解答题3
求过（2，－1）点，且与直线x－y－1= 0相切，圆心在直线2x + y = 0上的圆的方程．
答案：
略解：设所求圆的方程为 ( x－a )2 + ( y－b )2= r2．由已知得
或
所求圆的方程为 ( x－1 )2 + ( y + 2 )2 = 2或( x－9 )2 + ( y + 18 )2 = 338．填空题3
一圆与y轴相切，圆心在x－3y = 0上，且在直线y = x上截得的弦长为，则此圆的方程是____________．
答案：
( x－3 )2 + ( y－1 )2 = 9或 ( x + 3 )2 + ( y + 1 )2 = 9
分析：
设所求圆的方程为：( x－a )2 + ( y－b )2 = R2．
则 或
三、选择题25
已知直线x=a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2=4相切，那么a的值是 ( )
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2
答案：C选择题14
过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
(A) (B) (C) (D)
答案：C选择题7
圆x2 + y2 + 2x + 4y－3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离为的点共有（ ）
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
答案：C综合测试题2
一．选择题：
1．过点(2，1)与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的圆心的直线方程是
[ ]
A．x＋3y－5＝0
B．3x＋4y－10＝0
C．x＝2
D．3x－y－5＝0
2．直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝2相交与两个不同的点，则k的取值范围是
[ ]
A．k∈R
B．k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)
3．点M为圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0的圆心，若圆与y轴交于A，B两点，且∠AMB＝90°，则m的值为
[ ]
A．－3
B．3
C．8
4．图中的曲线是一个半圆，它的方程是
[ ]
A．(x－2)2＋(y－3)2＝2
C．(x－2)2＋(y－3)2＝4
5．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y＋9＝0和直线l：x－y－1＝0，则C1关于直线l对称的圆的方程为
[ ]
A．x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0
B．x2＋y2－6x＋2y＋9＝0
C．x2＋y2－8x＋15＝0
D．x2＋y2－8x－15＝0
二．填空题：
6．直线y＝(2＋m)x－n＋5与直线y＝7x＋15平行，且相距为5，则m＝________，n＝________．
7．过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的交点的直线方程是________
三．解答题：
8．求圆的切线方程
(1)过点(3，3)，(2)过原点，(3)与直线x－y－2＝0垂直．
PA，并延长PA至Q，使|AQ|＝2|PA|，求Q点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
(1)证明两圆外切，且x轴是它们的一条外公切线．
(2)求切点间的两弧与x轴所围成图形的面积．
综合习题2答案
1．D．
2．C．
3．A．
4．B．
5．C．
7．x－y－3＝0
切线的斜率k′＝1，由点斜式，切线方程为y－3＝x－3．
即x－y＝0．
k2－8k＋7＝0，k＝7或k＝1．
切线方程为y＝x或y＝7x．
(3)与直线x－y－2＝0垂直的切线的斜率为－1．
设切线方程为y＝－x＋b，即x＋y－b＝0，
∴切线方程为x＋y－8＝0或x＋y－4＝0．
由定比分点公式
平方相加，x2＋(y＋2)2＝36．
∴Q点的轨迹方程为圆x2＋(y＋2)2＝36．
10．C1：x2＋(y－3)2＝9，圆心C1(0，3)，半径r1＝3．
∴圆C1与C2外切．
又圆心C1(0，3)到x轴的距离为d1＝3＝r1，x轴与C1相切，
∴x轴为C1、C2的外公切线．
测试题
一、选择题
1．直线上到点A(－2，3)的距离等于的一个点是 ( )
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－2－，3+) D．(－2，3)
2．直线上任意一点到点(1，2)的距离是 ( )
A．t B．︱t︱ C．︱t︱ D．︱t︱
3．曲线x y=1（0＜x＜1）的参数方程可能是 ( )
A． (为参数，≠，)
B． (t为参数，t≠0)
C． (为参数，是锐角)
D． (为参数，≠，)
4．曲线，(t为参数)上有不同的两点M1，M2对应的参数t1，t2，则直线M1，M2的斜率为 ( )
A． t1＋t2 B． t1－t2 C． D．
5．与参数方程（t为参数）等价的普通方程是 ( )
A． x2+ B． x2+(0≤x≤1)
C． x2+(0≤y≤2) D． x2+(0≤x≤1, 0≤y≤2)
6．直线（t为参数）的倾斜角是 ( )
A．20° B．70° C．110° D．160°
7．椭圆(为参数)上一点P到右焦点的距离为2，则点P到右准线的距离 ( )
A． B．8 C． D．10
二、填空题
1．曲线，（为参数）两焦点之间的距离是___________________．
2．直线，（t为参数）的倾斜角是___________________．
3．A是圆x2＋y2= 4上的动点，AB垂直x轴于B点，P是线段AB的中点，那么，P点的轨迹方程是____________________．
4．圆，当由O变到2时，圆所扫过的面积为_________________．
5．表示的曲线是____________________．
6．直线与直线的位置关系是______________．选择题20
直线 (t为参数)的倾斜角是（ ）
(A) 20° (B) 70° (C) 110° (D) 160°
答案：C圆的标准方程习题2
1．直线ax＋y＋3=0与(x－1)2＋(y＋3)2=1的位置关系是
[ ]
A．相离 B．相切
C．相交 D．不能确定，与a取值有关
2．求圆心在y轴上，且过点(2，3)，(0，1)的圆的方程．
3．一圆与直线x＋y－2=0切于点P(6，－4)，圆心在直线y=－4x上，求这圆的方程．
4．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且在直线y=x上截
5．设(x，y)∈{(x，y)|(x－2)2＋(y－2)2≤1}，求z=x＋y的最值．
圆的标准方程习题2答案
1．C
2．x2＋(y－3)2=4
3．(x－2)2＋(y＋8)2=32
4．设所求圆的圆心为O′(3t，t)，半径为r，圆与直线交于A、
所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2=9，(x＋3)2＋(y＋1)2=9．
选择题4
过定点M（－2，4）作圆C：( x－2 )2 + ( y－1 )2 = 25的切线L，L1：ax + 3y + 2a = 0与L平行，则L1与L间的距离是（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：D填空题2
已知圆C1：x2 + y2－2mx + m2 = 4，圆C2：x2 + y2 + 2x－4my－4m2 = 8相交于两点，则m的取值范围是_____________．
答案：
或 0 < m < 2．测试题
1．填空题：（只填化简的方程）．
（1）已知点A（0，2）、B（0，2），动点M到点A与B的距离的平方和是10，点M的轨迹方程是_________________．
（2）动点M到点A（0，－1）的距离等于它到直线y－1＝0的距离，点M的轨迹方程是_____________．
（3）动点M与原点连线的斜率的值等于它到y轴的距离，点M的轨迹方程是_______．
2．解答题：
（4）已知定点A到定直线l的距离是3，求动点M到定点A与它到定直线l的距离之比为2︰1的轨迹方程．
答 案
1．填空题
（1）设M（x、y），则x2＋（y＋2）＋x2＋(y－2)2＝10，化简，得x2＋y2＝1．
（2）设M（x、y）则，化简，得x2＋4y＝0，或．
（3）设M（x、y）则＝︱x︱，化简，得y＝︱x︱x（x≠0）．
2．解答题：
（4）解：
①如图7－7（1）建立坐标系，
设点M（x、y）．则点A（0，3），l：y＝0．
依题意，得：
，
化简，得x2－3y2－6y＋9＝0．
经验证，所求轨迹方程为：x2－3y2－6y＋9＝0．
②如图7－7（2）建立坐标系，
设M（x、y），则A（0，2），l：y＋1＝0．
依题意，得．
化简，得x2－3y2－12y＝0．
经验证，所求轨迹方程为x2－3y2－12y＝0．选择题24
如果直线l将圆：x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是
（ ）
(A) [0，2] (B) [0，1] (C) [0，] (D)
答案：A选择题10
动点P (sin θ＋cos θ，sin 2θ)的轨迹方程是（ ）
(A) x2 = 1＋y (B) x = 1＋y2
(C) x2 = 1＋y（－1≤y≤1） (D) x2 = 1＋y（－2≤x≤2）
答案：C
分析：
设消去θ，注意，y∈[－1，1]．测试题
一．选择题：
1．直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行但不重合，则a等于
[ ]
A．－1或2
B．－1
C．2
2．直线l1：y＝3x－4和直线l2关于直线x＋y＝0对称，则l2的方程为
[ ]
3．已知A：x2＋y2≤1，B：(x－1)2＋y2≤4，那么A是B的
[ ]
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．直线l把圆：x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不经过第四象限则l的斜率的取值范围是
[ ]
A．[0，2]
B．[0，1]
[ ]
6．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线c上”是不正确的，则下面命题中正确的是
A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线c上
B．曲线c上点的坐标都不满足f(x，y)＝0
C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线c上，有些不在曲线c上
D．一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
二．填空题：
7．过(3，5)点，与直线3x－2y＋7＝0交成45°角的直线方程是________
8．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足是(1，P)，则m＋n－P＝________
9．圆x2＋y2－2x－4y－11＝0关于P(－2，1)对称的圆的方程是________
10．圆x2＋y2－4x＋6y＋9＝0的各点中，到直线x－y＋2＝0距离最远的点的坐标是________
三．解答题：
11．求圆x2＋y2＝1的切线方程，使此切线夹在两坐标轴正半轴间的线段最短．
12．求通过原点，且与两相交直线x＋2y－9＝0和2x－y＋2＝0相切的圆的方程．
13．求经过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程．
14．已知直线kx－y＋2k＝0与过原点的曲线|y|＝x2＋h(|y|≤1)
(1)求证直线恒过定点，并求出这个定点的坐标．
(2)若k∈R，试确定直线与曲线交点的个数．
已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝2．
(1)求过原点，且与圆相切的直线方程．
(2)设(1)中的二切点为T1、T2，求直线T1T2的方程．
参考解答：
1．(B)、2．(B)、3．(A)、4．(A)、5．(D)、6．(D)．
7．5x+y-20=0或x-5y+22=0．
8．m+n-p=0． 9．x2+y2+10x+9=0．
11．设圆x2+y2=1的切线方程为x0x+y0y=1．这里的(x0＞y0)为切点．切线x0x+y0y=1在两轴上的截距．
12．
设 所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2．圆过原点，原点到圆心的距离为半径，
r2=a2+b2．
l1：x+2y-9=0, l2：2x-y+2=0．
圆心应在l1、l2夹角平分线上，由
x-3y+11=0，和3x+y-7=0．
则平分线方程应选3x+y-7=0，圆心(a,b)在这直线上，
∴所求圆的方程为 (x-2)2+(y-1)2=5
以直线被圆所截得弦长为直径的圆是面积最小的圆．
设 弦的中点c为(x0,y0),
y=-2x-4. y1-y2=-2(x1-x2).
14.(1)∵kx-y+2k=0即(x+2)k-y=0,
当且仅当x=-2,y=0时恒成立，∴直线恒过定点(-2,0)．
(2)∵曲线过原点，∴h=0,
∴曲线│y│=x2(y≤1)即抛物线y=x2和y=-x2的一部分，四个端点的坐标分别为A(1,-1),B(1,1)C(-1,1),D(-1,-1).在同一坐标系中画出直线与曲线的图形．
不难确定直线与曲线：
当K＜KPD或K＞KPC时，无交点；
当KPD≤K＜KPA或K=KP0
或KPB＜K≤KPC时，有一个交点，
当KPA≤K＜0或0＜K≤KPB时，有两个交点．
就是说，当K＜-1或K＞1时，没有交点；
(2)先求以原点为圆心，过切点T1、T2的圆．这个圆过O、T1、C、T2四个点，以OC为直径，O的坐标(0,0),C的坐标(2,2),根据如果一个圆的直径的端点是A(x1,y1),B(x2,y2)．
以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
(课本100页3题)
过切点T1、T2的圆为(x-0)(x-2)+(y-0)(y-2)=0,
(x-1)2+(y-1)2=2,
再通过圆系来求过T1、T2两点的直线方程，
过T1、T2两点的直线方程为
[(x-2)2+(y-2)2-2]-[(x-1)2+(y-1)2-2]=0,
即 -2x-2y+6=0, x+y-3=0，
∴过T1、T2两点的直线方程为x+y-3=0．
解答题10
设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．
答案：
解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,
│a│．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有
r2=a2+1．
从而得2b2-a2=1．
又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
,
所以5d2=│a-2b│2
=a2+4b2-4ab
≥a2+4b2-2(a2+b2)
=2b2-a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值．
由此有
解此方程组得
或
由于r2=2b2知．
于是,所求圆的方程是
(x-1) 2+(y-1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2．
解法二:同解法一，得
∴
得 ①
将a2=2b2-1代入①式,整理得
②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
△=8(5d2-1)≥0,
得 5d2≥1．
∴5d2有最小值1，从而d有最小值．
将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．
将b=±1代入r2=2b2,得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．
综上a=±1,b=±1,r2=2．
由=1知a,b同号．
于是,所求圆的方程是
(x-1) 2+(y-1) 2=2,或(x+1) 2+(y+1) 2=2．选择题3
已知圆的方程x2 + y2 + kx + 2y + k2 = 0，定点P（1，2）．要使过点P所作圆的切线有两条，则k的取值范围是（ ）
(A) k∈R (B)
(C) (D)
答案：D解答题8
已知集合P={(x，y)|y=x2－2x}，Q={(x，y)|y=kx－2}，若P∩Q≠ ，求k的取值范围．
答案：
由△=(2+k)2－8≥0得或．测试题
一、选择题
1．参数方程表示的曲线是 ( )
(A) 线段 (B) 双曲线的一支 (C) 圆弧 (D) 射线
2．参数方程表示 ( )
(A) 双曲线的一支，这支过点（1， ）
(B) 抛物线的一部分，这部分过点（1， ）
(C) 双曲线的一支，这支过点（－1， ）
(D) 抛物线的一部分，这部分过点（－1，）
3．曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是 ( )
(A) (x－1)2(y－1)=1 (B) y=
(C) (D)
4．曲线xy=1的参数方程是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题
曲线的参数方程是，则曲线的普通方程是 ．
答 案
一、选择题
1．A 2． B 3． B 4． D
二、填空题
，(0≤x≤1，0≤y≤2)测试题
1．填空题：
（1）圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标和半径分别是_________和____________；
（2）经过三点A（－1，0）、B（0，1）、C（3，0）的圆的方程是______________．
2．解答题：
（3）若方程x2＋y2－4λ2x＋2（λ－1）y＋4λ4＋1＝0表示的圆的圆心在直线y＝x上，求λ的值．
（4）已知圆过点A（2，0）和B（0，－4），且圆心有直线l：x＋y＝0上，求圆的一般方程．
答 案
1．填空题：
（1）配方得x2＋(y－4) 2＝5，则圆心坐标和半径分别是（0，2），．
（2）设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
解之
圆的方程是x2＋y2－2x＋2y－3＝0．
2．解答题：
（3）配方；得(x－2λ2)2＋(y＋λ－1)2＝λ2－2λ
则圆心为（2λ2，1－λ），且λ2－2λ＞0
解 得 取λ＝－1．
或解 即
解之，得λ＝－1．所以λ＝－1．
（4）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，，依题意，得
解之，得
所求圆的一般方程为x2＋y2－6x＋6y＋8＝0．选择题18
过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 ( )
(A) (B) (C) (D)
答案：C选择题22
圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y－25=0的距离的最小值是（ ）
(A) 6 (B) 4 (C) 5 (D) 1
答案：B选择题15
全集I={(x，y )| x2+y2≤16 }，集合A={(x，y) | x2+y2＜4 }，集合B={(x，y)| |y|＜3 }，那么＝ ( )
(A) A (B) (C) (D)
答案：D选择题29
曲线的参数方程是 (t是参数，t0),它的普通方程是 ( )
(A) (x－1)2(y－1)=1 (B) y=
(C) (D)
答案：B选择题28
若圆在轴与轴上截得的弦长总相等，则圆心的轨迹方程是 ( )
(A) (B)
(C) 和 (D) 和
答案：D参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．C 4．A 5．D 6．C
7．A
二、填空题
1．
2．
3．
4．
5．以(5，)为圆心，半径为5的圆．
6．互相平行．选择题30
方程的实根共有 ( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
答案：A解答题9
已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为．求该圆的方程．
答案：
设圆P的圆心为P(a，b)，半径为，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90 ，知圆P截x轴所得的弦长为．故
r2=2b2
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有
r2=a2+1．
从而得2b2－a2=1．
又因为P(a，b)到直线x－2y=0的距离为，所以，
即有 a－2b=±1，
由此有
解方程组得
于是r2=2b2=2，
所求圆的方程是
(x+1)2+(y+1)2=2，或(x－1)2+(y－1)2=2．圆的标准方程习题
1．判断下列各题直线l和圆C的位置关系．
（1）l：2x－y－＝0，C：(x＋1)2＋y2＝25．
（2）l：x＋y－1＝0，C：x2＋y2＋2x＋4y＝0．
（3）l： y＝2x－1，C：x2＋y2＋2x－4y＝0．
2．直线x＝a（a＞0）和圆(x－1)2＋y2＝4相切，求a的值．
3．求与直线4x＋3y－26＝0相切于（5，2），且过点（－2，3）的圆的方程．
4．求过原点，割圆(x－2)2＋(y＋3)2＝3的弦长为的直线方程．
练习的目的是检查是否掌握用方程研究直线和圆的位置关系的方法，能否根据条件灵活运用它解决相关的问题．练习时，可相应分散，及时反馈；也可相对集中，课堂反馈．针对出现的问题及时讲评、矫正，必要时可重复类型题再练习．圆的参数方程习题
1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2=2，直线l的方程为x＋y－3=0，点P的坐标为(2，1)，那么
[ ]
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P在圆M上，又在直线l上
D．点P既不在圆M上，又不在直线l上
2．两圆x2＋y2=4和x2＋y2－6x－8y－24=0的位置关系是
[ ]
A．内切 B．外切
C．相交 D．内含
3．(1)化圆的普通方程x2＋y2－6x＋2y＋1=0为参数方程
迹方程，并说明轨迹是什么样的曲线．
8．求两圆x2＋y2=9与(x－6)2＋y2=1的内公切线的方程．
9．已知方程x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0(a＞0，a是常数，θ是参数)
(1)证明：不论θ是何值，方程均表示圆．
(2)求圆心的轨迹方程．
10．已知两圆x2＋y2=9和(x－3)2＋y2=27，求大圆被小圆截得的劣弧的长度．
圆的参数方程习题答案
1．C
2．A
8．圆O：x2＋y2=9，圆O′：(x－6)2＋y2=1
O点(0，0)，r=3；O′点(6，0)，r′=1
设P点为(x0，y0)
9．(1)x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0
即(x－acosθ)2＋(y－asinθ)2=a2．
∴不论Q是何值，方程总表示圆心在(acosθ，asinθ)半径为a的圆．
∴圆心的轨迹方程为x2＋y2=a2
的交点为A，B，A、B对应的参数为θ1，θ2，则θ1，θ2是方
填空题6
圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为 ．
答案：选择题21
圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ）
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
答案：C选择题27
若圆的一条直径的端点是，则此圆的方程是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
答案：C选择题8
从点P（x，3）向圆 ( x + 2 )2 + ( y + 2 )2 =1引切线，则切线长的最小值是（ ）
(A) 4 (B) (C) 6 (D)
答案：B解答题4
圆C：( x－1 )2 + ( y－2 )2 = 25，直线l：( 2m + 1 )x + ( m + 1 )y－7m－4 = 0（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时的m的值．
答案：
（1）直线l过定点M（3，1），证明M在圆内．
（2）设圆心为C，最短弦是过M且垂直于CM的弦，由勾股定理求出弦长=．解答题2
过x－8y + 30 = 0与x + 5y－22 = 0的交点的直线L被圆x2 + y2－2x + 2y－14 = 0所截得的弦长为，求直线L的方程．
答案：
解：由 交点P（2，4）
圆的方程化为 ( x－1 )2 + ( y + 1 )2 = 16圆心O1( 1，－1 )，半径r = 4．
由图5－2，在Rt△O1AD中，
．
设所求直线为y = k ( x－2 ) + 4，即kx－y－2k + 4 = 0，由题意得
6k2 + 5k－6 = 0 或．
所求直线方程为：3x + 2y－14 = 0或2x－3y + 8 = 0．
A/P(2,4)
答图52参考答案
一、选择题
(1)C (2)A (3)B (4)B (5)D
提示：
(2) 由AB=－1－xA=－6，得xA=5，选A．
(3) 由P1P=λPP2且P1P= P1P2－ PP2，得P1P2=(－1－λ)P2P，
∴ =－1－λ．选B．
(4) 由0=，得λ=1，选B．
(5) 由(x－2)2 ＋(1－1)2 =25，及与x轴同向，得x=7，选D．
二、填空题
(6) 由P1P2 = P1P ＋PP2=5，PP2=－3，得P1P=8．∴λ==－．
(7) 解方程1=及1=，得m=－5，n=3．
(8) 由－=－=0，
得=，原点O在线段AB的垂直平分线上，
或O到A和B的距离相等．
三、解答题
(9)
由AB = xB－xA=2，BC = xC －xB =－5，CD = xD－xC = 4． ——9分
相加，得xD－xA=1，所以AD=1． ——13分
(10)
线段AB的中点为M(0，y)， ——4分
点P分所成的比λ=2． ——8分
解方程组，得x=3，y=－． ——13分
(11)
(Ⅰ)设B(0，y)，得(0－3)2＋(y－4)2 =25． ——3分
解得 y=0或y=8，则所求为B(0，0)或B(0，8)； ——4分
(Ⅱ)假设存在点C(m，－m)，使=－2， ——8分
则 解之，得m=－3． ——11分
∴ 存在点C(3，－3)，使=－2． ——13分
(12)
设==λ(λ＜0＝，则PB=λAB=λ(AP＋PB) ——3分
∴ = ——6分
解方程 =λ，取负值，λ=． ——5分填空题4
实数满足，则的最大值为 .
答案：
4选择题9
圆x2 + y2－x + 2y = 0关于直线x－y + 1 = 0对称的圆的方程是（ ）
(A) x2 + y2 + 4x－3y + 5 = 0 (B) x2 + y2 －4x－3y + 5 = 0
(C) x2 + y2 + 4x + 3y + 5 = 0 (D) x2 + y2 + 4x + 3y－5 = 0
答案：A填空题7
是圆上一点，则过点A且与该圆相切的直线方程是 。
答案：解答题1
求与纵坐标轴相切，且与圆x2 + y2－4x = 0外切的圆心的轨迹方程．
答案：
解：设动圆圆心为P（x，y），半径为R．由已知O1（2，0），r = 2．
（1）当P在y轴右侧时．
x + 2 y2 = 8x；
（2）当P在y轴左侧时，其动圆圆心轨迹方程为y = 0（x≤0）．
综上：所求轨迹方程为 y2 = 8x或y = 0（x≤0）．测试题
（时间25分钟，满分50分）
一、选择题：（每小题7分）
1．直线(t为参数)的倾斜角是 ( )
A． B． C． D．
2．方程（t为非零常数，为参数）表示的曲线是 ( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
3．已知椭圆的参数方程是（为参数），则椭圆上一点 P (，)的离心角可以是 ( )
A． B． C． D．
4．参数方程（t为参数）所表示的曲线是 ( )
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
5．椭圆 （p＞q＞0，为参数）的离心率是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题：（每小题5分）
1．曲线（t是参数）与曲线（为参数）交点坐标是 ．
2．过点（0，2）与直线（t为参数）的夹角为30°的直线的参数方程为 ．
3．参数方程(为参数)化为普通方程是 ．
答 案
一、选择题
1．C 2．B 3．D 4．D 5．B
二、填空题
1．（－1，1），（1，1）
2．或
3．x2＋2y－1=0填空题1
和圆x2 + y2－6x－8y + 9 = 0同心，且与直线6x + 8y－15 = 0相切的圆的方程是___________．
答案：测试题
(时间45分钟 满分：100分)
一、选择题：(每小题6分，共30分)，有且只有一个选项符合要求
(1) 以点(2，－3)为圆心，2为半径的圆的方程是 ( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2 = 4 B．(x－2)2＋(y＋3)2 = 2
C．(x＋2)2＋(y－3)2 = D．(x－2)2＋(y＋3)2 = 4
(2) x2＋y2＋6x－8y=0的圆心和半径分别是 ( )
A．(－3，4)，25 B．(3，－4)，5
C．(－3，4)，5 D．(3，－4)，25
(3) 若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ=0表示圆，则λ的取值是 ( )
A．λ＜或λ＞1 B．＜λ＜1
C．λ＞0 D．λ∈R
(4) 直线3x－4y＋6=0与圆(x－2)2＋(y－3)2=1的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切 C．相交过圆心 D．相交不过圆心
(5) 圆(x＋1)2＋(y＋2)2=8上到直线x＋y＋1=0距离为的点有 ( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：(每小题6分，共18分)
(6) 过点(2，－3)且与圆x2＋y2=4相切的直线方程是__________．
(7) 圆(x－3)2＋(y＋4)2=1关于直线x＋y=0对称的圆的方程是___________．
(8) 过点(0，－2)的直线与圆x2＋y2 =1有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________．
三、解答题：(每小题13分，共52分)．
(9) 求圆心在直线2x－y－3=0，且过点(5，2)和(3，－2)的圆的方程．
(10) 直线kx－y＋6=0被圆x2＋y2=25截得的弦长为8，求k的值．
(11) 已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0，点 Q(－2，3)，若P为圆C上任意一点，求 的最大值和最小值．
(12) 自点A(－3，3)发射的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7=0相切，求光线所在直线的方程．测试题
（时间25分钟，满分50分）
一、选择题：（每小题7分）
1．直线(t为参数)的倾斜角是 ( )
A． B． C． D．
2．方程，（t为非零常数，为参数）表示的曲线是 ( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
3．已知椭圆的参数方程是，（为参数），则椭圆上一点 P (，)的离心角可以是 ( )
A． B． C． D．
4．参数方程，（t为参数）所表示的曲线是 ( )
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
5．椭圆 ，（p＞q＞0，为参数）的离心率是 ( )
A． B．
C． D．
二、填空题：（每小题5分）
1．曲线，（t是参数）与曲线，（为参数）交点坐标是 ．
2．过点（0，2）与直线，（t为参数）的夹角为30°的直线的参数方程为 ．
3．参数方程，(为参数)化为普通方程是 ．圆的标准方程习题1
[ ]
2．方程(2x＋1)2＋(2y－3)2=4，表示的图形是
[ ]
3．求直线3x＋4y－1=0被圆x2＋(y＋3)2=9截得的线段的长．
4．过点(4，1)作圆(x－1)2＋(y＋2)2=9的切线，求切线的方程及切点坐标．
5．过点P(4，－3)作圆(x－1)2＋(y－1)2=4，求切线长及两切点间的距离．
圆的标准方程习题1答案
4．设切线为y－1=k(x－4)，kx－y－4k＋1=0，圆心(1，－2)到切线的距离等于半径，
k2－2k＋1=k2＋1，∴k=0．
一条切线为y－1=0，即y=1．
又圆心为(1，－2)，半径为3．x=4也为一条切线．
∴切线为x=4，或y=1，切点为(4，－2)，(1，1)．
5．
圆(x－1)2＋(y－1)2=4
圆心(1，1)，半径r=2．
选择题16
一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）
(A) 圆 (B) 椭圆
(C) 双曲线的一支 (D) 抛物线
答案：C综合测试题1
1．平行于直线2x－y＋1＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的直线方程是
[ ]
B．2x－y±25＝0
C．4x－2y±5＝0
D．2x－y±5＝0
2．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2＞4F)关于直线x＋y＝2对称的充要条件是
[ ]
A．D＋E＋2＝0
B．D＋E＋4＝0
C．D＋E－2＝0
D．D＋E－4＝0
[ ]
4．求圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程．
5．求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5交点的圆的方程．
6．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点．
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度．并求此时m的值．
7．一动圆与圆C：(x＋3)2＋y2＝1外切，又与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，求动圆圆心的轨迹．
8．圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1，2)，AB为过点P0且倾斜角
(2)当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．
综合习题1答案
1．D．
2．B．
3．D．
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8．
5．设所求圆的方程为(x2＋y2－x＋y－2)＋m(x2＋y2－5)＝0．
整理得(1＋m)x2＋(1＋m)y2－x＋y－2－5m＝0．
∴所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0．
6．(1)直线l可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0．
7．C1：(x＋3)2＋y2＝1，圆心(－3，0)，半径r1＝1
C2：(x－3)2＋y2＝81，圆心(3，0)，半径r2＝9
设动圆的圆心为P(x，y)
则|PC1|－1＝9－|PC2|
即|PC1|＋|PC2|＝10
平方整理，16x2＋25y2＝400
8．设直线AB的参数方程为
这个方程的两个根是点A，B所对应的参数，由根和系数的关系，
AB2＝|t1－t2|2＝(t1＋t2)2－4t1t2
(2)若弦AB被点P0平分，则t1＝-t2，即t1＋t2＝0．
即 x－2y＋5＝0．
选择题2
直线截圆x2 + y2 = 4得的劣弧所对的圆心角为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：C
分析：
注意直线恰过（2，0）点．参考答案
一、选择题
(1)D (2)C (3)A (4)C (5)B
提示：
(2) 配方为(x＋3)2＋(y－4)2 = 25 = 52，选C．
(3) 由D2＋E2－4F=(λ－1)2＋4λ2－4λ＞0，得λ＜或λ＞1，选A．
(4) d==0，相交过圆心，选C．
(5) 如图2-2-1，设与1：x＋y＋1=0平行的直线1：x＋y＋c=0， 1上的点(0，－1)到1的距离d== ，得c=3，c=－1，其中当c=－1时，与圆相切于A，c=3时， 与圆相交于B、C，选B．
二、填空题
(6) 若过(2，－3)的直线斜率不存在，则方程为x=2，与圆x2＋y2=4相切．
若斜率存在，方程为y＋3=k(x－2)，即kx－y－2k－3=0，由=2解之，得，切线方程为5x＋12y＋26=0，填x=2，5x＋12y＋26=0．
(7) 圆心(3，－4)关于x＋y=0的对称点(4，－3)是对称圆的圆心，对称圆方程为
(x－4)2＋(y＋3)2 =1．
(8) 如图2-2-2．k≥或k≤－．
设：y=kx－2，代入x2＋y2=1，
整理，得(1＋ k2)x2－4 k2x＋3=0，
令△= 4 k2－3≥0， 得 k≤－或k≥．
三、解答题
(9)
设A(5，2)，B(3，－2)．线段AB的垂直平分线方程
为y=－(x－4)，即 x＋2y－4=0 ——4分
解方程组 得圆心(2，1)， ——8分
r2 =(5－2)2＋(2－1)2=0． ——11分
圆的方程为 (x－2)2＋(y－1)2=10， ——13分
或 x2＋y2－4x－2y－5=0．
(10)
可知弦心距为=3． ——4分
解方程 =3， ——8分
得， k =±． ——13分
(11)
配方，得C：(x－2)2＋(y－7)2 = 8，r=2， ——5分
圆心为C(2，7)，且==4． ——9分
的最大值为 4＋2=6，最小值为2． ——13分
(12)
点A关于x轴的对称点为 A＇(－3，－3)． ——2分
圆方程为(x－2)2 ＋(y－2)2 = 1，圆心为(2，2)，r=1． ——5分
设过A＇(－3，－3)与圆相切的直线为y＋3= k (x＋3)，
由 =1， ——7分
得k=，或k=，则kl =－，kl =－． ——9分
则所在直线方程为y－3=－(x＋3)，或y－3=－(x＋3)． ——13分
即 4x＋3y＋4=0，或3x＋4y－3=0．解答题6
已知两点A（－4，0）和B（4，0），在圆 ( x－3 )2 + ( y－4 )2 = 4上求一点P，使
| PA |2 + | PB |2取得最小值，并求出这个最小值．
答案：
由答图5－4，在△POA和△POB中，由余弦定理得
，
，
又︱AO︱=︱BO︱= 4
∴ ．
所以求的最小值求| PO |的最小值，最小距离为3．
(3,
A(-4,0)
B(4,0)
答图5-4填空题5
当a∈R时，关于x、y的二元方程（x 2＋y 2＋x＋y）―a（x＋2y＋1）＝0所表示曲线的中心的轨迹方程是___________________．
答案：
4x－2y＋1＝0．
分析：
曲线是圆，圆心坐标
x＝， y＝，
消参数a， 得4x－2y＋1＝0．选择题12
已知，那么的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案: D圆的一般方程习题4
1．填空题：
（1）D2＋F2－4F＞0是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的_____________条件；
（2）A＝C≠0，B＝0是方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的________条件．
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，求a的取值范围．
3．填空题：
（1）圆心在直线x＋y＝0上，过原点半径为的圆的方程是______________；
（2）过原点和点A（－2，0）、B（0，4）的圆的方程是_______________．
练习的目的是检查是否熟练掌握圆的方程，是否能根据已知条件灵活地求圆的方程．建议分散练习，及时反馈．对练习中出现的问题作具体分析，及时矫正．选择题17
参数方程 表示（ ）
(A) 双曲线的一支，这支过点
(B) 抛物线的一部分，这部分过
(C) 双曲线的一支，这支过点
(D) 抛物线的一部分，这部分过
答案：B解答题11
已知直线与圆相交于A,B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S。
（1）试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；
（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值。
解：如图，
（1）直线L方程，
原点O到L的距离为
弦长选择题19
直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：C测试题
1．选择题：只有一个选项正确．
（1）直线3x＋4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝3的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切 C．过圆 D．相割不过圆心
（2）若直线3x＋4y＋k＝0与圆(x－3)2＋y2＝4相切，则k的值等于 ( )
A．1 B．±10 C．－1或19 D．1或－19
（3）圆(x－2)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长为 ( )
A．8 B．6 C． D．4
2．填空题
（4）过点（2，－3）且与圆x2＋y2＝4相切的直线方程是_______________．
（5）直线y＝kx和圆x2＋y2＋4x＋3＝0相离，则k的取值范围是__________．
3．解答题
（6）一个圆与y轴相切，在直线y＝x上截得的弦长为，圆心在直线x－3y＝0上，求圆的方程．
答 案
1．选择题
（1）C （2）D （3）A
提示：
（1）由，过圆心选C．
（2）由，解之，得1，或－19．选D．
（3）令y＝0，代入(x－1)2＋(y＋2)2＝20，得(x－1)2＝16，
x－1＝±4，∴x1＝－3，x2＝5，弦长＝∣5－(－3)∣＝8．选A．
2．填空题
（4）若切线斜率存在，设切线为y＋3＝k(x－2)．
即 kx－y－2k－3＝0，由，
得，所以方程为
若过点（2，－3）的直线斜率不存在，方程为x＝2，也是切线方程，
所以填：x＝2．和5x＋12y＋26＝0．
（5）解方程组
消y整理，得(1＋k2)x2＋4x＋3＝0．得或．
3．解答题
（6）设圆心为（3y0，y0），则半径r＝3︱y0︱，如图7—9．
圆心（3y0，y0）到x－y＝0的距离：
．
由，
得，
解之，得y0＝±1，则r＝3，
圆心（3，1）或（－3，1）或（－3，－1）．
所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．
即 x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0．圆的一般方程习题2
1．圆x2＋y2＋4y=0与直线3x＋4y＋2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是
[ ]
A．4x－3y－6=0 B．4x＋3y＋6=0
C．3x＋4y＋8=0 D．4x－3y－2=0
2．设圆(x－3)2＋(y＋5)2=r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是
[ ]
A．(4，6) B．[4，6)
C．(4，6] D．[4，6]
3．求过圆x2＋y2－2x=0和直线x＋2y－3=0的交点，且和直线x＋3y－4=0相切的圆的方程．
4．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1=0和C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1=0
(1)已知C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(2)求过圆C1和C2的交点，且过点(1，0)的圆的方程．
5．求证：不论m取怎样的实数，方程
x2＋y2＋2mx－4my＋5m2－9=0 (I)
(1)总表示圆
(2)当m变化时，求证：圆系(I)的圆心在一条直线上，并求出这条直线的方程．
(3)当m变化时，求证：圆系(I)有公切线，并求出公切线的方程．
圆的一般方程习题2答案
1．A
2．A
3．过交点的曲线(x2＋y2－2x)＋λ(x＋2y－3)=0
圆心到切线的距离等于半径，
整理得λ2－2λ＋4=0，∴λ=2
∴所求圆的方程为：x2＋y2＋4y－6=0
4．(1)C1－C2：2x－y=0公共弦所在直线方程为y=2x
(2)过圆C1和C2的交点的圆系：(x2＋y2＋4x＋y＋1)＋λ
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋1=0．
5．(1)方程(I)可变为(x＋m)2＋(y－2m)2=9，这个方程表示一个圆．
∴圆心在直线y=－2x上
(3)圆系(I)是圆心在直线y=－2x上，半径皆等于3的圆
∴圆系有公切线，公切线与直线y=－2x平行，且距离为3，
选择题31
直线x＋y－2=0截圆得的劣弧所对的圆心角为 ( )
(A) (B) (C) (D)
答案：C
分析：
思路一：将直线与圆的方程联立，求出交点坐标A(1，)，B(2，0)．计算得|AB|＝2，即弦AB的长等于半径，因此圆心角∠AOB=，选C
思路二：计算圆心（原点O）到直线的距离，即弦心距为，则弦长= ．因此圆心角为．
思路三：直线y=（x－2）的斜率为，倾斜角为，且过圆x2＋y2＝4与x轴正半轴的交点B（2，0），如图可知△AOB是正三角形，因此∠AOB=．选择题1
直线4x－3y + 5 = 0与圆x2 + y2－4x－2y + m = 0无公共点的充要条件是（ ）
(A) 0 < m < 5 (B) 1 < m < 5 (C) m > 1 (D) m < 0
答案：B
分析：
其充要条件是①二次方程是圆②且圆心到直线距离大于半径．选择题13
直线（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C选择题6
如果实数x，y满足等式 ( x－2 )2 + y2 =3，那么的最大值是（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：D
分析：
用数形结合法，注意到的几何意义是：圆上一点与原点O连线的斜率，故的最大值就是过原点O所作已知圆在第一象限内的切线的斜率．选择题11
已知实数满足，则有（ ）
（A）最小值和最大值1 （B）最小值和最大值1
（B）最小值和最大值 （D）最小值1
答案:B选择题5
若圆x2 + y2 = 1与直线（a > 0，b > 0）相切，则ab的最小值是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) (D)
答案：B
分析：
由已知≤ab≥2．圆的一般方程习题
1．若方程x2＋y2－2（m＋3）x＋2(1－4m)y＋16m2＋10＝0表示一个圆，求m的取值范围和圆心所在曲线的方程．
2．如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（－8，0）那么它的外接圆方程是____，内切圆方程是_____________．
3．如果三角形的三边所在直线的方程分别是3x－y＝0，x＋y－8＝0，那么它的外接圆方程是__________，内切圆方程是________________．解答题5
已知圆P的圆心在y轴上，直线l1：3x + 4y + 3 = 0与圆P相交所得弦长为8，直线l2：3x－4y + 37 = 0与圆P相切，求圆P的方程．
答案：
解：设所求圆的方程为x2 + ( y－b )2 = R2，
由图5－3得
x2 + ( y－3 )2 = 25，即所求．
R
R
P(0,b)
答图5-3选择题26
曲线x2+y2+x－y=0关于 ( )
(A) 直线x=轴对称 (B) 直线y=－x轴对称
(C) 点(－2，)中心对称 (D) 点(－，0)中心对称
答案：B选择题23
x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（ ）
(A) 相离 (B) 外切 (C) 相交 (D) 内切
答案：C解答题7
已知直线l1：2x－3y + 2 = 0，l2：3x－2y + 3 = 0，有一动圆与l1、l2都相交，并且l1、l2被圆所截得的两条线段长分别是26和24，求动圆圆心M的轨迹方程．
答案：
提示：见答图5－5，由| MH |2 + 122 = R2，| MG |2 + 132 = R2
| MH |2－| MG |2 = 132－122
( x + 1 )2－y2 = 65．
L 2
A
M(x,y)
答图5-5圆的一般方程习题1
1．下列方程中表示圆的是
[ ]
A．x2＋y2＋3x＋4y＋7=0
B．x2＋2y2－2x＋5y＋9=0
C．2x2＋2y2－3x－4y－5=0
D．x2－y2－4x－2y＋5=0
2．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c=0(a、b、c不全为0)与x轴相切于原点，那么
[ ]
A．a=0，b≠0，c≠0
B．b=c=0，a≠0
C．a=c=0，b≠0
D．a=b=0，c≠0
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有
[ ]
A．D=E B．D=F
C．E=F D．D=E=F
共有
[ ]
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．已知圆C的方程为x2＋y2－8x－2y＋12=0，求过圆内一点(3，0)的最长弦和最短弦所在直线的方程，并求这个最长弦和最短弦的长．
圆的一般方程习题1答案
1．C
2．C
3．A
4．C
5．C：x2＋y2－8x－2y＋12=0，即(x－4)2＋(y－1)2=5
圆心C(4，1)、P(3，0)
过P点的最长弦为过P点的直径AB，由两点式：
AB的方程，x－y－3=0
过P点的最短弦为过P点与AB垂直的弦DE，KAB=1，KDE=－1，
由点斜式DE的方程，y=(－1)(x－3)即x＋y－3=0
