瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律是S＝S(t)，那么，物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t＋△t这段时间内，当△t→0时平均速度的极限.即
v＝＝导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝ f(x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程为y－y0＝(x0)(x-x0)．导数与微分的复习课教案1
教学目的
1．深入理解导数与微分的概念和几何意义；
2．熟练掌握有关的导数公式，求导数的四则运算法则，复合函数和反函数的求导法则，熟练地掌握求初等函数的导数与微分．
教学重点和难点
熟练地掌握各种求导法则是重点；复合函数、反函数的求导法则以及对数函数的导数公式，用定义求导数的基本方法是本章的难点．
教学过程
一、内容小结
本章主要内容是导数和微分的概念，求导数和求微分的方法以及微分在近似计算中的某些应用．
复习时先让学生自己小结本章的主要内容：
它表示在点x处函数y对自变量的变化率，它的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线的斜率．
如果f'(x0)存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的方程为
y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0)；
法线的方程(当f'(x0)≠0时)为
2．函数y＝f(x)的微分dy就是函数的导数f'(x)与自变量的微分dx(dx＝Δx≠0)的积，即
dy＝f'(x) dx．
求函数y＝f(x)的导数f'(x)与求函数的微分f'(x)dx是互通的，即
所以导数也叫做微商．
3．求导法则
设函数u(x)，v(x)在点x处有导数，则有：
(1)[u(x)±v(x)]'＝u'(x)±v'(x)；
(2)[c·u(x)]'＝c·u'(x)，(c是常数)；
(3)[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)；
(7)对隐函数F(x，y)＝0求导数yx'，把y看作x的函数，利用复合函数求导法则去求．
4．初等函数的导数和微分
求函数的导数或微分的方法叫做微分法．根据定义求导数是最基本的方法，对初等函数来说，只要根据定义先求一些基本初等函数的导数，再利用求导数(或微分)的四则运算法则以及复合函数，反函数的求导(或微分)法则，就可以求出任一初等函数的导数(或微分)，这里，复合函数的求导法则特别重要．应切实掌握．
对教材中列出的十二个基本初等函数的求导公式必须熟记和正确运用．
二、例题分析
通过例题使学生进一步理解和灵活运用所学的基本概念和法则．
例1 用导数定义求y＝tanx的导数．
说明：本题目的是进一步熟练用定义求导的三个步骤，三角公式，重要极限的运用．
解：
例2设函数
为了使f(x)在点x＝1处连续而且可导，应该怎样选取系数a，b？
说明：本题的目的是使学生进一步理解函数的可导性与连续性的关系，灵活运用有关概念进行解题．解本题关键是怎样理解f(x)在点x＝1处连续而且可导这句话．
分析：由f(x)在x＝1处连续，可得，
又 f(1)＝1，故a＋b＝1．
由f(x)在x＝1处可导，可得，
故有a＝2，求得b＝－1．
例3 求下列函数的导数：
说明：对无理函数求导时，通常化为指数形式较为简便；对复合函数求导时，注意不要丢掉中间变量对自变量的导数．
例4 求下列函数的导数：
说明：对形如y＝u(x)v(x)的函数的求导，一般是先取对数，所得lny是x的复合函数，利用复合函数进行求导．
解：(1)∵xy＝yx．∴ylnx＝xlny．
两边对x求导数，整理得
(2)∵y＝(cosx)sinx，∴lny＝sinxln(cosx)．
两边对x求导数．
例4从上口直径为12厘米，深为18厘米的锥形漏斗流出溶液，当液面高度从10厘米下降到9.8厘米时，求流出溶液的容积的近似值．
解：如图2－12设液面高度为h(t)，液面圆半径为r(t)，容器内溶液体积为
当液面高度从10厘米下降到9.8厘米时，即
当h＝10(厘米)，Δh＝9.8－10＝－0.2(厘米)．
答：流出溶液的容积约为6.98立方厘米．
三、布置作业
1．求下列函数的导数：
2．求下列函数的微分：
4．求隐函数x2＋2xy－y2－2x＝0在x＝2点处的导数．
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1，1)，而且在点(2，－1)处与直线
y＝x－3相切，求a，b，c的值．
6．一锥形容器，半锥角为30°，试求：
(1)灌水时，水的体积V对水面高度h的变化率；
(2)体积V对水面截面圆的半径r的变化率．
微分在近似计算中的应用教案1
教学目的
使学生在理解函数微分概念的基础上，初步掌握运用微分求函数的近似公式．并用于进行近似计算的方法．
教学重点和难点
用微分推导函数的近似公式和用近似公式进行近似计算是本节的重点和难点．
教学过程
一、复习提问
1．若函数y＝f(x)在点x0处可导，当自变量改变Δx时，写出函数在点x0处的微分dy和函数改变量Δy．
dy＝f'(x0)Δx，
y＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
2．(接着上面问题提问)在什么条件下可用dy近似代替Δy？为什么？
因为dy和Δy相差一个比|Δx|变小的速度更快的量，即
Δy－dy＝a·Δx，
所以当|Δx|很小的时候，可用dy近似代替Δy，即
而|Δx|越小，近似程度越好．
二、新课
将(1)式移项，得
再令x0＋Δx＝x此时x为变量，则有Δx＝x－x0，所以(2)变成如下的形式
提问：从(3)或(2)可得到什么启示？
(3)或(2)告诉我们这样一个事实：要求函数y＝f(x)在某一点x处的值，可以通过求在点x0处(x0是x附近的点)的f(x0)和f'(x0)来近似地计算．而且|x－x0|＝|Δx|越小越好，即x0越靠近x越好．
因此，如果求函数y＝f(x)在某一点处的值比较困难，而在x附近的某一点x0处，
f(x0)和f'(x0)的值易求，那么就可以用(3)式求f(x)值．
例1 不查表，求
解：(1)令 y＝sinx，
≈0.7071＋0.0123＝0.7194．
由(2)可以看到，当|x|很小时，有
sin x≈sin 0＋(sin x) '|x=0·x＝x．
一般地，若函数y＝f(x)在x0＝0处可导，则由公式(3)可得
f(x)≈f(0)＋f'(0)·x (4)
例2 当|x|充分小时，求下列函数的近似公式：
由公式(4)得
(以下三个小题由学生自己完成．)
∴ f(0)＝0，f'(0)＝1．
由公式(4)，得ln(1＋x)≈x．
(3) 设 f(x)＝ex，则f'(x)＝ex，
∴f(0)＝1，f'(0)＝1．
由公式(4)，得ex≈1＋x．
(4)设f(x)＝tanx，则f'(x)＝sec2x，
∴ f(0)＝0，f'(0)＝1．
由公式(4)得tanx≈x．
注意：以上四个结论可当做公式用．
例3 如图2－11，加工锥形工件时，已知工件两头直径分别为d1，d2，长度为l，当斜角α很小时，导出近似关系式：
解：由图2－11，
三、小结
1．由dy≈Δy可得公式
f(x)≈f(x0)＋f'(x0)(x－x0)．
①运用此公式时，应选好自变量的初始值x0．
②选好x0的原则是：f(x0)和f'(x0)易求；x0应是x点附近的点，且越靠近越好．
③公式的几何意义是：在点(x0，y0)附近可用切线y－y0＝f'(x0)(x－x0)来近似表示曲线y＝f(x)．
2．当x0＝0时，上面公式变成f(x)≈f(0)＋f'(0)·x由此可推导出一系列近似公式：
运用上面这些公式应注意其条件：|x|充分小．
四、布置作业
1．当|x|很小时，推导出下面近似公式：
(1＋x)α≈1＋αx(α为实数)，并求1.0010.13的近似值．
2．计算下列各式的近似值：
3．求arctan1.094的近似值．
一阶导数
一般地，函数y＝f(x)的导数(x)叫做f(x)的一阶导数．教学素材/导数的应用
教学素材/导数的应用
极小值
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．导数的几何意义教案1
教学目的
1．使学生理解导数的几何意义；并会用求导数的方法求切线的斜率和切线方程；利用导数求法线方程．
2．通过揭示割线与切线之间的内在联系对学生进行辩证唯物主义的教育．
教学重点
理解导数的几何意义是本节的重点．
教学过程
一、复习提问
1．导数的定义是什么？求导数的三个步骤是什么？求函数y＝x2在x＝2处的导数．
2．怎样定义曲线C在点P的切线？(即切线的定义)
在学生回答基础上教师重点讲评第2题，然后逐步引入导数的几何意义．
如图2－1，设曲线C是函数y=f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上一点．点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线C上与点P邻近的任一点，作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．
追问：怎样确定曲线C在点P的切线呢？因为P是给定的，根据平面解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为
由上式可知：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率就是y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)．
二、新课
1．导数的几何意义：
函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
口答练习：
(2)已知函数y＝f(x)的图象(如图2－2)，分别为以下三种情况的直线，通过观察确定函数在各点的导数．
2．利用导数求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程．
例1求曲线y＝x2在点M(2，4)处的切线方程．
∴y'|x=2=2×2=4．
∴点M(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4=0．
由上例可归纳出求切线方程的两个步骤：
(1)先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)．
(2)根据直线方程的点斜式，得切线方程为
y－y0=f'(x0)(x－x0)．
3．利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的法线方程．
(先由学生来回答，教师再讲评总结．)
我们由已学平面解析几何可知：(1)经过点P和切线PT垂直的直线叫做曲线C在点P处的法线．(2)如果两条有斜率的直线互相垂直，那么，它们的斜率互为负倒数．
利用导数求法线方程可归纳为两步：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数．即求出切线在(x0，f(x0))处的斜率．(2)求出曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的法线方程．应分三种情况：
f'(x0)≠0时，由直线方程的点斜式得法线方程
f'(x0)＝0时，过点(x0，f(x0))的切线平行于x轴，所以过点(x0，f(x0))的法线垂直于x轴，即平行于y轴，得法线方程为x＝x0．
当过点(x0，f(x0))的切线(存在)平行于y轴(x＝x0时的导数不存在)，所以过点(x0，f(x0))的法线垂直于y轴，即平行于x轴，得法线方程为y＝f(x0)
的切线的方程；(3)过P点的法线方程．
y'|x=2=22=4．
∴ 在点P处的切线的斜率等于4．
即 12x－3y－16＝0．
即 3x＋12y－88＝0．
练习：求抛物线y＝x2＋2在点M(2，6)处的切线方程和法线方程．
(答案：y'＝2x，y'|x=2＝4切线方程为4x－y－2=0：法线方程为x＋4y－22＝0)．
三、小结
1．导数的几何意义．
2．利用导数求曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程和法线方程的步骤．
四、布置作业
1．求抛物线y=4x－x2在点A(4，0)和点B(2，4)处的切线的斜率，切线的方程．
3．求曲线y＝2x－x3在点(－1，－1)处的切线的倾斜角．
*5．已知抛物线y=x2－4及直线y＝x＋2，求：
直线与抛物线交点的坐标；
(2)抛物线在交点处的切线方程；
(3)直线与抛物线在交点处的切线的交角．
曲线的切线
如图，当点Q（x0＋△x，y0＋△y）沿着曲线逐渐向点P（x0，y0）接近时，割线PQ将绕着点P逐渐转动.当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.设切线PT的倾斜角为α，那么当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线点P处的切线的斜率.
tanα＝
＝
y=Ax
割线
切线函数的极大值和极小值教案1
教学目的
1．使学生掌握函数极大值与极小值的概念．
2．使学生初步掌握可导函数的极值判别法则和步骤．
教学重点
可导函数的极值的判定、极值点和驻点的区别和联系．
教学过程
一、新课
1．新课引入．
在前一节中，我们以导数为工具研究了函数的单调性，现在我们再进一步研究函数的另一性质——极值．
函数的极值我们从初三就已开始接触，并且会求某些函数的极值．
例如对函数y=x2－2x＋4，可知y'=2x－2=2(x－1)
当x＞1时，y'＞0，函数是增函数；
当x＜1时，y'＜0，函数是减函数(图3－11)．
我们还知道x=1时，函数y有极小值y=3．什么是极小值，它的定义是什么？现在我们就来比较严格的定义、研究它．
2．新课．
(1)定义 如果函数y=f(x)在点x0处连续，并且x0不是其定义区间的端点，若对x0附近的所有点x(x≠x0)都有f(x)＜f(x0)(或f(x)＞f(x0))我们就说函数f(x)在点x0处取极大值(或极小值)，或说f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)．其中点x0称为f(x)的极大点(或极小点)．极大值与极小值统称极值，相应的x0也称极值点．
注意：①极值点是函数f(x)定义域中的内点，因而端点绝不是极值点．
②极值是个局部概念，是讨论f(x)在x0及其邻域点的函数值的大小情况．所以连续函数f(x)在其定义域上极值点可能不止一个，函数的一个极小值也不见得比它一个极大值小，当然有的函数也不见得有极值．在图3－12中函数y=f(x)在[a，b]连续，易见x1，x2，x3，x4，都是y=f(x)的极值点．y=f(x)在x=x4取极小值，y=f(x)在x=x1取极大值，但是f(x4)＞f(x1)．
(2)可导函数的极值．使y'=0的点，是f(x)的驻点．
①不难看出可导函数y=f(x)在极值点处的切线与x轴平行，即y'=0．所以，极值点一定是它的驻点．但是可导函数的驻点是否一定是它的极值点呢？(让学生思考所学过的函数)例如：y=x3，由y'=3x2=0，知x=0是它的驻点，但在图形中，我们可以清楚地看到，x=0并不是函数的极值点．所以可导函数的驻点是极值点的必要而不充分条件．
②由图3－13观察分析可得出结论：若x=x0是y=f(x)的一个驻点，且在x=x0两边一阶导数f'(x)的符号不同，则y=f(x)在x=x0取得极值．(若y'左正右负，取极大值．若y'左负右正取极小值．)
③求可导函数f(x)的极值的方法．
A 求导数f'(x)；
B 令f'(x)=0，求出f(x)的驻点．
C 检查f'(x)在驻点左右的符号，判别是否取得极值．
3．例题分析．
例1 求函数f(x)=(x2－1)3＋1的极值．
解：f'(x)=3(x2－1)2·2x=6x(x＋1)2(x－1)2
令f'(x)=0 得x=－1，0，1
∴ 当x=0时，f(0)=0为函数的极小值．
②若设y=f(x)、可以写成，当x=0，y极小=0．
在此题中，我们看到x=±1是其驻点，并不是极值点．我们来看它的图象(图3－14)．
易见x=±1不是它的极值点．
例2 求函数f(x)=x＋2sin x在区间[0，2π]内的极值．
解：f'(x)=1＋2cos x．
二、巩固练习
1．小结主要内容：连续函数极值的定义及可导函数极值的求法．
2．练习：函数y=lnx，y=ax＋b(a≠0)有没有极值，为什么？
∴ 函数没有极值．
又∵ y=ax＋b，y'=a≠0函数在定义域内无驻点，
∴原函数无极值(实际上函数也是单调的．)
三、作业
1．复习教材中函数的极大值与极小值．
自己弄明白例2中函数f(x)=x＋2sin x图象的画法．
2．书面作业：
(1)求下列函数的极值，并画出图象草图．
①y=x2－7x＋6；②y=3x4－4x3；
(2)求下列函数的极值．
几种常见函数的导数教案1
教学目的
使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点和难点
掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．
教学过程
一、复习提问
1．按定义求导数有哪几个步骤？
2．用导数的定义求下列各函数的导数：
(1)y＝x5；(2)y＝c．
几点说明：练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备，在求Δy值时启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5；练习(2)推导前，首先指出这里y＝c称为常数函数，可设y=f(x)=c说明不论自变量取何值，对应的函数值均为c，以避免出如下错误，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx．
二、新课
1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．
2．几个常见函数的导数公式．
(1)设y=c(常数)，则y'=0．
此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．
(2)(xn)'＝nxn-1(n为正整数)．
此公式的证明在教师指导下，由学生独立完成．
证明：设y=f(x)=xn，
此公式可叙述成“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”．
(3)(sinx)'=cosx．
证明：y＝f(x)=sinx，
在学生推导过程中，教师要步步追问根据及思路．如：
此公式可叙述成“正弦函数的导数等于余弦函数”．
(4)(cosx)'=－sinx．
此公式证明由学生仿照公式(3)独立证明．
此公式可叙述成“余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号”．
三、练习
1．默写四种常见函数的求导公式．
2．求下列函数的导数：
四、小结
四种常见函数的导数公式
1．(c)'＝0(c为常数)，
2．(xn)'＝nxn-1，
3．(sinx)'＝cosx，
4．(cosx)'=－sinx．
五、布置作业
1．求下列函数的导数：
(1)u=t4；(2)y=xa(a为正整数)；(5)x=cost．
sup 2．用导数定义证明：
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．
即，已知：两个函数u(x)和v(x)，且u(x)，v(x)的导数存在，
求证：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)．
教学素材/导数与微分
教学素材/导数与微分
积的导数
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(uv)′＝＋uvˊ教学素材/极限
教学素材/极限
最大值最小值定理
如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有一个最大值和最小值．导数的应用习题1
1．求证二次函数y=ax2＋bx＋c满足拉格朗日中值定理条件的ξ必定是区间的中点．
2．证明不等式：arctanx≤x(x≥0)；arctanx≥x(x≤0)．
3．求函数的极值：y=x3－6x2＋9x．
4．描绘函数y=x3－x2－x＋1的图象
导数的应用习题1答案
1．略．
3．x=1时有极大值f(1)=4；x=3时有极小值f(3)=0．
教学素材/导数与微分
教学素材/导数与微分
对数函数的导数
(lnx)′＝，(logax)′＝logae教学素材/导数与微分
教学素材/导数与微分
自变量的微分
曲线y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量△x，那么函数y相应地有增量△y＝f(x0＋△x)-f(x0)，曲线y＝f(x)在点x0处的切线是： y＝f（x0）＋(x0)（x-x0），
由图中可以看出，当△x很小时，y＝f(x0＋△x)-f(x0)≈(x0)△x
在这个近似式中，通常把△x记作dx，dx叫做自变量x的微分．导数与微分一习题1
1．已知函数f(x)＝x(1＋|x|)，则f'(0)为
[ ]
A．1； B．－2；
C．2； D．不存在．
2．已知y＝f(x)＝ln|x|，则正确的命题是
[ ]
[ ]
A．0； B．1；
C．2； D．不存在．
5．已知f(x)＝ax3＋2x2＋2，若f'(－1)＝4，则a的值等于
[ ]
导数与微分一习题1答案
1．A
2．C
3．C
4．2
5．D
6．2f'(x0)
微积分在数列求和中的应用
数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．本文探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法，从中可见高等数学与初等数学的密切联系．
1 微分知识在数列求和中的应用
首先证明一个等式：
事实上利用二项式定理有：
而：(x－1)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝xn+1－1
当x≠1时，两边同除以x－1得：
则恒有：
从(Ⅰ)式出发利用微分知识可推出以下求和公式：
对(Ⅰ)式两边求导则有：
由(Ⅰ)式可知
两边求二阶导数，则：
令x＝1，则
公式3：
由(Ⅱ)式，可知：
两边求导得：
令x＝1，则：
仿此，若(Ⅲ)式两边同时乘以x求导后再令x＝1，便会有：
公式4：
2 积分知识在数列求和中的应用
首先由二项式定理：
两边对x从0到1求积分，则：
从而有：
公式5：
如果两边对x从0到2积分，则：
便可得到：
公式6：
继续推广便有：
公式7：
由以上知识，若联想到1994年《中学生数理化》(高中版)3期“数学问题有奖征答”第2题：θ≠2kπ(k∈N)且
sinθ＋2sin2θ＋…＋nsin(nθ)＝0，
求证：(n＋1)sin(nθ)＝nsin(n＋1)θ
其巧妙证法可为：
设f(θ)＝sinθ＋2sin2θ＋…＋nsin(nθ)
则：(n＋1)sinnθ＝nsin(n＋1)θ
从以上可以看出，充分研究高等数学与中学数学的联系，可以为中学数学的教与学带来方便．
教学素材/导数与微分
教学素材/导数与微分
函数的微分
把式子(x)dx记作dy，dy叫做函数y＝f(x)的微分，即dy＝(x)dx．微积分在数列求和中的应用
数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．本文探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法，从中可见高等数学与初等数学的密切联系．
1 微分知识在数列求和中的应用
首先证明一个等式：
事实上利用二项式定理有：
而：(x－1)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝xn+1－1
当x≠1时，两边同除以x－1得：
则恒有：
从(Ⅰ)式出发利用微分知识可推出以下求和公式：
对(Ⅰ)式两边求导则有：
由(Ⅰ)式可知
两边求二阶导数，则：
令x＝1，则
公式3：
由(Ⅱ)式，可知：
两边求导得：
令x＝1，则：
仿此，若(Ⅲ)式两边同时乘以x求导后再令x＝1，便会有：
公式4：
2 积分知识在数列求和中的应用
首先由二项式定理：
两边对x从0到1求积分，则：
从而有：
公式5：
如果两边对x从0到2积分，则：
便可得到：
公式6：
继续推广便有：
公式7：
由以上知识，若联想到1994年《中学生数理化》(高中版)3期“数学问题有奖征答”第2题：θ≠2kπ(k∈N)且
sinθ＋2sin2θ＋…＋nsin(nθ)＝0，
求证：(n＋1)sin(nθ)＝nsin(n＋1)θ
其巧妙证法可为：
设f(θ)＝sinθ＋2sin2θ＋…＋nsin(nθ)
则：(n＋1)sinnθ＝nsin(n＋1)θ
从以上可以看出，充分研究高等数学与中学数学的联系，可以为中学数学的教与学带来方便．
曲线的拐点教案1
教学目的
使学生认识到研究曲线拐点的必要性；体会拐点的定义；对于二阶可导函数，熟练掌握求其拐点的方法；进一步理解拐点的内在涵义．
教学重点
对于二阶可导函数，掌握求其拐点的方法．
教学过程
一、复习提问
1．问：可导函数f(x)相应曲线上升与下降分界点的横坐标称作什么点？(驻点)问：上述分界点(即横坐标为驻点)的切线方位如何？(平行于x轴)问：f(x)在驻点，函数值随自变量值变化的速率如何？(为零)补充说明：这就是“驻”字的含义．问：怎样求驻点？(求方程f'(x)＝0的根)补充说明：f'(x)＝0是x为驻点的充要条件．
2．问：你能想象出连续的曲线由上凸变为下凸，或由下凸变为上凸是什么样子吗？可以画成图形如图3-23：
说明：图3-23(1)与图3-23(2)中曲线上凸部分与下凸部分的分界点就是我们今天要研究的课题．问：类似于图3-23(1)与图3-23(2)的情形，你能各举一个具体函数的例子吗？(如曲线y＝sinx，在点(0，0)，(π，0)两侧改变凸向．)
二、新课
1．新课引入．
可导函数相应曲线上升与下降的分界点很有研究价值，同样，连续光滑的曲线上凸与下凸的分界点也有研究价值，而且不仅仅是在几何方面有研究价值．上述第一种分界点的横坐标称为驻点，第二种分界点本身称为拐点．
2．新课．
(1)拐点的定义．
设函数y=f(x)在区间(a，b)内各点具有导数或其导数为无穷大，则称相应曲线上凸部分与下凸部分的分界点为拐点．
曲线y＝sinx，如图3-24，点(0，0)，(π，0)是拐点．
可见，改变凸向是成为拐点的必要条件．只有这一个条件，未必是拐点．
(2)拐点的判断方法
定理 如果点P(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，且f''(x0)存在，那么x0必满足：f''(x0)＝0．
证明：假设f''(x0)≠0，必有f''(x0)＞0，或f''(x0)＜0，则曲线y=f(x)在x＝x0处下凸，或上凸，这样，点P(x0，f(x0))就不能是拐点，与已知矛盾．即拐点P(x0，f(x0))的横坐标x0必满足f''(x0)=0．
该定理说明，对于二阶可导函数f(x)，f''(x0)＝0是点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)之拐点的必要条件．
前面曾分析过，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))附近左右改变凸向是点(x0，f(x0))为该曲线拐点的必要条件．
实际上，对于二阶可导函数y=f(x)，上述二条件的迭加是成为拐点的充要条件．也就是说，如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))附近左右改变凸向，即f''(x)在点x0附近左右改变符号．且f''(x0)=0，则点(x0，f(x0))必为该曲线的拐点；反之，如果点(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的拐点，则该曲线在点(x0，f(x0))附近左右必改变凸向，即f″(x0)在点x0附近左右必改变符号．且f''(x0)＝0．
例1 讨论曲线y＝x3－6x2＋9x－1的凸向并求拐点．
解：f(x)＝x3－6x2＋9x－1，f'(x)=3x2－12x＋9，
f''(x)＝6x－12＝6(x－2)．
令f''(x)=0，得x＝2．并且当x＜2时，f''(x)＜0，曲线上凸；
当x＞2时，f''(x)＞0，曲线下凸，
∴点(2，1)是拐点．如图3-26．
当x＜2时，f''(x)＜0，曲线上凸；当x＞2时，f''(x)＞0，曲线下凸．
因点(2，0)符合拐点的定义，故仍是拐点．如图3-27．
例3 求曲线(y－2)3＝x－4的拐点．
当x=4时，f'(x)=＋∞，f''(x)不存在．
当x＜4时，f''(x)＞0，曲线下凸；当x＞4时，f''(x)＜0，曲线上凸．
因点(4，2)符合拐点定义，故仍是拐点．如图3-28．
可见，若f''(x0)存在，则f''(x0)＝0是点(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)之拐点的必要条件，但若f''(x0)不存在，f''(x0)＝0就不是必要条件了．如例3，f''(4)不存在，但点(4，2)仍是拐点．至于曲线在点(x0，f(x0))附近左右改变凸向，总是使点(x0，f(x0))成为该曲线之拐点的必要条件．
三、小结
在连续光滑的曲线上，使凸向改变的点为拐点．对于二阶可导函数y=f'(x)．f''(x)在点x0附近左右变号，且f''(x0)=0，则点(x0，f(x0))为相应曲线的拐点，反之亦然．但若f''(x)在x＝x0处不存在，也不排除点(x0，f(x0))成为拐点的可能性．
2．若点x0为函数y=f(x)的驻点，则f'(x0)=0，函数值随自变量值变化的速率，在x＝x0附近两侧变号，而在x=x0处为零；
若点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，且f''(x0)＝0，函数值随自变量值变化速率之速率 即加速率，在x=x0附近两侧变号，而在x=x0处为零．
四、布置作业
1．复习“曲线的拐点”有关内容：
2．作下列书面作业：
(1)讨论曲线y=x＋36x2－2x3－x4(－∞＜x＜＋∞)的凸向并求拐点；
(2)试证曲线y＝(x＋2)6＋2x＋2(－∞＜x＜＋∞)下凸，无拐点；
函数的可导性与连续性的关系教案
教学目的
1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．
2．使学生了解左导数和右导数的概念．
教学重点和难点
掌握函数的可导性与连续性的关系．
教学过程
一、复习提问
1．导数的定义是什么？
2．函数在点x0处连续的定义是什么？
在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以
∴f(x)在点x0处连续．
综合(1)(2)原命题得证．
在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系．
二、新课
1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．
∴f(x)在点x0处连续．
提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明．
如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导．
例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．
证明：(1)∵ Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，
∴函数y=|x|在点x0处是连续的．
2．左导数与右导数的概念．
(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．
(3)函数在一个闭区间上可导的定义．
如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．
三、小结
1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件．
2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件．
3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件．
四、布置作业
作业解答的提示：
=f(1)．
∴ f(x)在点x＝1处连续．
∴ f(x)在x=1处不可导．
教学素材/导数与微分
教学素材/导数与微分
微分的四则运算法则
d(u±v)＝du±dv
d(uv)＝udv＋udu
d()＝(v≠0)教学素材/导数的应用
教学素材/导数的应用
极大值
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)求导与微分法则
微分的概念和运算教案1
教学目的
1．初步掌握微分的概念；
2．掌握微分的计算方法．
教学重点和难点
微分的概念既是本节课的重点也是本节课的难点．
教学过程
一、复习提问
当自变量x有一个改变量Δx时，求下列函数的增量Δy：
(请两名学生分别板演．)
解：1．Δy＝(x＋Δx)2－x2
2．Δy＝(x＋Δx)3－x3
二、引入新课
由上面二例可见，一个函数的增量Δy往往是Δx的一个比较复杂的函数，而实际问题中却往往需要求出函数的增量．因此我们自然希望能找到一个Δx的简单表达式来近似地(但又要比较精确地)代替Δy．
不妨先就上面二例加以研究，请同学们找出上述两例中Δy的近似表达式：
提问：为什么能用上面简单的表达式来近似地代替函数增量Δy呢？
这是因为当|Δx|变小时，(Δx)2和|(Δx)3|要比|Δx|变得更小，即(Δx)2和|(Δx)3|变小的速度要比|Δx|变小的速度更快．因此当|Δx|充分小时，含有(Δx)2和(Δx)3的项可以略去．
可以观察到：象(3)和(4)那样，用Δx的线性函数(一次函数)来近似地代替Δy是再理想不过了．同时，我们也自然会产生如下的猜想：
1．对于一般的函数y＝f(x)，是否都能用Δx的线性函数来近似地代替Δy？
2．如果能够的话，有什么规律可循？
(让学生观察(3)和(4)中Δx前面系数部分与原来函数y＝x2和y＝x3有什么联系．)
细心的同学会发现如下的规律：
Δy≈2x·Δx中的2x正好是函数y＝x2的导数y'＝2x，所以有
Δy≈(x2) '·Δx；
Δy≈3x2·Δx中的3x2正好是函数y＝x3的导数y'＝3x2，所以有
Δy≈(x3) '·Δx．
由此，我们可进一步猜想：对于任意可导函数y＝f(x)，是否也有
Δy≈f'(x)·Δx
三、新课
1．微分的概念．
若函数y＝f(x)在x点可导，则由导数的定义，有：
所以由函数极限的定义可知：
显见，当Δx→0时，α·Δx变小的速度比Δx快得多．所以可以用f'(x)·Δx来近似代替Δy，即
我们把f'(x)·Δx称为函数改变量Δy的线性主部．“线性”是指其为Δx的一次函数；“主部”是指其为Δy的主要部分．
至此，我们可以得到一个重要的定义——微分的定义．
定义 若函数y＝f(x)在点x处可导，则y＝f(x)在点x处的导数f'(x)与自变量的改变量Δx的积叫做函数y＝f(x)在点x处关于改变量Δx的微分．简称为函数y＝f(x) 的微分．记作dy，即
dy＝f'(x)·Δx．
由此可见，可导函数的改变量Δy可用它的微分dy近似地表示出来．今后，我们可把计算较为复杂的Δy近似地转化为计算dy，即只要求出导数值f'(x)再乘以Δx就可以了．
若函数为y＝x，则有
dy＝dx＝(x) '·Δx＝Δx．
所以我们通常把自变量的改变量Δx记作dx，即dx＝Δx，称为自变量的微分．
于是函数y＝f(x)的微分也可写成
dy＝f'(x)dx．
两边同除以dx得
这样，函数y＝f(x)的导数f'(x)就等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商，所以导数也叫微商．
2．微分的几何意义．
设函数y＝f(x)在点x处可导，如图2－8所示：在y＝f(x)所表示的曲线上取点P(x，y)及它邻近的点P'(x＋Δx，y＋Δy)，过点P及P'作MP及M'P'垂直于x轴，分别交x轴于点M及M'，过点P作平行于x轴的直线交M' P'于点N，又作曲线y＝f(x)在点P处的切线，交M'P'于T．
提问：图中哪些线段分别表示Δx，Δy和dy？
PN＝Δx，NP'＝Δy，NT＝f'(x)·Δx＝dy．
可见：当自变量的改变量为Δx时，Δy就是曲线的纵坐标的改变量；dy就是切线的纵坐标的改变量，这就是微分的几何意义．
当|Δx|充分小的时候，可以用切线的纵坐标的改变量dy来代替曲线的纵坐标的改变量Δy，这相当于在点P(x，y)附近，可用切线段PT近似地代替曲线段PP'．这种在一定条件下以直线代替曲线的方法是微分和积分中常用的典型方法．
3．微分的运算．
请同学们用求导公式和微分的定义完成下列微分公式表：
(以上各公式的等号右端由学生自己完成．)
再让同学们由求导数的四则运算法则和微分的定义写出微分的四则运算法则：
①d(u±v)＝du±dv；
②d(uv)＝udv＋vdu；
例1 求y＝eaxsinbx的微分．
解法1：(直接用微分定义)
dy＝(eaxsinbx) 'dx
＝(eax·b cos bx＋sin bx·aeax)dx
＝eax(bcosbx＋asinbx)dx．
解法2：(用微分的四则运算法则)
dy＝eax·d(sin bx)＋sin bx·d(eax)
＝eax·bcosbx·dx＋sinbx·aeaxdx
＝eax(bcosbx＋asinbx)dx．
例2 已知函数y＝f(x)在x点处的增量Δx＝0.2，它所对应的函数增量的线性主部等于0.8，试求函数在x点的导数．
解：根据题意有
dx＝Δx＝0.2，
dy＝f'(x)dx．
四、小结
1．函数y＝f(x)在x点的微分
dy＝f'(x)Δx＝f'(x)dx
是函数改变量Δy的线性主部．
dy≠Δy，dy≈Δy；dx＝Δx．
2．由微分的定义可知，函数y＝f(x)在x点的微分存在即导数存在，故函数在x点有导数存在时，也称函数在该点是可微的．求函数的微分和求函数的导数的方法都叫做微分法．
3．由微分的表达式可得到
即函数的导数可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商．
4．由微分定义和求导法则及公式可直接推得一整套与求导相似的微分法则和公式(略)．
五、布置作业
1．对于函数y＝x3－x和下列的Δx值，求点x＝2处的Δy和dy：
2．(1)在下列图形中，标出相应的Δy和dy．
(2)自变量x的微分dx是否一定为正？当dx为正时，函数y＝f(x)的微分dy是否一定为正？
3．求下列函数的微分：
4．某运动方程为s＝4t2，其中t的单位是秒，s的单位是米，求t＝2秒，Δt＝0.001秒时路程的改变量Δs及路程的微分ds，并加以比较．
例题讲解
求复合函数的导数
例1
求下列函数的导数
解
②y=e-2xsin3x．
y'=(e-2x)'sin3x＋e-2x(sin3x)'
=e-2x(－2x)'sin3x＋e-2xcos3x·(3x)'
=－2e-2xsin3x＋3e-2xcos3x．
∵函数的定义域为0＜x≤6
评注：
求复合函数的导数是求导方法中的重点，关键是掌握求经过一次复合得到的复合函数的导数，因为无论多么复杂的复合函数，都可以把它分解成若干一次复合，问题也就迎刃而解了．
规范的书写可以帮助我们减少计算中的错误，求复合函数的导数，建议大家按第①题的书写格式来书写．
例2
求下列各函数的导数(1)─(4)
解
例3
已知y=ln|x|．求y'
解：
评注：
可见y=ln|x|在(－∞，＋∞)内有导函数的统一解析式(在x=0点不存在导数)，这在下例解法中要用到．
例4
解法一：
评注：
根式求导应先化成分数指数幂的形式．
分析：
像这种类型的题可用取对数求导法，即两边先取对数，然后把lny看作是x的复合函数，两边对x求导，这样比较简便，但是，等式两边取对数有可能缩小原来函数的定义域，为了防止这个问题的发生，可先取y的绝对值，再取对数．因为取了绝对值后，绝对值号里面的函数y是可正可负的．这就避免了由于取对数而给函数带来的
解法二：
先取绝对值，再取对数
再求导，利用例3结论及复合函数求导法则：
评注：
当函数是由某些简单的因式经过乘、除、乘方、开方等运算组合而成时，就可以用对数求导法来简化计算．
教学素材/导数的应用
教学素材/导数的应用
极值
极大值与极小值统称为极值．例题讲解
分析：直接运用求导公式和求导法则进行计算，计算过程较繁；先对y的表达式进行化简，再求导更简便．
∴y'=－(sinxcosx)'=－(cos2x－sin2x)=－cos2x．
分析：对y的表达式变形后，再求导．
分析：这是一个复合函数求导问题，直接运用复合函数求导法则即可．
例4 (1)已知：y=x2sinx，求dy．
(2)设y=xe2x，求dy．
分析：先求y'，然后再乘以dx即得dy．
解：(1)y'=2xsinx＋x2cosx，
∴dy=(2xsinx＋x2cosx)dx．
(2)y'＝(xe2x)'＝e2x＋2xe2x=(1＋2x)e2x，
∴dy=y'dx=e2x(1＋2x)dx．
例5 设y=f(x)=x3－3x2－7，如果自变量从4变到3.95，求dy，△y及dy－△y．
分析：本题中，x0=4，△x=－0.05，dy、△y可按公式求得．
解：令x0=4，x0＋△x=3.95，则△x=－0.05．
△y=f(x0＋△x)－f(x0)=f(3.95)－f(4)=(4－0.05)3－3(4－0.05)2－7－43＋3×42＋7＝－3×42×0.05＋3×4×0.052－0.053＋3×8×0.05－3×0.052=－1.77625．
dy=f'(x0)dx=(3x02－6x0)△x=(3×42－6×4)×(－0.05)=－1.2
dy－△y=－0.022375．
分析：先明确f(x)的定义域，再利用导数讨论其单调区间．
解：f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)．
由f'(x)＞0，得x＜－1或x＞1；由f'(x)＜0，得－1＜x＜0或0＜x＜1．
∴f(x)的增区间是(－∞，－1)、(1，＋∞)，减区间是(－1，0)、(0，1)．
例7 设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx
分析：求两直线的夹角，一般是先求出两直线的斜率，再利用两直线夹角公式求解．
解：曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线l1的斜率k1=y1'|x=0=cosx|x=0=1；
设两条切线l1、l2的夹角为α，则
∴α＝arctan3．
故 切线l1和l2的夹角为arctan3．
例8 过曲线c：y=x2－1，x＞0上的点P作曲线c的切线，与x轴、y轴分别交于点M、N，试确定点P的坐标，使△MON的面积最小．
分析：本题可用待定系数法加导数求解．先设P的坐标为(u，t)，
再利用导数求S的最小值，从而得出u、t的数值．
解：设切点为P(u，t)，则t=u2－1．
∵y=x2－1，(x＞0)，∴y'=2x，kl=2u，∴过P点的切线l的方程为：y－t=2u(x－u)．则 切线l与x轴、y轴的交点分别为：反函数的导数、反三角函数的导数教案1
教学目的
1．通过复习提问使学生巩固反函数的概念；
2．使学生掌握反函数求导法则及其推导方法；
3．使学生会用反函数求导公式推导并熟练掌握四个反三角函数的求导公式．
教学重点和难点
反函数的求导法则和四个反三角函数的求导公式是本节课的重点．本节课的难点是反函数的求导．
教学过程
一、复习提问
1．什么叫函数 y＝f(x)的反函数？
(请一名学生回答．因为反函数是高中一年级所学内容，学生已经生疏，可能答得不好，可由其他学生补充或纠正，最后教师应准确地给学生讲述反函数概念．另外，上一节课应布置学生预先复习反函数概念．)
如果给定函数y＝f(x)的对应关系f是一一对应，那么f的逆对应f-1所确定的函数x＝
f-1(y)就叫做函数y＝f(x)的反函数．
强调指出：这里所说的函数关系f应是一一对应，否则就没有逆对应f-1，也就不可能有反函数x＝f-1(y)．
2．下列函数有反函数吗？若有请写出它的反函数表示式：
(1)y＝2x－3；(2)y＝xn(n为正整数)．
(请一名学生板演．)
n为偶数时，函数关系不是一一对应，故没有反函数．
二、引入新课
为求反函数的导数，自然会想到互为反函数的两个函数的导数之间有无关系，如果有，其规律是什么？为此，我们先就提问第2题的两个实例进行探讨．
(1)求y＝2x－3的导数．
yx'＝2．
(2)求函数y＝xn(n为奇数)的导数
yx'＝nxn-1．
观察：由(1)可见
那么(2)是否也有同样的规律呢？不妨试一试：
讲解新课
如果Δy≠0，上等式显然成立．
事实上，当Δx≠0时，一定有Δy≠0(为什么？请学生思考并回答)．否则不等
至此，我们可以肯定上面所提出的反函数的求导法则如下：
或记作
2．几何解释(图2－7)：
由导数的几何意义可知
yx'＝tanα，xy'＝tanβ．
3．反三角函数的导数
有了反函数的求导法则，我们就可以求得反三角函数的导数了．
由反函数的求导法则有
因此我们得到公式：
追问：在(3)处为什么要陈述这些条件？没有这些条件可以吗？
因为导数yx'应是x的函数，因此必须将y还原为x的表达式．
用类似的方法，可求得另外三个反三角函数的求导公式：
(这三个公式的证明由学生课下完成．)
追问：题目所给的条件x＞0，在解题过程中用于何处？
例4 求y＝arctan2x的导数．
四、课堂练习
求下列函数的导数：
(请两名学生分别板演1、2两题和3、4两题，其余学生做在课堂练习本上．最后教师带领全体学生订正学生所做练习题．)
五、小结
1．反函数求导法则：
2．根据反函数求导法则求得四个反三角函数的求导公式：
这里要注意两点：(1)反正弦函数和反余弦函数的导数不包括x＝－1和x＝1两个点；(2)反正弦函数的导数与反余弦函数的导数只差一个符号；反正切函数与反余切函数的导数也只差一个符号．
六、布置作业
1．试证明后三个反三角函数的求导公式．
2．求下列函数的导数：
3．求下列函数的导数：
关于导数与微分概念产生的史料
十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，这个时期数学研究也取得了丰硕的成果，其中突出的成就是微积分的产生．
在数学课上，我们是先学微分，后学积分的，而在历史上，积分的概念产生于微分的概念之前．积分的概念的引出最初是与计算面积、体积和弧长的问题相联系的，之后，微分与导数的概念则产生于对曲线切线和函数极值的研究．
微积分的产生是基于许多数学家长期的研究成果，最终由牛顿(Isaac Newton, 1642～1727)与莱布尼兹(Gottfried Leibniz, 1646～1716)大体完成的．
十七世纪，在微分学上做了先驱性工作的著名数学家，有费马(Pierre de Fermat, 1601～1655)、笛卡儿(Ren Descartes, 1596～1650)、巴鲁(Isaac Barrow, 1630～1677)、罗伯瓦(Gilles Persone de Roberval, 1602～1675)、惠更斯(Christian Huygens, 1629～1695)等．
费马提出了求函数极值的方法，他的方法相当于通过函数的导数为零的条件，确定函数的极值．费马还设计了求曲线切线的程序，他认为与曲线的两个交点趋于重合时的割线是切线．
笛卡儿对曲线切线的看法与费马接近．
巴鲁是牛顿的老师，他在求曲线切线时，引入了“微分三角形”，如图3－3，要求曲线上点P处的切线PT，设Q为曲线上点P的邻点，则△PTM与△PQR近似相似，当△PQR无限小时，切线PT的斜率
罗伯瓦是从运动的角度出发，他把表示质点运动的曲线的切线看作质点在切点处的运动方向．
惠更斯是莱布尼兹的老师，他也对切线问题做了有益的探索．
微积分的奠基人是牛顿与莱布尼兹，牛顿是从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度研究微积分的．
牛顿对微积分的突出贡献是发现了“流数法”，流数法的提出是在1665年．在关于流数法的论述中，牛顿把连续变量称为流，流的变化率称为流数(即导数)，并
流数的方法，即微分法，以及由流数求流的方法，即积分法．
莱布尼兹建立他的微积分是在1673年到1676年之间，并在1684年发表了关于
许多微分的基本原则也是他首推出的，求两个函数乘积的n阶导数的法则，现在仍称为莱布尼兹法则．
可以说，微积分学靠解析几何的帮助，成为十七世纪发现的最伟大的数学工具，在十八世纪，微积分得到广泛的应用，而直到十九世纪有了实数理论、集合论和极限论之后，微积分学才构建成牢固的逻辑基础．
导数在证明恒等式中的应用
一、预备知识
定理1 若函数f(x)在区间I上可导，且x∈I，有f′(x)＝0，则x∈I，有f(x)＝c(常数)．
证明 在区间I上取定一点x0及x∈I．显然，函数f(x)在[x0，x]或[x，x0]上满足拉格朗日定理，有
f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x与x0之间．
已知f′(ξ)＝0，从
f(x)－f(x0)＝0 或 f(x)＝f(x0)
设f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．
定理2 若x∈I(区间)，有f′(x)＝g′(x)，则x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常数．
二、应用例题
证法 f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函数．
证明 设f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有
f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′
由定理1知，f(x)＝c，即
arcsinx＋arccosx＝c
其中c是常数．
(高中课本例题)．
证明 设f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有
由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常数．
例3 证明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．
证明 设f(x)＝arccos(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，
于是 f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′
由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常数．
令x＝1，则c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，
于是 arccos(－x)＋arccosx＝π．
x∈(1，＋∞)有
例5 证明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]
证明 设f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，则x∈[－1，1]，有
f′(x)＝(sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′
由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常数．
令x＝－1，则
c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0
于是， x∈[－1，1]，有
sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．
于是， x∈[0，1]，有
证明 x∈R，有
即x∈R，有
与 g′(x)＝0．
从而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c
与 g′(x)＝－1．
从而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．
从而，c＝0．于是，
解 设F(x)＝f1(x)－f2(x)
由定理1知， x∈R(x≠±1)，有
(2) x∈(－1，1)，令x＝0，则
于是，
例11 求证：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0．
证明 将a，y看作固定常数，x看作变量，设
f(x)＝logaxy－logax－logay，x∈(0，＋∞)．
则x∈(0，＋∞)，有
由定理1知，
f(x)＝c 或 logaxy－logax－logay＝c．
令x＝1，则c＝logay－logay＝0，
从而 logaxy－logax－logay＝0，
即 logaxy＝logax＋logay．
例12 求x∈R，满足等式
acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2
的所有实数对(a，b)全体，
解 设f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常数)，则根据定理1， x∈R，应有f′(x)＝0，即
f′(x)＝－asinx＋asin(ax＋b2)
(1)a＝0，由题设等式知，
－cosb2＝－1－b2 或 cosb2＝1＋b2．
解得b＝0，所以求得符合要求的一个实数对为(0，0)．
(a－1)x＋b2＝2kπ 或 (a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z
解得a＝1，b2＝2kπ，并代入题设等式，有
cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，
并且仅当k＝0，上式才成立，从而b＝0，所以求得符合要求的实数对为(1，0)，
(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z
解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入题设等式，有
cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，
即 2＋b2＝0，
显然，这样的b不存在．
综上所述，所求实数对的集合为{(0，0)，(1，0)}．
例14 证明： x，y∈R
sin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，
cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny
证明 设
f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，
g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．
只须证明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可．
用反证法．假设f(x，y)≠0，由于
f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝g(x，y)，
f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)，
则 df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)， (3)
同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)． (4)
由(3)与(4)，得
或 －g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)，
从而 f2(x，y)＋g2(x，y)＝c．
由假设f(x，y)≠0，则c为不等零的常数．
令x＝y＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，这与c≠0矛盾．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，g(x，y)＝0．
例15 已知
x≠2kπ，k∈Z．
求证：
证明 已知
对上式两端同时求导，有
类似可证：已知
x≠2kπ，k∈Z，
求证：
例16 证明：
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝
证明 已知
对上式两端求导，得
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
注 欲证等式的左端
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
恰为 sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的导函数，所以证明开始应用了公式
例17 已知
证明 对已知等式取自然对数，有
对上式两端求导，有
(高中课本习题)．
对上式两端求导，得
令x＝1，则
令x＝－1，则
例19 证明：若(a＋b＋c)2＝3(bc＋ca＋ab)，则a＝b＝c，其中a，b，c为常数．
证明 将a看作变量，b，c看作固定常量，等式两端同时对a求导，有
由已知条件知，a、b、c为对称的，所以有
将(2)代入(1)，化简得a＝c．同理a＝b，从而，a＝b＝c．
导数在证明恒等式中的应用
一、预备知识
定理1 若函数f(x)在区间I上可导，且x∈I，有f′(x)＝0，则x∈I，有f(x)＝c(常数)．
证明 在区间I上取定一点x0及x∈I．显然，函数f(x)在[x0，x]或[x，x0]上满足拉格朗日定理，有
f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x与x0之间．
已知f′(ξ)＝0，从
f(x)－f(x0)＝0 或 f(x)＝f(x0)
设f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．
定理2 若x∈I(区间)，有f′(x)＝g′(x)，则x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常数．
二、应用例题
证法 f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函数．
证明 设f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有
f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′
由定理1知，f(x)＝c，即
arcsinx＋arccosx＝c
其中c是常数．
(高中课本例题)．
证明 设f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有
由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常数．
例3 证明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．
证明 设f(x)＝arccos(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，
于是 f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′
由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常数．
令x＝1，则c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，
于是 arccos(－x)＋arccosx＝π．
x∈(1，＋∞)有
例5 证明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]
证明 设f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，则x∈[－1，1]，有
f′(x)＝(sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′
由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常数．
令x＝－1，则
c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0
于是， x∈[－1，1]，有
sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．
于是， x∈[0，1]，有
证明 x∈R，有
即x∈R，有
与 g′(x)＝0．
从而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c
与 g′(x)＝－1．
从而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．
从而，c＝0．于是，
解 设F(x)＝f1(x)－f2(x)
由定理1知， x∈R(x≠±1)，有
(2) x∈(－1，1)，令x＝0，则
于是，
例11 求证：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0．
证明 将a，y看作固定常数，x看作变量，设
f(x)＝logaxy－logax－logay，x∈(0，＋∞)．
则x∈(0，＋∞)，有
由定理1知，
f(x)＝c 或 logaxy－logax－logay＝c．
令x＝1，则c＝logay－logay＝0，
从而 logaxy－logax－logay＝0，
即 logaxy＝logax＋logay．
例12 求x∈R，满足等式
acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2
的所有实数对(a，b)全体，
解 设f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常数)，则根据定理1， x∈R，应有f′(x)＝0，即
f′(x)＝－asinx＋asin(ax＋b2)
(1)a＝0，由题设等式知，
－cosb2＝－1－b2 或 cosb2＝1＋b2．
解得b＝0，所以求得符合要求的一个实数对为(0，0)．
(a－1)x＋b2＝2kπ 或 (a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z
解得a＝1，b2＝2kπ，并代入题设等式，有
cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，
并且仅当k＝0，上式才成立，从而b＝0，所以求得符合要求的实数对为(1，0)，
(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z
解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入题设等式，有
cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，
即 2＋b2＝0，
显然，这样的b不存在．
综上所述，所求实数对的集合为{(0，0)，(1，0)}．
例14 证明： x，y∈R
sin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，
cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny
证明 设
f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，
g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．
只须证明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可．
用反证法．假设f(x，y)≠0，由于
f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝g(x，y)，
f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)，
则 df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)， (3)
同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)． (4)
由(3)与(4)，得
或 －g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)，
从而 f2(x，y)＋g2(x，y)＝c．
由假设f(x，y)≠0，则c为不等零的常数．
令x＝y＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，这与c≠0矛盾．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，g(x，y)＝0．
例15 已知
x≠2kπ，k∈Z．
求证：
证明 已知
对上式两端同时求导，有
类似可证：已知
x≠2kπ，k∈Z，
求证：
例16 证明：
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝
证明 已知
对上式两端求导，得
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
注 欲证等式的左端
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
恰为 sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的导函数，所以证明开始应用了公式
例17 已知
证明 对已知等式取自然对数，有
对上式两端求导，有
(高中课本习题)．
对上式两端求导，得
令x＝1，则
令x＝－1，则
例19 证明：若(a＋b＋c)2＝3(bc＋ca＋ab)，则a＝b＝c，其中a，b，c为常数．
证明 将a看作变量，b，c看作固定常量，等式两端同时对a求导，有
由已知条件知，a、b、c为对称的，所以有
将(2)代入(1)，化简得a＝c．同理a＝b，从而，a＝b＝c．
导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导.这时，对于开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作或（需指明自变量x时记作）即
＝ y′＝＝
导函数也简称导数．教学素材/参数方程
教学素材/参数方程
最值及常用求最值方法
对于一元实函数y＝f（x），设x0是它的定义域中的一个点，如果存在一个正数δ，使点x0的δ邻域（即开区间（x0－δ，x0＋δ））仍在其定义域中，当对这一领域中的一切x，均有
f（x）≥f（x0），其中x∈（x0－δ，x0＋δ）．
则称f（x0）是f（x）的一个极小值，x0称为f（x）的一个极小点．完全同样地，如果有
f（x）≤f（x0），其中x∈（x0－δ，x0＋δ）．
则称f（x0）是f（x）的一个极大值，x0称为f（x）的一个极大点．
极大值和极小值统称极值，极大点和极小点统称极值点．
对于定义在区间［a，b］上的一元函数y＝f（x），设x0∈［a，b］，当对一切x∈［a，b］均有f（x）≥f（x0）时，就称f（x0）为f（x）在［a，b］上的最小值，记作fmin．同样地，如果对一切x∈［a，b］均有f（x）≤f（x0）时，就称f（x0）为f（x）在［a，b］上的最大值，记作fmax．最大值和最小值统称为最值．
在解析几何中常把几何中的最值问题转化为函数最值总是来解决，当然也有些最值问题直接用曲线的定义和平面几何知识解决．
一般常用的求最值的方法有以下几种：
1．利用二次函数求最值
对于定义在（－∞，＋∞）上的二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞0，则当x＝－时，有最小值ymin＝，但这函数没有最大值；如果a＜0，则当x＝－时，有最大值ymax＝，但这函数没有最小值．
2．判别方法
对于二次函数、二次分式函数和二次无理函数y＝f（x），在定义域［a，b］上是连续函数，且可以变形为关于x的二次方程从而判别△＝≥0，如果这个不等式能够解出，且当在x∈［a，b］内能取得等号时，此即f（x）的最值．当x∈［a，b］内不能取得等号时，f（x）在端点处取得最值．
3．不等式法
n个非负数的算术平均数，不小于它们的几何平均数．当n＝2时：若a，b≥0则≥，上式中等号当且仅当a＝b时成立，一般地，若a1，a2，a3，…，an≥0，则有（a1＋a2＋a3＋…＋an）≥，其中等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立．
4．利用正、余弦函数的有界性
正弦函数y＝sinx，当x＝2kπ＋时，有ymax＝1；当x＝2kπ－时，有ymin＝－1．特别地，对定义在［0，2π］上的函数y＝sinx，当x＝时，有ymax＝1；当x＝时，有ymin＝－1．
余弦函数y＝cosx，当x＝2kπ时，有ymax＝1；当x＝（2k＋1）π时，有ymin＝－1（其中k为整数）．
5．利用曲线的几何定义．导数与微分一习题2
1．下面命题正确的是
[ ]
A．(1)(2)； B．(2)(3)；
C．(1)(4)； D．(2)(4)．
2．求曲线y＝x2在点(2，4)外的切线方程．
[ ]
则此切线的方程为
[ ]
6．一物体的运动方程为S＝at2＋bt，瞬时速度在t∈[0，2]恒大于0，则
[ ]
A．a＝0，b＞0；
B．a＜0，b＞2；
C．a＞0，b＜0；
D．a＜0，4a＋2b＞0．
导数与微分一习题2案
1．D
略解：
2．4x－y－4＝0
3．D
±4
又y'＝x2＋x＋4＝0或x2＋x＋4＝－4(舍)
6．D
[提示]v(t)＝S'＝2at＋b，a＜0时v(t)为减函数，只须v(2)＞0，即4a＋2b＞0时，瞬时速度在t∈[0，2]上便恒大于0．
导 数
函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量△x，那么函数y相应地有增量△y＝f（x0＋△x）－f（x0），比值就做叫函数y＝f(x)在x0到x0＋△x之间的平均变化率，即＝
如果当△x→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作或|x＝x0，即
＝＝＝教学素材/导数与微分
教学素材/导数与微分
指数函数的导数
＝，＝微积分在数列求和中的应用
数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．本文探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法，从中可见高等数学与初等数学的密切联系．
1 微分知识在数列求和中的应用
首先证明一个等式：
事实上利用二项式定理有：
而：(x－1)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝xn+1－1
当x≠1时，两边同除以x－1得：
则恒有：
从(Ⅰ)式出发利用微分知识可推出以下求和公式：
对(Ⅰ)式两边求导则有：
由(Ⅰ)式可知
两边求二阶导数，则：
令x＝1，则
公式3：
由(Ⅱ)式，可知：
两边求导得：
令x＝1，则：
仿此，若(Ⅲ)式两边同时乘以x求导后再令x＝1，便会有：
公式4：
2 积分知识在数列求和中的应用
首先由二项式定理：
两边对x从0到1求积分，则：
从而有：
公式5：
如果两边对x从0到2积分，则：
便可得到：
公式6：
继续推广便有：
公式7：
由以上知识，若联想到1994年《中学生数理化》(高中版)3期“数学问题有奖征答”第2题：θ≠2kπ(k∈N)且
sinθ＋2sin2θ＋…＋nsin(nθ)＝0，
求证：(n＋1)sin(nθ)＝nsin(n＋1)θ
其巧妙证法可为：
设f(θ)＝sinθ＋2sin2θ＋…＋nsin(nθ)
则：(n＋1)sinnθ＝nsin(n＋1)θ
从以上可以看出，充分研究高等数学与中学数学的联系，可以为中学数学的教与学带来方便．
导数的应用习题2
1．已知f(x)=xm(1－x)n，其中m，n是自然数，x∈[0，1]，求满足拉格朗日中值定理条件的ξ点．
2．应用拉格朗日中值定理证明不等式．
3．求函数y=excosx的极值．
5．作函数y=lnsinx的图形．
导数的应用习题2答案
∴f(x)没有极值．
再谈学习微积分
学习微积分重要的是领会其思想方法，体会它与初等数学的差别．
微积分研究的对象是什么？是函数，可是对于函数我们已经非常熟悉了，初等数学中相当多的内容都是研究函数的，那么微积分学研究函数在方法上与初等数学有什么不同呢？最重要的不同就是运用了极限这个概念，这是一个非常重要的数学工具，我们将会看到，在微积分知识中大多数重要概念都是建立在极限概念基础上的(比如，我们学过的连续概念与导数概念)，而且在研究函数的变化趋势上，引入了极限的概念给我们带来的结果是初等数学无论如何不能比拟的．
1．关于导数
初等数学中研究函数，研究变量，有时结果是比较粗略的，比如研究变速运动的速度问题，用初等数学的方法只能求平均速度．而平均速度并不能精确地描述变速运动每个瞬时的运动状态．引入了导数概念以后就可以精确地描述每一个瞬时的运动状态了．
函数值与自变量的值之间的对应可通过图形或式子，作出定义域中的整体描述，而导数y'(x00)却是逐点的性质，即导数y'(x)随x0的取值不同而可能不同，它能描述函数在该点邻近的局部性质，是函数自身在更高层次上描述，描述的不是对应关系，而是对应关系的变化．从每一点的导数再引入导函数后，它又从更高的层次上对函数作出整体的描述．这样从函数，到一点的导数，再到导函数，我们经历了从整体到局部又回到整体这样一个螺旋式上升的过程．至于平均变化率，对于函数y(x)来讲是区间性质，它描述了函数在区间Δx=x0－x00上的一定的性态．现在可以分别研究函数的逐点的、区间的以及总体的性质．这样，我们对函数的了解更精细、也更深刻了．导数将成为我们进一步研究函数的一个有力工具，在下一讲中，读者可以看到这一点．
2．关于微分
在前一部分里，我们曾经谈到，微分的一个基本应用是近似代替，而一谈到近似代替就有个精度问题．在用微分作近似计算时影响精度的因素显然是Δx0，从下式中我们可以看到|Δx|越小，用微分作近似计算就越精确．
f(x0＋Δx)－f(x0)=f'(x0)Δx0 (1)
但是如果实际问题中不允许我们任意缩小|Δx|．却又要求提高精度怎么办呢？
从前面的例子来看：
ΔV=V(x0＋Δx)－V(x0)
=(x0＋Δx)3－x03
=3x02Δx0＋[3x0(Δx)2＋(Δx)3] (2)
可以看到，当时是把含Δx0的二次项，三次项都舍去了．若保留Δx0的二次项，近似程度会增加，那时称为二阶近似，而微分称为一阶近似．若含Δx0的三次项也保留，就得ΔV的准确值了．
由于V(x)=x3是三次幂(三次多项式的特殊情形)，所以有(2)式的形式．对于更一般的函数，有下面的泰勒公式
Δf(x)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
(其中o((Δx)n)表示所有含Δx0的幂次高于n的项)
用泰勒公式进行近似计算，影响精度的有两个因素．一个是Δx0的大小，一个是所取的项数n，当n=1时，就是公式(1)．当实际问题中不允许再缩小|Δx|时，我们可以把n取得大一些，即多取几项，仍然可以提高精度．
若将公式(1)中的Δx0用(x0－x0)代替，可得
我们看到公式(4)的左边是任意一个可导的函数(例如，它可以是任何一个初等函数)而公式右边是关于x0的一次函数，这也是一件很有意思的事情，也就是说，当我们换一个角度去观察这个公式时发现，它可以有另一个用途：这个公式给出了用一次多项式在小范围内近似代替一般可导函数的方法．同样，泰勒公式指出，可以用n次多项式去近似代替一个一般可导函数，这种方法在微积分中占有重要的地位．
导数在证明恒等式中的应用
一、预备知识
定理1 若函数f(x)在区间I上可导，且x∈I，有f′(x)＝0，则x∈I，有f(x)＝c(常数)．
证明 在区间I上取定一点x0及x∈I．显然，函数f(x)在[x0，x]或[x，x0]上满足拉格朗日定理，有
f(x)－f(x0)＝f′(ξ)(x－x0)，ξ在x与x0之间．
已知f′(ξ)＝0，从
f(x)－f(x0)＝0 或 f(x)＝f(x0)
设f(x0)＝c，即x∈I，有f(x)＝c．
定理2 若x∈I(区间)，有f′(x)＝g′(x)，则x∈I，有f(x)＝g(x)＋c，其中c是常数．
二、应用例题
证法 f(x)＝arcsinx＋arccosx，在(－1，1)上是常值函数．
证明 设f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈(－1，1)，有
f′(x)＝(arcsinx＋arccosx)′
由定理1知，f(x)＝c，即
arcsinx＋arccosx＝c
其中c是常数．
(高中课本例题)．
证明 设f(x)＝arctanx＋arccotx，c∈R，有
由定理1知，arctanx＋arccotx＝c，其中c是常数．
例3 证明：arccos(－x)＋arccosx＝π，x∈[－1，1]．
证明 设f(x)＝arccos(－x)＋arccosx，x∈[－1，1]，
于是 f′(x)＝(arccos(－x)＋arccosx)′
由定理1知，arccos(－x)＋arccosx＝c，其中c是常数．
令x＝1，则c＝arccos(－1)＋arccos1＝π，
于是 arccos(－x)＋arccosx＝π．
x∈(1，＋∞)有
例5 证明：sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0，x∈[－1，1]
证明 设f(x)＝sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)，则x∈[－1，1]，有
f′(x)＝(sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx))′
由定理1知，sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝c，其中c是常数．
令x＝－1，则
c＝sin(3arcsin(－1)＋cos(3arccos(－1))＝0
于是， x∈[－1，1]，有
sin(3arcsinx)＋cos(3arccosx)＝0．
于是， x∈[0，1]，有
证明 x∈R，有
即x∈R，有
与 g′(x)＝0．
从而f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c
与 g′(x)＝－1．
从而，f′(x)＝g′(x)，由定理1知，f(x)＝g(x)＋c．
从而，c＝0．于是，
解 设F(x)＝f1(x)－f2(x)
由定理1知， x∈R(x≠±1)，有
(2) x∈(－1，1)，令x＝0，则
于是，
例11 求证：logaxy＝logax＋logay，其中x＞0，y＞0．
证明 将a，y看作固定常数，x看作变量，设
f(x)＝logaxy－logax－logay，x∈(0，＋∞)．
则x∈(0，＋∞)，有
由定理1知，
f(x)＝c 或 logaxy－logax－logay＝c．
令x＝1，则c＝logay－logay＝0，
从而 logaxy－logax－logay＝0，
即 logaxy＝logax＋logay．
例12 求x∈R，满足等式
acosx－cos(ax＋b2)＝a－1－b2
的所有实数对(a，b)全体，
解 设f(x)＝acosx－cos(ax＋b2)，x∈R，要使x∈R，有f(x)＝a－1－b2(常数)，则根据定理1， x∈R，应有f′(x)＝0，即
f′(x)＝－asinx＋asin(ax＋b2)
(1)a＝0，由题设等式知，
－cosb2＝－1－b2 或 cosb2＝1＋b2．
解得b＝0，所以求得符合要求的一个实数对为(0，0)．
(a－1)x＋b2＝2kπ 或 (a－1)x＝2kπ－b2，k∈Z
解得a＝1，b2＝2kπ，并代入题设等式，有
cosx－cos(x＋2kπ)＝－2kπ，
并且仅当k＝0，上式才成立，从而b＝0，所以求得符合要求的实数对为(1，0)，
(a＋1)x＋b2＝(2k＋1)π，k∈Z
解得a＝－1，b2＝(2k＋1)π，并代入题设等式，有
cosx＋cos[(2k＋1)π－x]＝2＋b2，
即 2＋b2＝0，
显然，这样的b不存在．
综上所述，所求实数对的集合为{(0，0)，(1，0)}．
例14 证明： x，y∈R
sin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny，
cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny
证明 设
f(x，y)＝sin(x＋y)－sinxcosy－cosxsiny，
g(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny．
只须证明f(x，y)＝g(x，y)＝0即可．
用反证法．假设f(x，y)≠0，由于
f′x(x，y)＝cos(x＋y)－cosxcosy＋sinxsiny＝g(x，y)，
f′y(x，y)＝cos(x＋y)＋sinxsiny－cosxcosy＝g(x，y)，
则 df(x，y)＝f′x(x，y)dx＋f′y(x，y)dy＝g(x，y)d(x＋y)， (3)
同理，dg(x，y)＝－f(x，y)d(x＋y)． (4)
由(3)与(4)，得
或 －g(x，y)dg(x，y)＝f(x，y)df(x，y)，
从而 f2(x，y)＋g2(x，y)＝c．
由假设f(x，y)≠0，则c为不等零的常数．
令x＝y＝0，代入上式，有f2(0，0)＋g2(0，0)＝0，这与c≠0矛盾．于是，f(x，y)＝0，由(3)式知，g(x，y)＝0．
例15 已知
x≠2kπ，k∈Z．
求证：
证明 已知
对上式两端同时求导，有
类似可证：已知
x≠2kπ，k∈Z，
求证：
例16 证明：
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx＝
证明 已知
对上式两端求导，得
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
注 欲证等式的左端
2sinxcosx＋4sin2xcos2x＋…＋2nsinnxcosnx
恰为 sin2x＋sin22x＋…＋sin2nx的导函数，所以证明开始应用了公式
例17 已知
证明 对已知等式取自然对数，有
对上式两端求导，有
(高中课本习题)．
对上式两端求导，得
令x＝1，则
令x＝－1，则
例19 证明：若(a＋b＋c)2＝3(bc＋ca＋ab)，则a＝b＝c，其中a，b，c为常数．
证明 将a看作变量，b，c看作固定常量，等式两端同时对a求导，有
由已知条件知，a、b、c为对称的，所以有
将(2)代入(1)，化简得a＝c．同理a＝b，从而，a＝b＝c．
二阶导数
(x)的导数(x)′叫做f(x)的二阶导数，记作(x)或．教学素材/导数与微分
教学素材/导数与微分
和（或差）的导数法则
两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）即(u±v)′＝u′±v′．曲线的凸向教案1
教学目的
使学生认识到研究曲线凸向的必要性；体会凸向的定义；利用二阶可导函数判断其凸向的方法；进一步理解凸向的内在涵义．
教学重点
利用二阶可导函数判断其凸向的方法．
教学过程
一、复习提问
曲线有上升与下降两种情况．曲线上升，相应的函数为增函数，即当自变量值增加时，函数值随之增加，或称函数值随自变量值变化的速率为正；曲线下降，相应的函数为减函数，即当自变量值增加时，函数值随之减小，或称函数值随自变量值变化的速率为负．总之，曲线的升降与相应函数的单调性相联系．
思考下列问题：
1．对于可导函数，怎样判断其单调性？
答：设函数f(x)在区间(a，b)内可导，如果在(a，b)内f'(x)＞0，则函数f(x)在(a，b)内是增函数；如果在(a，b)内f'(x)＜0，则f(x)在(a，b)内是减函数．
2．对于可导函数f(x)，f'(x)＞0是f(x)为增函数的必要条件吗？
答：不是必要条件．例如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)内是增函数．但当x=0时，f'(x)＝0．
可见，对于区间(a，b)内的可导函数f(x)，f'(x)＞0是f(x)在该区间内为增函数的充分条件；反之，f'(x)＜0是f(x)为减函数的充分条件．
对于可导函数，通过其导数的正负号来判断函数的增减性是很方便的．
二、新课
1．新课引入．
同样是曲线上升(下降)，亦有两种不同的上升(下降)方式，如图3-21．
在图3-21(1)中，曲线弧向下弯曲，在图3-21(2)中．曲线弧向上弯曲．因此，为了准确地描绘函数的图象，除了研究曲线的升降外，还要研究曲线的弯曲方向．
2．新课．
(1)凸向的定义．
设函数y=f(x)在x0处可导，则相应曲线在点P(x0，f(x0))有切线．若此切线位于切点附近曲线的下方，切点除外，则称曲线在x=x0处下凸，如图3-21(1)；若此切线位于切点附近曲线的上方，切点除外，则称曲线在x＝x0处上凸，如图3-21(2)．
若曲线y＝f(x)在区间(a，b)内所有点都下凸(或上凸)，则称曲线在区间(a，b)内下凸(或上凸)．
(2)凸向的判断方法．
定理设函数f(x)在区间(a，b)内有二阶导数f''(x)．对所有点x∈(a，b)，有f''(x)＞0，则曲线y=f(x)在区间(a，b)内下凸；若对所有点x∈(a，b)，有f''(x)＜0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)内上凸．
证明：
如图3-22
∵当x∈(a，b)时，f''(x)＞0，
∴任取x0∈(a，b)，f''(x0)＞0．
曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))的切线方程为y－f(x0)=f'(x0)(x－x0)．
设x1为x0附近一点，且x1≠x0．则切线上对应于x1的点Q的纵坐标为
y1=f(x0)＋f'(x0)(x1－x0)
(1)
另外，因f(x)在(a，b)内有二阶导数，且x0，x1∈(a，b)，根据二阶导数的中值定理，有
(2)
其中点ξ在x0与x1之间，f(x1)是曲线f(x)上对应于x1的点p1的纵坐标．
∴ y1＜f(x1)．
即曲线在点P的切线位于该点附近(该点除外)曲线的下方，所以曲线y=f(x)在x＝x0处下凸．
因x0为区间(a，b)内任取的一点，所以曲线y=f(x)在区间(a，b)内下凸．
至于当x∈(a，b)，f''(x)＜0时，曲线y＝f(x)在(a，b)内上凸，留给同学自己去证．
例2 讨论曲线y＝x＋36x2－2x3－x4(－∞＜x＜＋∞)的凸向．
解：y＝x＋36x2－2x3－x4，y'=1＋72x－6x2－4x3，
y''＝72－12x－12x2=－12(x＋3)(x－2)
y''=0，得x=－3，x＝2．
当－3＜x＜2时，y''＞0，曲线下凸；
当x＜－3，或x＞2时，y''＜0，曲线上凸．
三、小结
1．对于二阶可导函数，二阶导数为正，相应曲线下凸；二阶导数为负，相应曲线上凸．这仅仅说明二阶导数为正(负)是曲线下凸(上凸)的充分条件，但实际上是充要条件．只是因为“必要性”的证明较难，故未给出证明．总之结论应是：具有二阶可导函数，二阶导数的符号为正(负)，是相应曲线下凸(上凸)的充要条件．
2．函数的二阶导数为正，或曲线下凸，说明什么问题？
二阶导数为正，说明一阶导函数为增函数，或称函数值在随自变量值而变化的过程中，具有正的加速率；反之．二阶导数为负，说明一阶导函数为减函数，或称函数值在随自变量值而变化的过程中，具有负的加速率．
四、布置作业
1．复习“曲线的凸向”有关内容；
2．预习“曲线的拐点”有关内容；
3．作下列书面作业：
(1)讨论曲线y＝sinx在区间(－π，π)内的凸向；
(2)讨论曲线y＝xarctanx在(－∞，＋∞)内的凸向；
(3)试证曲线y=ln(x2－1)在其定义域内处处上凸．
导数的应用习题3
1．验证函数f(x)=lnx在区间[1，e]上满足拉格朗日中值定理，并求出相应的ξ值． (12分)
2．用拉格朗日定理证明不等式：
3．用导数证明两个正数的算术平均总大于它们的几何平均，且只有二数相等时，等式才成立：
4．设a＞0，当x＞0时，证明：
x2－2ax＋1＜ex． (14分)
5．证明当a＜0时，方程lnx=ax只有一个实数根．(12分)
6．求下列函数的极值：(每小题10分，共20分)
(1)y=12x5＋15x4－40x3；
(2)y=x2lnx
导数的应用习题3答案
1．ξ=e－1
3．将所要证的不等式化为：
显然当b→0或b→＋∞时，f(b)→＋∞．
4．设f(x)=ex－x2＋2ax－1，f(0)=0，f'(x)=ex－2x＋2a，f"(x)=ex－2
令f"(x)=0，即ex－2=0，得x=ln2，为(0，＋∞)区间内唯一零点．
当0＜x＜ln2时，f"(x)＜0，f'(x)为减函数；
当x＞ln2时，f"(x)＞0，f'(x)为增函数；
所以x=ln2时，f'(x)取极小值亦是最小值．
f'(ln2)=2(lne－ln2＋a)＞0
∴x＞0时，f'(x)＞f'(ln2)＞0，f(x)为增函数，f(x)＞f(0)，f(x)＞0即得ex＞x2－2ax＋1，
当x→0时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→＋∞，又f(x)在(0，＋∞)内是连续函数．
所以方程f(x)=lnx－ax=0，即lnx=ax在(0，＋∞)区间内有一个而且只有一个实数根．
6．(1)x=－2时，函数有极大值f(－2)=176；x=1时，有极小值f(1)=－13．
导数的定义教案1
教学目的
1．使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念．
2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．
教学重点和难点
导数的概念是本节的重点和难点．
教学过程
一、复习提问(导数定义的引入)
1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度．)
2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？
下面以自由落体运动为例来分析．
(1)计算t从3秒分别到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒、……各段时间内的平均速度．
(2)求t=3秒时的瞬时速度．
其余各段时间内的平均速度，事先写在小黑板上，待学生回答完第一段时间内的平均速度后，即出示小黑板，然后让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．
=3g=29.4(米/秒)
一般求非匀速直线运动在时刻t0的瞬时速度的方法如下：
非匀速直线运动的规律s=s(t)．
时间改变量Δt，位置改变量Δs=s(t0＋Δt)－s(t0)，
当Δt很小时，平均速度为什么能近似地代替瞬时速度？当Δt→0时，平均速度的极限是瞬时速度的近似值还是精确值？
二、新课(导数的定义)
上面我们研究了非匀速直线运动的速度问题，象这类问题在现实生活中大量存在，如物体的比热、电流强度以及化学中的物质反应速度等，虽然它们的物理意义和化学意义各不相同，但是它们的数学形式是相同的．我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性即
函数y=f(x)，自变量的改变量Δx；
函数的改变量 Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)
我们把这种反映函数在一点处变化的快慢程度的变化率(即瞬时变化率)定义为导数．
1．导数的定义：
(定义可请学生试着叙述后，让学生看书中导数定义，教师再边复述边板书)．
(2)Δx＝x－x0是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可以为正，也可以为负，也可以时正时负，但Δx≠0，而函数变化可正、可负、也可以是零．
(3)由导数定义可知前例自由落体运动在t＝3秒时的瞬时速度3g=29.4就是路程函数s(t)在t0＝3处的导数．
＝3g=29.4(米/秒)．
2．求导数的一般方法：(由学生来归纳)
例1 求y=x2在x＝1处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2
∴ y'|x=1=2．
引导学生分析这两例的异同，弄清“函数f(x)在点x0处的导数”，“导函数”，“导数”，它们之间的区别和联系．请学生回答后，教师再归纳以下几点：
(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量比的极限，它是一个数值，不是变数．
(2)函数的导数，是对某一区间内任意点x说的，就是函数f(x)的导函数f'(x)．
(3)如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点处都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导．这时对于开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a，b)内，构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)的导函数．
(5)求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值．
三、练习(学生练习后教师再讲评)
1．求y＝x3－2x＋1在x=2处的导数．
解：Δy＝(x＋Δx)3－2(x＋Δx)＋1－(x3－2x＋1)
＝(3x3－2)Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3，
四、小结本节讲的主要内容
1．导数的定义．
2．求导数的一般方法．
3．“函数在某一点的导数”，“导函数”“导数”的区别和联系．
五、布置作业
1．已知质点按规律s＝2t2＋4t(米)作直线运动，求
(1)质点在运动开始前3秒内的平均速度；
(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；
(3)质点在3秒时的瞬时速度．
2．求下列函数在指定点处的导数．
3．求下列函数的导数：
