P点的坐标为(4cosθ，4sinθ)
设动点M(x，y)则
由此可知，M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆．
显然用参数方程表示出P的坐标，直接把圆的条件用进去，使解法简化．
例2 经过圆x2＋y2=4上任一点P作X轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．
于是Q点的坐标为(2cosθ，0)．
(三)新课堂练习．
2．课本练习题2．(1)(x－1)2＋(y＋3)2=4，(2)(x－2)2＋(y－2)2=1．
(四)教师讲授．
我们已经研究了圆的三种形式的方程，现在我们来研究圆与点，圆与直线，圆与圆的位置关系．
M3(1，0)与圆C的位置关系．
把圆C的参数方程化为普通方程，(x－1)2＋(y－2)2=4．
即x2＋y2－2x－4y＋1=0．
∴M1在圆C的外部．
把M2(2，1)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=－2＜0．
∴M2在圆C的内部．
把M3(1，0)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=0．
∴M3在圆上．
小结：由上面我们得出判断一个点在圆内、圆外、圆上的基本方法；即把这点M(x0，y0)代入圆的一般式f(x，y)=0的左边，f(x0，y0)＞0点M(x0，y0)在圆外；f(x0，y0)=0点M(x0，y0)在圆上；f(x0，y0)＜点M(x0，y0)在圆内．
同学们想想，这是为什么？经过研究大家发现，
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，(x0－a)2＋(y0－b)2－r2＞0，∴f(x0，y0)＞0．
类似地可推出M点在圆上，圆内的情况．
问题2．K为怎样的值时，圆(x－1)2＋y2=1与直线y=Kx＋2
(1)相切，(2)相交，(3)相离
圆(x－1)2＋y2=1的圆心为(1，0)，半径为r=1．
有些同学通过交点的个数去判断．
Δ=(4K－2)2－16(1＋K2)=(－4)(4K＋3)
小结：通过以上研究，给我们提供了判断圆与直线位置关系的两条途径．
1．从距离考虑：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d=r，圆与直线相切；d＜r，圆与直线相交；d＞r圆与直线相离．
2．从交点考虑：设圆与直线组成方程组，得出一个一元二次方程，其判别式为Δ．
Δ=0，圆与直线相切；Δ＞0圆与直线相交；Δ＜0圆与直线相离．
这两种办法中，方法1更为普遍．而方法2有时计算量过大，应用起来不方便．
问题3．a为何值时，圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0与圆x2＋y2=4(1)外切，(2)内切，(3)相交，(4)外离，(5)内含．
根据平面几何中两圆位置关系的研究，我们应从两圆连心线的距离与两圆半径间的关系去判断两圆的位置关系．
圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0的圆心(－a，2a)，半径R=3．
圆x2＋y2=4的圆心(0，0)，半径r=2．
小结：通过上例我们可知，两圆的位置关系，可以由两圆连心线的长度d，与两圆半径R与r(R＞r)的数量关系去判断．
(五)作业．习题7．7 9．10．11．
