二元一次不等式表示平面区域
二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝０某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，在坐标系中画不等式Ax＋By＋C０所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．教学素材/直线和圆的方程
教学素材/直线和圆的方程
线性规划
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．简单的线性规划教案
教学目标 (1)帮助学生正确理解，线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解等有关线性规划的重要概念．
(2)通过教师示范讲解，学生练习，掌握在线性约束条件下求线性目标函数的最优解的基本方法．
(3)通过解题过程中的分析，作图，培养学生严谨细致，严格准确的科学精神．
教学重点和难点
重点：对线性约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解的深刻理解和区分．对在线性约束条件下求线性目标函数最优解的掌握．
难点：线性规划有关概念的掌握，目标函数最优解的理解．
教学过程设计
(一)讲授新课．
现在我们来研究下面的问题：
设Z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列关系．
同学们已明白给出的不等式组是一个平面区域，我们把它画出来，变量x，y将在这个范围取值，即由变量x，y为坐标，组成的点，在这个平面区域内．
由图可知，原点(0，0)不在给出的平面区域内．原点(0，0)在直线l0：2x＋y＝0上，作一组与直线l0平行的直线，l：2x＋y＝l，(l∈R)
当l在l0的右上方时，直线l上的点(x，y)满足2x＋y＞0，即l＞0，而且，直线l往右平移时，l随之增大，在经过这个平面区域内的点且与l平行的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的l最大．以经过点B(1，1)的直线l1所对应的l最小．
∴Z最大值＝2×5＋2＝12．
Z最小值＝2×1＋1＝3．
(二)学生阅读课文(P722.线性规划到P74例3前)
阅读思考题：
(1)说出“线性约束条件”、“线性目标函数”、“线性规划”、“可行解”、“可行域”、“最优解”的含义．
(2)总结用线性规划求线性目标函数最优解的步骤．
(三)教师讲评：
x，y的约束条件，因为是关于x，y的一次不等式，所以称为线性约束条件．
②Z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫做目标函数．因为是x，y的一次解析式，所以称为线性目标函数．
③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题称为线性规划问题．
④满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．
⑤所有可行解的集合叫做可行域．如上面问题中的三角形区域．
⑥使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做这个问题的最优解．如上面问题中的可行解A(5，2)和B点(1，1)．就是最优解．
(2)用线性规划求线性目标函数最优解的步骤：
①根据线性的约束条件，确定可行域．
②由线性目标函数，得出过原点的直线的二元一次方程．做过原点的直线l0．
③求出可行域边界直线交点的坐标．
④过可行域边界直线的交点，作l0的平行线，确定最优解．
我们通过下面的例题来掌握线性目标函数最优解的求法．
求Z＝x＋2y的最大值和最小值．
解：根据约束条件，作出可行域．(如图)
作过原点的直线l0：x＋2y＝0．
作直线l0的平行线l，把直线l向上平移至过点A(－2，2)时，Z取得最小值．
Z最小值＝(－2)＋2×2＝2，
把直线l向上平移至过点B(2，8)时，Z取得最大值，
Z最大值＝2＋2×8＝18．
(四)学生课堂练习
1．课本练习题．1(1)．
Z＝2x＋y．l0：2x＋y＝0．
A(－1，－1)．B(2，－1)．
Z最小值＝2×(－1)＋(－1)＝－3．
Z最大值＝2×2－1＝3．
2．课本练习题1．(2)
z＝3x＋5y
l0：3x＋5y＝0
(五)作业 习题7．4．2
[动画要求]线性规划作图，要求位置准确，线条清楚．
①先作出可行域(与前面要求相同)
②作过原点的直线l0．(虚线)
③一条虚线平行于l0，作平行移动，从边界交点的最下方平移到最上方．在最优解处虚线要留下来，其它虚线平移过后就消失．
④最优解的点闪亮几下．
习题
1．求Z＝416＋8x＋4y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
2．甲乙两矿生产相同的矿石，每月产量分别不超过12万吨和8万吨．A、B两厂每月需要的矿石分别是6万吨和10万吨．已知甲矿到A、B两厂的路程分别是8公里和12公里的平路，运输成本每吨位·公里3元；乙矿到A、B两厂的路程分别是4公里和8公里的山路，运输成本每吨·公里4元．问应当怎样调运才能使两厂既满足需要的量又使总运输成本最低（答案：A厂从乙矿调6吨，B厂分别从甲、乙两矿调8吨和2吨）．
练习的目的是检查是否掌握求目标函数在约束条件下的最大值和最小值的方法和步骤，是否会把实际中的整体最优指标问题转化为用线性规划问题解决．应光练习解线性规划问题．再练习解应用问题，对练习中出现的问题应及时指出并矫正．简单的线性规划教案
●教学目标
（一）教学知识点
二元一次不等式表示平面区域.
（二）能力训练要求
会用二元一次不等式表示平面区域.
（三）德育渗透目标
1.渗透数形结合思想.
2.培养学生应用意识.
●教学重点
二元一次不等式表示平面区域.
●教学难点
准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域.
●教学方法
讨论法
结合前面所学的以二元一次方程的解为坐标的点的集合是一条直线，提出以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是什么图形呢？从而展开师生讨论，让学生加深对二元一次不等式表示平面区域的理解.
●教具准备
投影片四张
第一张：记作§7.4.1 A
内容：课本P59图7—22
第二张：记作§7.4.1 B
内容：课本P60练习
1.(1)
(2)
(3)
(4)
第三张：记作§7.4.1 C
内容：课本P60
2.画出不等式组表示的平面区域.
(1)
第四张：记作§7.4.1 D
（2）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x,y)｜x+y-1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合{（x,y)｜x-y-1＞0}是什么图形呢？
Ⅱ.讲授新课
［师］在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：
（1）在直线x+y-1=0上；
（2）在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；
（3）在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内.
即：对于任意一个点（x,y），把它的坐标代入x+y-1，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0.
若x+y-1=0，则点(x,y)在直线l上.
我们猜想：对直线l右上方的点(x,y)，x+y-1＞0成立；
对直线l左下方的点（x,y)，x+y-1＜0成立.
［师］我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.
不妨，在直线x+y-1=0上任取一点P（x0,y0)，过点P作平行于x轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点（x,y），都有
x＞x0，y=y0,
所以，x+y＞x0+y0
x+y-1＞x0+y0-1=0,
即x+y-1＞0.
再过点P作平行于y轴的直线x=x0，在此直线上点P上侧的任意一点（x,y)，都有x=x0,y＞y0.
所以，x+y＞x0+y0
x+y-1＞x0+y0-1=0,
即x+y-1＞0.
因为点P（x0,y0)是直线x+y-1=0上的任意点，所以对于直线x+y-1=0右上方的任意点(x,y)，x+y-1＞0都成立.
同理，对于直线x+y-1=0左下方的任意点（x,y），x+y-1＜0都成立.
如图所示：
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＞0的解为坐标的点的集合
{（x,y)｜x+y-1＞0}
是在直线x+y-1=0右上方的平面区域.
如图所示：
那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＜0的解为坐标的点的集合{(x,y)｜x+y-1＜0}是在直线x+y-1=0左下方的平面区域.
总之，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
［师］下面我们再来看两例子.
［例1］画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.
解：先画直线2x+y-6=0（画成虚线）.
取原点（0，0），代入2x+y-6,
∵2×0+0-6=-6＜0,
∴原点在2x+y-6＜0表示的平面区域内，不等式2x+y-6＜0表示的区域如图：
［例2］画出不等式组表示的平面区域.
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.
（打出投影片§7.4.1 A)
［师］结合投影片上的图进行讲解.
不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域.
Ⅲ.课堂练习
［生］自练课本P60 1，2.
［师］（陆续打出投影片§7.4.1 B、C、D.)
结合学生所做进行讲评.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握“二元一次不等式表示平面区域”.
注意：（1）Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；
（2）Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax+By+C=0.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4 1.
（二）1.预习内容：课本P60～P62.
2.预习提纲：
（1）何为线性规划问题？其相关概念是什么？
（2）线性规划有何意义？
●板书设计
课 题 ［例1］二元一次不等式 课时小结表示平面区域 ［例2］选择题1
右图中阴影部分的面积是
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：C测试题
课后检测试题 （时间：10分钟）
（1）简答题：什么叫做线性规划问题？
（2）求Z＝400＋7x＋5y的最小值，使式中的x，y满足约束条件
（3）甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：
食物维生素 甲 乙 丙
维生素A（单位/千克） 600 700 400
维生素B（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
某食物营养研究所想用这三种食物各若干，配制成100千克的混合物，并使混合物至少含56000单位的维生素A和63000单位的维生素B，应当怎样取料才能使混合物的成本最低，最低是多少．
答 案
（1）（略）
（2）画出约束条件表示的平面区域（图略）即可行域．
作直线l：400＋7x＋5y＝0，并向右平移至点M，使在可行域上距离原点最小位置．
解方程组
得M（50，20）
所以，当x＝50，y＝20时Zmin＝850．
（3）设取甲种食物x千克，乙种食物y千克，则取丙种食物100－（x＋y）千克．
依题意列目标函数，整理，得Z＝400＋7x＋5y．
依题意列约束条件，整理，得
解这个线性规划，得x＝50，y＝20时，Zmin＝850．
答：甲、乙、丙种食物分别取50千克、20千克和30千克配制，能使混合物的成本最低为850元．教学素材/简单的线性规划
教学素材/简单的线性规划
简单的线性规划例题讲解
例1．某工厂的一个车间生产某种产品，其中成本为每公斤27元，售价为每公斤50元．在生产产品的同时，每公斤产品产生出0.3立方米的污水．污水有两种排放方式：其一是输送到污水处理厂，经处理（假设污水处理率为85%）后排入河流；其二是直接排入河流．若污水处理厂每小时最大处理能力是0.9立方米污水，处理成本是每立方米污水5元；环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方米污水17.6元．根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流中的污水是0.225立方米．试问：该车间应选择怎样的生产与排污方案，使其净收益最大．通过例题的解答学会分析线性规划的实际问题，列出相应的约束条件和目标函数，并画出二元一次不等式表示的平面区域，数形结合，在可行域内找到问题的解答．从而掌握解决线性规问题的方法和步骤．
思路与解：设出所需要的变量，由整体到部分分析与由部分到整体综合相结合，列出用变量表示的约束的量及其用不等式表示的约束条件；列出用变量表示的目标函数解析式．这是解决线性规划问题关键，是教学的重点．分析与解决问题的方法和步骤是：
（1）设出所需的变量．
设该车间生产的产品为每小时x公斤，直接排入河流的污水量为每小时y立方米，净收入为每小时Z元．
（2）分别列出受约束的量，用变量表示，并综合为约束条件．
①污水处理厂处理污水量：（0.3x－y）m3/小时；
②排入河流水量＝处理厂剩余污水量度＋直接排入的污水量
＝[（0.3x－y）×（1－85%）＋y] m3/小时．
约束条件化简为
（3）列出构成目标函数的各量并得到目标函数．
净收收入Z＝销售收入—生产成本—污水处理成本—污水排放费用
＝50x－27x－5(0.3x－y)－17.6[0.15(0.3x－y)＋y]
＝20.708x－9.96y．
(4)作出约束条件表示的平角区域（如图7－4中四边形OABC）．即可行域．
（5）作出Z＝0时的直线l：20.708x－9.96y＝0，
并向右平秽至过可行域上的点B，且与原点距离最大，Z＝20.708x－9.96y取最大值．
（6）解以B为交点的两条直线的方程组：
得交点坐标B（3.3，0.09）
（7）回答问题的解．
当该车间每小时生产3.3公斤产品，直接排入河流的污水为0.09m3时，净收入最大为：
Zmax＝20.708×3.3－9.96×0.09＝67.44（元）．
说明：也可以先列目标函数再列约束条件．测试题1
一、选择题：（每小题6分，共30分）有且只有一个选项符合题目要求．
(1) 直线的倾斜角和所经过的定点分别是 ( )
A． B．
C． D．
(2) △ABC的三个顶点为A (2，8)，B (－4，0)，C (6，0)，则AB边上中线所在直线的方程是 ( )
A． B．
C． D．
(3) 直线（t为参数，n≠0）与两坐标轴围成的面积是 ( )
A． B．
C． D．
(4) 过点P ( 6，m )和点Q (m，3)的直线与直线x－2y+ 5 = 0平行，则m的值是 ( )
A．9 B．5 C．4 D．0
(5) 过两直线和y = 3x的交点，并与原点相距为1的直线有 ( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
二、填空题：（每小题6分，共18分）．
(6) 已知点A（3，－5），B（－1，3），则线段AB的垂直平分线方程是________．
(7) 过点（0，3）与直线2x + y－7 = 0的夹角为的直线方程是______________．
(8) △ABC的面积等于3，且A（1，1），B（3，5），则点C所在直线方程为_____
___________．
三、解答题：（每小题13分，共52分）．
(9) 一条直线过点（0，－2），倾斜角的正弦是方程6x2 + x+2 = 0的根，求这条直线的方程．
(10) 直线l过点P（－4，3），与x轴、y轴分别交于A、B，当直线的倾斜角为锐角时，求△ABO（O为原点）的面积的最小值和此时的直线l的方程．
(11) 在直角坐标系中，A（0，8），B（0，4），在第一象限的角平分线上是否存在一点C，使∠ACB最大，若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．
(12) 某厂使用两种零件A、B装配两种产品x、y，该厂的生产能力是月产x最多2500件，月产y最多1200件，而组装一件x需4个A，2个B；组装2件y需6个A，8个B．某个月，该厂能用的A最多有14000个，B最多有12000个，已知产品x每件利润1000元，y每件利润2000元，欲使该月利润最高，需组装x、y产品各多少件？最高利润多少万元？
答 案
一、选择题
(1) B (2) A (3) D (4) C (5) C
提示：
(1) 由tanα =－，．选B．
(2) 线段AB的中点为M（－1，4），直线CM的方程选A．
(3) 直线化为普通方程mx + ny = 1，在x轴、y轴上交点为 ，三角形面积为：．选D．
(4) 由，得m = 4．选C．
(5) 两条直线的交点为（1，3），若斜率不存在，则直线为x = 1，若斜率存在，设方程为y－3 = k (x－1)．由 ，得，有2条．选C．
二、填空题
(6) 线段AB的中点为（1，－1），kAB =－2，则，由点斜式求得方程为
x－2y－3 = 0．
(7) 斜率存在，设为k，由，得 ，k = 3，直线的方程依次为：x + 3y－9 = 0，或 3x－y+3 = 0．
(8) △ABC中BC边上的高为 ．kAB =2，设C所在直线l的方程为 y = 2x + b，由点A（1，1）．到l的距离，解之，得b = 2，或b =－4，方程为2x－y+2 = 0 或 2x－y－4 = 0 ．
三、解答题
(9)
方程6x2+x－2 = 0的根为或，由0≤α<180 ，
∴
∴ α = 90 或150 ，则 ，或，
方程为 ，或 ．
即 或
(10)
设 l：y－3 = k (x + 4 )（k > 0），则 ，B（0，3+4k）．
．
当且仅当 ，即（k > 0）时取等号
所以最小值为24，此时方程为3x－4y +24 = 0．
(11)
假设存在点C（x，x）（x > 0），使∠ACB最大（0<∠ACB < 90 ）．
∵
由 =16，当且仅当 ，x = 4时取等号，
则的最小值为16－12 = 4>0
∴ tan∠ACB，即∠ACB有最大值，点C坐标为（4，4）．
(12)
设需组装x、y产品分别为x件、y件，依题意得：
且 Z = 1000x + 2000y ．
画出相应的平面区域和直线l：
1000x + 2000y = 0，将直线l向右上方平移，当l在M位置时，原点到直线比的距离最大．（如图7-1-3）．解方程组：
得
即组装x产品2000件、y产品1000件时，该月利润最高，为1000×2000+2000×1000 = 4000000元，即400万元．解答题
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？
解：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨，则约束条件为：
线性目标函数为z=7x+12y.
可行域如图所示：
由图可知当过点（）时，z最大.
zmax=780（万元）
答：最大产值为780万元.简单的线性规划教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.线性规划问题，线性规划的意义.
2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
3.线性规划问题的图解方法.
（二）能力训练要求
1.了解简单的线性规划问题.
2.了解线性规划的意义.
3.会用图解法解决简单的线性规划问题.
（三）德育渗透目标
让学生树立数形结合思想.
●教学重点
用图解法解决简单的线性规划问题.
●教学难点
准确求得线性规划问题的最优解.
●教学方法
讲练结合法
教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性规划问题.
●教具准备
多媒体课件（或幻灯片）
内容：课本P60图7—23
记作§7.4.2 A
过程：先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线l0:2x+y=0.
然后，作一组与直线的平行的直线：
l:2x+y=t,t∈R
（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.
Ⅱ.讲授新课
首先，请同学们来看这样一个问题.
设z=2x+y，式中变量x、y满足下列条件
求z的最大值和最小值.
分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.
(打出投影片§7.4.2 A)
［师］（结合投影片或借助多媒体课件）
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，z=2x+y=0.
点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.
作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.
可知，当t在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,
即t＞0.
而且，直线l往右平移时，t随之增大.
（引导学生一起观察此规律）
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点B（1，1）的直线l1所对应的t最小.
所以：zmax=2×5+2=12,
zmin=2×1+3=3.
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
Ⅲ.课堂练习
［师］请同学们结合课本P64练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.
作一组与直线l0平行的直线
l:2x+y=t,t∈R.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.
所以zmax=2×2-1=3.
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4
（二）1.预习内容：课本P61～64.
2.预习提纲：
怎样用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
●板书设计
课 题有关概念 复习回顾约束条件 二元一次不等式表示平面区域线性约束条件目标函数线性目标函数 例题讲解 课时小结线性规划问题 图解法解决线性规划问题的基本步骤可行域最优解填空题3
1.点P（3，5）与直线3x－y + 5 = 0的位置关系是____________________．
2.点P（1，－7）与直线3x + y + 1 = 0的位置关系是_______________．
答案：
1.点P（3，5）在直线3x－y + 5 = 0的下方．
2.点P（1，－7）在直线3x + y + 1 = 0的上方．教学素材/简单的线性规划
教学素材/简单的线性规划
简单的线性规划小结或总结
学完这节课，主要弄清三个问题：
1．什么是线性规划问题，其中的约束条件、目标函数指什么，什么叫可行解、可行域和最优解；
2．解线性规划问题的方法和步骤是什么？（（1）画出可行域；（2）作出目标函数Z＝0的直线并平移至可行域上找最优解的点；（3）解方程组，求最优解点的坐标得到最优解）．
3．列线性规划解应用题的方法和步骤是什么？（（1）分析题意，设出变量x、y；（2）列出目标函数，（3）列出约束条件，并得线性规划问题；（4）解这个线性规划问题）．简单的线性规划教案
●教学目标
（一）教学知识点
1.线性规划问题，线性规划的意义.
2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
3.线性规划问题的图解方法.
（二）能力训练要求
1.了解简单的线性规划问题.
2.了解线性规划的意义.
3.会用图解法解决简单的线性规划问题.
（三）德育渗透目标
让学生树立数形结合思想.
●教学重点
用图解法解决简单的线性规划问题.
●教学难点
准确求得线性规划问题的最优解.
●教学方法
讲练结合法
教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性规划问题.
●教具准备
多媒体课件（或幻灯片）
内容：课本P60图7—23
记作§7.4.2 A
过程：先分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）.再作直线l0:2x+y=0.
然后，作一组与直线的平行的直线：
l:2x+y=t,t∈R
（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.
Ⅱ.讲授新课
首先，请同学们来看这样一个问题.
设z=2x+y，式中变量x、y满足下列条件
求z的最大值和最小值.
分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.
(打出投影片§7.4.2 A)
［师］（结合投影片或借助多媒体课件）
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，z=2x+y=0.
点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.
作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.
可知，当t在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,
即t＞0.
而且，直线l往右平移时，t随之增大.
（引导学生一起观察此规律）
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点B（1，1）的直线l1所对应的t最小.
所以：zmax=2×5+2=12,
zmin=2×1+3=3.
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
Ⅲ.课堂练习
［师］请同学们结合课本P64练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.
作一组与直线l0平行的直线
l:2x+y=t,t∈R.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.
所以zmax=2×2-1=3.
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4
（二）1.预习内容：课本P61～64.
2.预习提纲：
怎样用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
●板书设计
课 题有关概念 复习回顾约束条件 二元一次不等式表示平面区域线性约束条件目标函数线性目标函数 例题讲解 课时小结线性规划问题 图解法解决线性规划问题的基本步骤可行域最优解区域和不等式
我们知道，一般来说，一个二元(一次或二次)方程F(x，y)=0在坐标平面上表示一条曲线．该曲线把平面分割为两个部分．这两个部分我们就称为曲线分割平面所得的两个区域．
我们又知道，一个点P(x0，y0)若不在曲线上，那么这个点的坐标一定不满足方程F(x，y)=0，即F(x0，y0)＞0或F(x0，y0)＜0．有趣的是曲线分割平面所得的两个区域中，每一个区域内所有的点的坐标同时满足一个特定的不等式(例如F(x，y)＞0)，而另一个区域内所有的点的坐标同时满足另一个不等式(例如F(x，y)＜0)．比如直线x＋y－1=0上方的所有点的坐标都满足x＋y－1＞0，而下方所有点的坐标都满足x＋y－1＜0；抛物线y=x2的内部(包含焦点的区域)的所有点的坐标都满足y＞x2，而外部的所有点的坐标都满足y＜x2．这样，同一区域内的诸点之间的共性，就通过同一个二元不等式表示出来了．这个事实，一方面反映了“数”与“形”之间的和谐统一；另一方面，也为试验法确定二元不等式所表示的平面区域提供了理论依据．当然这个事实是需要证明的，有兴趣的读者可以参阅专门论述这个问题的文章或书刊．
确定二元不等式所表示的区域，可按以下两个步骤进行，第一：由等式定曲线，第二：通过试验确定区域．
[例1] 已知点集D={(x，y)｜0＜x2－y2＜1}．试画出点集D所表示的平面区域．
解 由x2－y2=1知，方程表示焦点在x轴上的等轴双曲线．
由于原点坐标(0，0)适合不等式x2－y2＜1，故不等式x2－y2＜1表出双曲线x2－y2=1的外部(不含焦点的区域)．
故点集D所表示的平面区域是双曲线x2－y2=1和它的渐近线x2－y2=0所夹的部分，即图1中画有斜线的部分．
[例2] 已知点集D={(x，y)｜x＋2y－1≥0，y≤x＋2，2x＋y－5≤0}．当(x，y)∈D时，求x－y的最大和最小值．
分析 点集D是由三条直线围定的平面区域．(x，y)∈D说明点P(x，y)在该区域上变动，那么问题的关键就是要揭示量x－y的几何意义，这样整个问题才能从几何的角度去考虑解答的方法．为此，设x－y=b．
于是y=x－b，这说明量b是直线的纵截距的相反数．该直线的斜率为1，且和区域D有公共点．这样我们画出区域D，画出k=1的动直线，通过观察和分析可能会得到解答．
解 首先按方程l1：x＋2y－1=0，l2：y=x＋2，l3：2x＋y－5=0画出三条直线．
通过试验知，区域D就是△ABC的内部及其边界(图2)．设x－y=b．
由于动直线y=x－b平行于AB，于是当y=x－b与AB重合时，纵截距(－b)最大，此时b最小，即(x－y)最小=－2．
当动直线y=x－b过C点时，纵截距(－b)最小，此时b最大．
分析 x2＋y2≤1表示单位圆的内部及其边界．｜x｜＋2｜y｜≤a表示什么区域？为此，须去掉绝对值，并把a暂看成已知数．
上面四个式子等号成立时，分别表示四条线段，这四条线段围成一个菱形ABCD(图3)．通过试验可知，｜x｜＋2｜y｜≤a表示菱形的内部及其边界，于是
[例4] 已知三个集合
A=｛(x，y)｜x=n，y=n·0＋b，n∈Z｝，
B=｛(x，y)｜x=m，y=3 m2＋15，m∈Z｝，
C=｛(x，y)x2＋y2≤144｝
是否存在实数a、b使以下两个条件同时成立？①A∩B；②(a，b)∈C．
分析 (a，b)∈Ca2＋b2≤144．A∩B就是直线y=ax＋b和抛物线y=3x2＋15有公共点且公共点的横坐标是整数．就是：
(1)如果把a、b看成主变元，那么(1)、(3)两式就可以协调起来了．在aob坐标平面上，(1)式表示一条直线，(3)式表示以原点为中心，12为半径的圆周及其内部．(1)、(3)是否相容，就看直线与这个平面区域有无公共点，若没有公共点，则a、b不存在，若有公共点还须检查x是否为整数．
解法1
如图4，(3)表示圆a2＋b2=122的内部及其边界，(1)表示直线l．由于圆心O到l的距离
解法2
物线与圆有无公共点去判断．
通常大家习惯于把等式ax＋b=3x2＋15看成关于x的一元二次方程，而且一见a,b总是习惯地认为它们是常数(本题在这个认识下也有相应的解法).上述解法1的前提就是
和认识不是无源之水无本之木．本题的逻辑结构要求我们去考查一个系统中的诸关系之间是相容的，还是矛盾的(例如(1)、(2)、(3)三个关系构成的系统)．这样我们就应该在诸关系之
[例5] 求曲线系4x2＋5y2－8mx－20my＋24m2－20=0所覆盖的平面区域．
分析 我们在本讲第二个问题的例2中见过这个方程，知道它表示中心在直线y=2x上，对称轴平行于坐标轴的椭圆系．由于这些椭圆的大小不变，所以猜想，它们覆盖的平面区域是否两条平行切线间的区域？(如图6 由于两切线外没有椭圆上的点，故剩下的问题只是检查椭圆是否盖满了这个区域？会不会有漏洞出现？
为此，我们可在该区域内任取一点P(x0，y0)，检查有没有椭圆通过这个点？这个问题取决于是否有实数m存在？
消去m得l：y=2x，这就是椭圆系中心的轨迹．平行于l的切线方程设为y=2x＋b．
24x2＋(20b－48m)x＋5b2－20mb＋24m2－20=0
设P(x0，y0)是l1、l2之间的平面区域(包括边界)内的任一点．
把(x0，y0)代入曲线系方程，并以m为主元整理得：
∴ Δ≥0，方程对m而言有实数解．
故有椭圆过P(x0，y0)点．这样椭圆系完全盖满了l1、l2之间的平面区域，这个区域可表示为：
线性规划的应用习题
1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：
问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？
2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：
每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12，15，17块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小．
3．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小．
4．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低．并求出最低运费．
5．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料．生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多．
线性规划的应用习题答案
1．设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，
目标函数z=200x＋240y，
线性约束条件：
作出可行域．
z最大=200×4＋240×8=2720
答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．
2．设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2．
目标函数z=x＋2y，
线性约束条件：
作出可行域．
作一组平行直线x＋2y=t．
的整点中，点(4，8)使z取得最小值．
答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．
3．设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x＋2y，
线性约束条件，
作出可行域．
作一组平等直线3x＋2y=t．
A不是整点，A不是最优解．
在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．
z最小=3×1＋2×1=5，
答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．
4．设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．z=960x＋360y．
线性约束条件是：
作出可行域．
作直线960x＋360y=0．
即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．
z最小=960×10＋360×8=12480
答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．
5．设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．
作出可行域．
即M(350，100)．
当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到经过点M(350，100)时，z=6x＋10y最大．
答：圆桌和衣柜应分别生产350件、100件时，才能获得最大利润．
例题讲解
［例1］某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大
分析：将已知数据列成下表：
产品 甲种棉纱（1吨） 乙种棉纱（1吨） 资源限额（吨）
一级子棉（吨） 2 1 300
二级子棉（吨） 1 2 250
利 润（元） 600 900
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么
z=600x+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域.
作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值.解方程组
,得M的坐标为x=≈117，y=≈67.
答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大.
［例2］要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
规格类型 A规格 B规格 C规格
甲种钢管 2 1 4
乙种钢管 2 3 1
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少.
解：设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则
作出可行域(如图)：
目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A()，直线方程为x+y=.由于和都不是整数，所以可行域内的点()不是最优解.
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4，4)，它是最优解.
答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根.
资源
消耗量
钢管类型二元一次不等式表示的区域
前面，我们研究了二元一次方程和直线的关系，用同样的方法，也可以研究二元一次不等式和以它的解为坐标的点的集合(图形)的关系．
含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式．使不等式成立的未知数的值叫做它的解．
我们研究不等式
y＞2x＋1 (1)
的解，并把它在坐标平面上表示出来．
为了求(1)式的任何一个实数解，可任意选取x的一个实数值，例如x=1，把它看作一次方程，这个方程的图形是平行于y轴的直线，它与直线l：y=2x＋1相交于点A(1，3)(图1)．
在直线x=1上，点A上方的所有点，如B(1，4)、C(1，5)、…的坐标都满足不等式(1)，它们都是(1)式的解．
足不等式(1)，它们都不是(1)的解．
可见，以不等式(1)的解为坐标的所有点的集合
P=｛M｜y＞2x＋1｝
是直线l上方的半平面所有的点，也就是图1－24中阴影所表示的平面部分，但不包括边界直线．这种情况，直线l在图中一般画成虚线．
以二元一次不等式的解为坐标的所有点的集合表示一个平面图形，我们把这个图形叫做不等式表示的区域．
由上例知道，y＞2x＋1表示的区域是直线l上方的半平面；同理，容易求得y＜2x＋1表示的区域是直线l下方的半平面；而y=2x＋1就是边界直线l．
一般地，y=kx＋b的直线把平面分成两个半平面，y＞kx＋b表示的区域是直线上方的半平面；y＜kx＋b表示的区域是直线下方的半平面；直线y=kx＋b是两个半平面的边界线．
例1 画出不等式y≤－2x＋3表示的区域．
解 不等式y≤2x＋3的解集是
y=－2x＋3， (1)
y＜－2x＋3 (2)
的解集的并集，所以它们表示的区域是由(1)、(2)的图形合成的．
因为(1)式的图形是直线l；(2)式的图形是直线l下方的半平面．所以已知不等式表示的区域是直线l和它下方的半平面，也就是图2阴影部分并且包括直线．这种情况，直线l在图中一般画成实线．
由上面的讨论容易想到，一般二元一次不等式
Ax＋By＋C＞0
表示的区域，一定是在直线Ax＋By＋C=0的某一侧．但要断定究竟是在哪一侧，并不需要将不等式化为y的函数式，可以取直线Ax＋By＋C=0一侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是不等式表示的区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧是不等式表示的区域．
除选点代入不等式的方法外，也可以用y的系数判断不等式表示的区域．如果B＞0(或B＜0)，那么不等式Ax＋By＋C＞0所表示的区域是直线Ax＋By＋C=0的上(或下)方的半平面；如果不等式写成Ax＋By＋C＜0的形式时，它表示的区域是直线下(或上)方的半平面．想一想，如果B=0时，原不等式表示什么样的区域．
例2 求不等式
x＋2y－10＜0 (1)
表示的区域，并画出图形．
解 先画出直线l：x＋2y－10=0．
用选点代入不等式(1)的方法，例如将原点(0，0)的坐标代入(1)式，得－10＜0，(1)式成立．所以坐标原点所在的半平面是不等式(1)表示的区域，即直线l下方的半平面，如图3的阴影部分，但不包括直线l．
例2 也可以用如下解法：
解 用y的系数判断不等式(1)表示的区域．
∵ B=2＞0，
∴ x＋2y－10＜0表示的区域是直线x＋2y－10=0下方的半平面，但不包括直线．
例3 某工厂有一批长为2.5米的条形钢材，要截成60厘米和42厘米两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案并计算材料的利用率．
解 设每根钢材可截成60厘米长的毛坯x根和42厘米长的毛坯y根．按题意得不等式
0.6x＋0.42y≤2.5． (1)
在坐标纸上画出
0.6x＋0.42y=2.5 (2)的直线．如图4．
因为要截得的两种毛坯数的和必须是正整数，所以以(1)的解为坐标的点一定是第一象限内的网格的交点．
如果直线(2)上有网格的交点，那么按直线上网格交点的坐标(x，y)的值作为下料方案，这时材料全被利用，因此这个方案就是最佳方案．但从图4中可以看出，直线(2)不通过网格交点，在这种情况下，为了制订最佳下料方案，应该找靠近直线(2)的网格交点．
当然不能在直线(2)的上方半平面内找网格交点．因为B=0.42＞0，上方半平面内任何网格交点的坐标都使0.6x＋0.42y＞2.5，这时两种零件毛坯长度的和超过了原钢材长，这是不合理的．
这样，下料范围只能限制在0.6x＋0.42y＜2.5表示的区域内．这个区域是直线(2)下方的半平面．在直线(2)的下方半平面上找到最靠近直线的网格交点，得点M(2，3)．
x=2，y=3就是所求的解，按这样截取毛坯，材料尽管没有被完全利用，但废料最少．
答：把每根条钢截成2根60厘米长和3根42厘米长的零件毛坯是最佳的下料方案．材料利用率为98.4％．
例题讲解
1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？
分析：将已知数据列成下表
甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额
成本 1000 1500 6000
运费 500 400 2000
产品 90 100
解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则：
z=90x+100y
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：
由
令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（）时，直线90x+100y=t中的截距最大，由此得出t的值也最大，最大值zmax=90×=440.
答：工厂每月生产440千克产品.
2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张.
则
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域：
把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值.
解方程
得M的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.
评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.二元一次不等式表示平面区域教案1
教学目标 (1)帮助学生了解二元一次不等式Ax＋By＋C＞0，Ax＋By＋C＜0，表示直线Ax＋By＋C＝0，一侧所有点组成的平面区域．理解把原点坐标代入进行判断的道理．
(2)通过练习使学生能画出二元一次不等式组表示的平面区域，会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．
(3)进一步深化学生数形结合研究问题的意识和能力．
教学重点和难点
重点：二元一次不等式表示平面区域，二元一次不等式组表示平面区域．
难点：平面区域的判定和边界的处理．
教学过程设计
(一)学生阅读课文，思考问题．
(学生阅读课文P69—P71例1前)
阅读思考题：
(1)二元一次方程x＋y－1＝0与点集{(x，y)|x＋y－1＝0}有怎样的关系．
(2)二元一次不等式x＋y－1＞0与点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是怎样的关系，它们在坐标平面上表示什么？请你大胆猜想一下．
(二)教师总结讲评
二元一次方程x＋y－1＝0有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，这些点的集合组成点集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在坐标平面上表示一条直线．
以二元一次不等式x＋y－1＞0的解，为坐标的点，也拼成一个点集．如x＝3，y＝2时，x＋y－1＞0，点(3，2)的坐标满足不等式x＋y－1＞0．(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一个元素．我们把二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点拼成的点集记为{(x，y)|x＋y－1＞0}．
请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？
同学们猜得对：x＋y－1＞0表示直线l：x＋y－1＝0右上方的所有点拼成的平面区域．
事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0右下方的平面区域内．
如(2，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)点在直线x＋y－1＝0的右上方．
(－1，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)点在直线x＋y－1＝0上，(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＜0(－1，2)点在直线x＋y－1＝0的左下方．
因之，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)x＋y－1＞0，成立．
对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0，成立．
下面对这一猜想进行一下推证．
在直线l：x＋y－1＝0上任取一点P(x0，y0)，过点P作平行于x轴的直线y＝y0，这时这条平行线上在P点右侧的任意一点都有x＞x0，y＝y0二式相加．
x＋y＞x0＋y0 则x＋y－1＞x0＋y0－1P点在直线x＋y－1＝0上，x0＋y0－1＝0
∴x＋y－1＞0．
因为点P(x0，y0)是直线x＋y－1＝0上的任意一点，所以，对于直线x＋y－1＝0的右上方的任意点(x，y)
x＋y－1＞0都成立．
同理，对于直线x＋y－1＝0左下方的任意点(x，y)．
x＋y－1＜0都成立．
∴点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直线x＋y－1＝0右上方的平面区域．
点集{(x，y)|x＋y－1＜0}是直线x＋y－1＝0左下方的平面区域．
一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域．
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域．当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断．
如：把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0．
说明 x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域．就是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧．
如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断．
提醒同学们注意，不等式Ax＋By＋C≥0，所表示的区域，应当理解为{(x，y)|Ax＋By＋C＞0}U{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}．这个区域包括边界直线，应把边界直线画为实线．
另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼．
A为直线l右上方的平面区域．
B为直线l左下方的平面区域．
C为直线l左上方的平面区域．
D为直线l右下方的平面区域．
例1 画出不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域．
解 先画直线2x＋y－6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x＋y－6＝0－6＜0因．2x＋y－6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域与原点在直线2x＋y－6＝0的两侧，即直线2x＋y－6＝0的右上部分的平面区域．
学生课堂练习，课本练习题1．
(1)x－y＋1＜0．
(2)2x＋3y－6＞0．
(3)2x＋5y－10≥0．
(4)4x－3y≤12．
不等式组表示的平面区域．是各个不等式所表示的平面点集的交集．因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
解 x－y＋5≥0表示直线上及右下方的点的集合．
x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合．
x≤0表示直线x＝3上及左方的点的集合．不等式组表示的平面区域，是这三条直线围成的三角形的内部及各边上的点．
x＋3y＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合．
x－y＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合．
在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点．
下面三个图是从同学们练习本上移下来的，请同学们找出它的错误之处．
学生课堂练习，课本练习题2．
(三)小结
1．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示平面区域．
(1)先画出直线Ax＋By＋C＝0．
(2)若C≠0，把原点(0，0)代入不等式．
如满足不等式，则与原点同侧的区域为所求；
如不满足不等式，则与原点异侧的区域为所求．
若C＝0，直线过原点，可另选一易于计算的点代入进行判断．
(3)按判断画出区域，不等式不含等号，边界线为虚线，不等式含等号，边界线为实线．
2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．要特别注意边界实线与虚线的正确表达．
(四)作业，习题7.4 1．
[动画要求]
(1)先动态地出现直线(实线或虚线深绿色)，不要一下亮出一条直线；
(2)原点闪亮，把要求的平面区域用浅绿色表示出来；
注意边界上的空点，要用圆圈表示．
例题讲解
［例1］画出不等式－x+2y－4＜0表示的平面区域.
解：先画直线－x+2y－4=0(画成虚线)，取原点(0，0)，代入－x＋2y－4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－x+2y－4＜0表示的平面区域内，不等式－x＋2y－4＜0表示的区域如图所示.
［例2］画出不等式组表示的平面区域.
选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法.
解：不等式x+y－6≥0表示在直线x+y－6=0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y=0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y=3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x=5左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如7—8图所示.
说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实.
［例3］已知直线l的方程为Ax+By+C=0，M1（x1，y1）、M2(x2,y2)为直线l异侧的任意两点，M1、M3(x3,y3)为直线l同侧的任意两点，求证：
(1)Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号；
(2)Ax1+By1+C与Ax3+By3+C同号.
证明：(1)因M1、M2在l异侧，故l必交线段M1M2于点M0.
设M0分M1Ｍ2所成的比为λ，则分点M0的坐标为
x0＝，y0＝代入l的方程得
A()＋B（）＋C＝0，从而得Ax1＋By1＋C＋λ（Ax2＋By2＋C）＝0.
解出λ，得
λ=
∵M0为M1Ｍ2的内分点，故λ＞0.
∴Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号.
(2)∵M3、Ｍ1在l同侧，而M1、M2在l异侧，故M3、M2在l异侧，利用(1)得Ax3＋By3＋C与Ax2＋By2＋C异号，
又∵Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号，
∴Ax1＋By1＋C与Ax3＋By3＋C同号.填空题2
直角坐标平面上的点的坐标满足3x－5y<0的点在直线3x－5y = 0的______________．
答案：
与点P（1，0）异侧的点的坐标都满足3x－5y<0．运筹学的理论与实践
我们通过系统地考察一些线性规划问题来说明这些基本步骤．建立模型不仅是一门科学，更主要的是一种艺术．这种艺术只有通过实践才能掌握．
例1 多产品的生产组合问题
生产炊事用具需要两种资源——劳动力和原材料，某公司准备制订生产计划．公司考虑生产三种不同的产品，生产管理部门提供的数据如下：
每天供应原材料200磅，每天可供使用的劳动力为150小时．建立线性规划模型，为使总收益最大，求各种产品的日产量．
公式
第一步，确定决策变量．要求的未知变量是三个产品的日产量．用代数符号表示它们：
xA——产品A的日产量
xB——产品B的日产量
xC——产品C的日产量
第二步，确定约束条件．在这个问题中，约束条件是可用劳动力和原材料的限制．产品A每单位需要7小时的劳动，产量为xA．因此，仅产品A对劳动力的需求是7xA小时(设为线性关系)．类似地产品B和C分别需要劳动力3xB和6xC小时．总的劳动力需求为7xA＋3xB＋6xC，这不能超过150小时，于是劳动力的约束条件为：
7xA＋3xB＋6xC≤150
同理，产品A需要原材料4xA磅，产品B需要4xB磅，产品C需要5xC磅，于是原材料约束条件为：
4xA＋4xB＋5xC≤200
此外，我们还限制变量xA、xB、xC仅取非负值．这叫做非负约束条件，是变量必须满足的条件．实际上，大多数线性规划问题对决策变量都有非负限制．可是，一般形式的线性规划并不限于非负数值．后面，将讨论对没有符号限制的变量的处理方法．
第三步，确定目标函数．本问题的目标是使整个销售利润最大．假设存在可销售全部产品的理想市场，全部销售利润为：
Z=4xA＋2xB＋3xC
因此，这个生产组合问题的线性规划变成：
确定xA、xB、xC的值，使销售利润Z最大，
Z=4xA＋2xB＋3xC
满足约束条件
7xA＋3xB＋6xC≤150
4xA＋4xB＋5xC≤200
xA≥0，xB≥0，xC≥0
例2 (操作训练问题)
某机床公司为机械工人举办操作训练班，每十名受训者中有一名可作为训练班的教师．训练班为期一个月．从以往的经验得知，在每十名受训者中，仅有七人可成功地完成训练(不成功者便退学)．
生产上需要输送经过训练的机械工人．在今后三个月里，公司需要机械工人数是：
一月 100
二月 150
三月 200
公司四月份需要250名经过训练的机械工人，年初已有130名经过训练的机械工人可供使用．每月的工资费用为：
一个受训者 400美元
一个经过训练的机械工人 700美元
(机械加工或教学)
一个经过训练但空闲的机械工人 500美元
(工会合同禁止解雇经过训练的机械工人)
建立线性规划问题，使雇佣费用和训练费用最小，并满足公司的生产需要．
公式
一个经过训练的机械工人每月要做下列事情中的一件：(1)生产，(2)教学，(3)空闲．
由于从事生产的机械工人数量是固定的，所以决策变量(未知量)是每月从事教学的人数和空闲人数．要确定的变量是：
x1——一月份从事教学的机械工人
x2——一月份空闲的机械工人
x3——二月份从事教学的机械工人
x4——二月份空闲的机械工人
x5——三月份从事教学的机械工人
x6——三月份空闲的机械工人
约束条件是每月要有足够的已受过训练的机械工人从事生产．下面的方程可满足这点：
B
例如，一月份的约束条件变成
100＋x1＋x2=130
二月份已受训的工人总数就是一月份已受训工人数与那些刚完成训练的工人数目之和．一月份，这个训练班有10x1名学员，但其中仅有7x1名学员能完成学业，成为经过训练的机械工人．因此，二月份的约束条件变成：
150＋x3＋x4=130＋7x1
同理，三月份有：
200＋x5＋x6=130＋7x1＋7x3
由于公司四月份需要250名受训的机械工人，所以约束条件为：
130＋7x1＋7x3＋7x5=250
当然，所有变量都是非负的．
当从事生产的机械工人的费用为一常数时，就不必写在目标函数中了．有关的费用包括训练班费用(学员和教师的费用)和空闲机械工人的费用．因此，目标函数为：
MinZ=400(10x1＋10x3＋10x5)＋700(x1＋x3＋x5)＋500(x2＋x4＋x6)
于是这个线性规划问题变成：
例3 (广告宣传手段的选择)
一家广告公司想在电视、广播和杂志上做广告，其目的是尽可能多地招来顾客．下面是市场调查结果：
这家公司希望广告费用不超过800,000美元．还要求：(1)至少要有两百万妇女收看广告；(2)电视广告费用不超过500,000美元；(3)电视广告白天至少播出三次，最佳时间至少播出两次；(4)通过广播和杂志做的广告要重复5到10次．
令x1，x2，x3，x4分别表示白天电视，最佳时间电视、广播和杂志广告的次数．所得到的潜在顾客总数(千人)=400x1＋900x2＋500x3＋200x4．广告经费预算的约束条件为：
40,000x1＋75,000x2＋30,000x3＋15,000x4≤800,000
受广告影响的女顾客数的约束条件为：
300,000x1＋400,000x2＋200,000x3＋100,000x4≥2,000,000
电视广告的约束条件为：
由于广播和杂志广告的次数都在5到10之间，于是有下列约束：
5≤x3≤10
5≤x4≤10
经过化简，完整的线性规划问题如下：
注意：前三个约束条件已被化简，所有约束系数在数量级上差别不大，这可减少计算机求解时的舍入误差．
例4 (检验问题)
某公司质量检验部门有1级和2级检验员各若干名．每天8小时至少要检验1,800件产品．1级检验员每小时检验25件，准确率达98％，2级检验员每小时检验15件，准确率达95％．1级检验员的工资是每小时4美元，2级检验员每小时3美元．检验员出现一次检验差错，公司损失2美元．这个公司有8名1级检验员和10名2级检验员，公司要求确定检验员的最优分配，使检验总费用最小．
公式
令x1、x2表示检验部门中1级、2级检验员的人数．由于检验人员有限，有下列约束条件：
x1≤8(1级检验员)
x2≤10(2级检验员)
公司日检验量至少为1,800件．因此有：
8(25)x1＋8(15)x2≥1,800
或 200x1＋120x2≥1,800
为建立目标函数，还要考虑公司在产品检验中要承担的两笔费用，一是检验员的工资，二是因检验员工作差错需要负担的损失费用．每个1级检验员的小时费用为：
4＋2(25)(0.02)=5美元/小时
每个2级检验员的小时费用为：
3＋2(15)(0.05)=4.5美元/小时
目标函数是使日检验费用Z最小：
Z=8(5x1＋4.5x2)=40x1＋36x2
这个线性规划问题的完整公式是：
例5 (投资问题)
一个投资者星期一有100美元．他在一周的任何时候，都可作如下投资选择：第一天投资2个单位，第二天投资1个单位，第三天回收4个单位．投资者要确定最优投资策略，该策略使他到星期六能拥有最多的钱．
公式
由于不能确切知道每天何时进行各项投资和得到的收益，因此我们假设当天得到的收益可在同一天用于投资．
投资者每天有下列活动：
1．继续给昨天的投资增加50％．
2．开始当天新的投资．
3．为今后的投资贮存现金．
注意，如果要从前一天的投资中马上得到收益，对第1项活动无选择余地，但对进行第2、第3项有充分的灵活性．因此，我们每天需要考虑两个决策变量，一个表示当天发生的投资，另一个表示当天的存款数．
x1=星期一的新投资
S1=星期一的存款数
x2=星期二的新投资
S2=星期二的存款数
x3=星期三的新投资
S3=星期三的存款数
x4=星期四的新投资
S4=星期四的存款数
S5=星期五的存款数
星期五不做新投资，因为投资者不能在星期日之前得到星期五投资的收益．
约束条件保证了每一天都存在下列关系：
全部投资额(继续的或新投资的)＋存款额=全部可用现金．
到星期六，手头的全部现金等于S5＋2x4．因此目标函数为：
MaxZ=S5＋2x4
例6 生产A和B两种产品，每一种产品都需要进行两步化学反应．A产品第一步反应需用2小时，第二步反应需用3小时．B产品第一步反应需用3小时，第二步反应需用4小时．实际可用于第一步反应的时间16小时，用于第二步反应的时间为24小时．
在不增加费用的情况下，生产B产品的同时产生副产品C．虽然某些副产品C可出售获利，但剩余的副产品C必须销毁．
单位A产品卖4美元，单位B产品卖1美元．单位副产品C可卖3美元，但若卖不出去，销毁费用是2美元．预测表明，副产品C在5单位以上方可出售．这家公司生产单位B产品可得2单位副产品C．
现在要求A、B和C的产量，以获得最大利润．
公式
这个例题可以说明，如何用线性规划方法处理某些非线性的目标函数．由于产品C的单位利润不同，使得目标函数呈非线性，即目标函数取决于产品C是被出售还是被销毁．对于A产品和B产品，无论产量如何，单位利润总是分别为4美元和10美元，而单位产品C要么是获利3美元，要么是损失2美元．如果以获利总金额和产量为座标作图，就可清楚地看到目标函数呈非线性，图2.1和2.2分别表示A产品和副产品C的生产、销售情况．图2.2中的非线性函数为分段线性函数，它在区间(0，5)和(5，∞)上均是线性的．我们把副产品C的产量分为两部分，一部分被销售，一部分被销毁，这样就可把目标函数表示为线性函数了．这个问题的决策变量为：
x1——A产品的产量
x2——B产品的产量
x3——副产品C的销售量
x4——副产品C的销毁量
副产品C的产量=x3＋x4．由于每生产单位B产品就有两单位副产品C，故有
x3＋x4=2x2
对销售副产品C的约束条件为：
x3≤5
对反应1的可用时间约束条件为：
2x1＋3x2≤16
对反应2则为
3x1＋4x2≤24
目标函数是使总收益最大：
Z=4x1＋10x2＋3x3－2x4
因此，这个线性规划问题变为：
应当指出，只有当副产品C多于5单位时，方可销毁．换句话说，变量x3在没达到5单位时，变量x4不能为正．目标函数中x3的利润系数是＋3，而x4的是－2，从而自动地保证了这点．
例7 机械加工车间有一台钻床和五台磨床，生产由部件1和部件2组成的组合件．每台机床的生产能力如下页所示．为使所有机床的负荷平衡，要求每天各机床的运转时间差最多不超过30分钟(设五台磨床的加工任务相等)．
设每天工作8小时，如何分配每台机床的工作时间，使组合件产量最大．
公式
令 x1=部件1的日产量
x2=部件2的日产量
4x1＋3x2≤(8)(60)=480(分钟)
对钻床有：
3x1＋5x2≤480
机床生产任务的平衡约束条件为：
|(4x1＋3x2)－(3x1＋5x2)|≤30
或 |x1－2x2|≤30
这是非线性约束，可用下面两个线性约束代替：
x1－2x2≤30
－x1＋2x2≤30
组合件的生产量不能超过部件1和部件2产量中的最小值．因此，目标函数是MaxZ=Min(x1，x2)，这又是一个非线性函数．可用另一种方法将它表示为线性函数．令y=min(x1，x2)，y表示组合件的完成数．
这意味着：
x1≥y
x2≥y
目标是使Z=y达到最大值．完整的线性规划公式为：
二元一次不等式表示的平面区域习题2
1．已知原点O(0，0)，点A(－2，2π)和点B(3，－9)，则
[ ]
A．点B在直线OA的上方
B．点A、B在直线7x＋2y=0的同一侧
C．点A在直线OB的下方
D．点O在直线AB的上方
2．设a＞0，点集S的点(x，y)满足下列所有条件：
那么S的边界是一个有几条边的多边形
[ ]
A．4
B．5
C．6
D．7
3．画出(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．
4．已知点P(x1，y1)不在直线l：Ax＋By＋C=0(B≠0)上，证明：P在l上方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)＞0．
5．用二元一次不等式组表示由直线x＋y＋2=0，x＋2y＋1=0和2x＋y＋1=0围成的三角形内部的平面区域．
二元一次不等式表示的平面区域习题2答案
1．A
2．C
3．
4．(1)必要性：过P(x1，y1)作l：Ax＋By＋C=0的平行线l1：Ax＋By＋C1=0．
但Ax＋By＋C=0，Ax＋By=－C，
∴B[Ax1＋By1＋C]＞0，必要性得证．
(2)充分性：(1)中各步，步步可逆，逆推回去，充分性得证．
教学素材/直线和圆的方程
教学素材/直线和圆的方程
线性规划的概念
约束条件
设z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列条件 x－4y0 求z的最大值和最小值．
3x＋5y25
x1 ,
在上述问题中，不等式组是一组对变量x，y 约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又称为线性约束条件．,
目标函数
,设z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列条件 x－4y0 求z的最大值和最小值．
3x＋5y25
x1 ,
在上述问题中，z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫做目标函数．由于z＝2x＋y又是x，y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数．
可 行 解
满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解．
可 行 域
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
最 优 解
分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解都叫做这个问题的最优解．平面区域问题
1 平面区域的确定
1．1 不等式的区域
我们把满足不等式F(x，y)＞0的点(x，y)的集合称为不等式F(x，y)＞0的区域．对于不等式F(x，y)＞0，如果方程F(x，y)=0确定平面内一实曲线，则曲线把平面分成若干个区域G1，G2，…．
在每一个区域内任取一点，坐标满足F(x，y)＞0的区域的并集，即为原不等式的区域．
为方便起见，我们常选取一些简单的特殊点(如坐标原点等)来计算F(x，y)的值．
例如，求x2＞2y2＋1的区域．
先画出x2=2y2＋1的曲线(图1)，然后用原点(0，0)代入原不等式，不能成立，再取(2，0)代入原不等式，能成立．故x2＞2y2＋1所表示区域为双曲线“内部”(含焦点部分)．
1．2 不等式组的区域
我们把同时满足若干个不等式的点的集合叫做这些不等式构成的不等式组的区域．
不等式组的区域是不等式中每一个不等式区域的交集．为方便起见，我们也可以通过用特殊点法求出每一个小区域内有关式子的符号，来判断不等式组的区域．
例如，求不等式(y－x＋1)(2x－y－3)＞0所表示的区域．
首先作出两直线y－x＋1=0与2x－y－3＝0的图象(图2)，它们将平面分成四个部分．为确定(y－x＋1)(2x－y－3)＞0的区域，可以用两种方法．
不等式y－x＋1＞0可化为y＞x－1，表示直线y－x＋1=0的“上方”；同样，2x－y－3＞0表示直线2x－y－3=0的“下方”．所以不等式组(1)表示的区域为图2中的区域Ⅰ，不等式组(2)表示区域Ⅲ．故本题所表示的区域为将Ⅰ、Ⅲ两部分合并而成的区域．
方法2：分别在四个区域内选取特殊点，如区域Ⅰ内选点(4，4)，区域Ⅱ内选点(0，0)，区域Ⅲ内选点(0，－2)，区域Ⅳ内选点(2，0)，分别代入检验，以确定符合条件的区域范围．
对于含有复数的不等式组，可结合复数几何意义来确定平面区域．
集合A={z||z－1|≤1}表示以(1，0)为圆心，以1为半径的圆内区域(含圆)，B
图3中的阴影部分(含曲线和线段OA1，但不含线段OB)．
学生解题时，常将A∩B表示为第一象限内的弓形区域部分，而忽视了下半圆区域的存在．
2 平面区域问题例举
2．1 平面区域的单纯性题型
这类问题是只需根据题意作出所要求的平面区域范围，便可直接求解的单纯性问题．
例1 已知三个集合M，N，P，M＝{(x，y)| |x|＋|y|＜1}，N={(x，y)|
求集合M，N，P三者的关系．
解 如图4，集合M表示四边形ABCD内部，集合N表示椭圆内区域，集合
解 作直线l1∶3x－2y－2＝0，l2∶x＋4y＋4=0；l3∶2x＋y－6＝0(图5)．在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域(如图5中三角形内区域)．此三角形区域内的整数点为(2，1)，(1，0)，(2，0)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，即原不等式组的整数解．
2．2 含参变量的平面区域问题
对于这类问题，可首先设法消去已知曲线方程中的变量，得到仅含参变量的方程或不等式，再转化为2．1类问题求解．
b所满足的条件，并求出点(a，b)的存在范围．
解 方程(1)与(2)的曲线是直线和椭圆在xoy坐标系中第一象限的部分(图6)．
方程组有两相异解，即曲线(1)，(2)在第一象限有两个不同的交点．以y=1－x代入(2)中，得(a＋b)x2－2bx＋b－1=0．
Δ=4b2－4(a＋b)(b－1)＞0，即ab－a－b＜0．
a，b所满足的条件是ab－a－b＜0(a＞1，b＞1)．
不等式(a－1)(b－1)＜1(a＞1，b＞1)表示位于双曲线(a－1)(b－1)=1的“外部”且满足a＞1，b＞1的点所构成区域．图7中的阴影部分，就是点(a，b)的存在范围．
例4 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y=na＋b，n∈Z}，B={(x，y)|x＝m，y=3m2＋15，m∈Z}，C={(x，y)|x2＋y2≤144}是平面xoy内的点的集合，讨论是否存在a和b，使
(2)(a，b)∈C同时成立．(1985年高考试题)
解 A={(x，y)|x=n，y=na＋b，n∈Z}为直线y=ax＋b(其中a，b为参数)上横坐标取整数的点，B={(x，y)|x=m，y=3m2＋15，m∈Z}为抛物线y=3x2+15
Δ=a2＋12b－180≥0， (1)
为了进一步研究，可以在直角坐标系中画出不等式a2＋12b－180≥0的区域，再
例5 已知方程x2＋px＋q＝0有两实数根α和β，且α2＋β2＝1，求p和q的范围．
解 建立直角坐标系，适合p2－4q≥0的p，q的值是图9中阴影部分(含曲线)的点的坐标．因为α2＋β2=1，即(α＋β)2－2αβ=1．所以p2＝2q＋1．而适合等式p2=2q＋1的p和q的值为抛物线p2＝2q＋1上点的坐标，由图9可知，所求p和q的范围即为抛物线p2＝2q＋1上A，B两点间的一段弧上的点的坐标的集合．
解此类问题时，要注意隐含条件的挖掘(如本题中α，β是二次方程两个实根，即判别式“p2－4q≥0”)．忽视了此条件，可能会导致变量取值范围的扩大．
2．3 利用图形区域，求变量组合式的范围
对于这类问题，可首先求出满足题设条件的平面区域，然后就求其最大值的式子x＋2y构造几何意义，从几何角度上给出解答．
例7 在坐标平面内有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2－x这个不等式组确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1所确定，t的取值范围是0≤t≤1．设函数z＝13x＋6y，其中x，y满足(x，y)∈M∩N，求z的最大值．
解 首先作出区域M如图11(1)中的阴影部分(含边界)所示，区域N是坐标平面内带形区域(含边界)，如图11(2)中的阴影部分所示．
因为0≤t≤1，所以M∩N的区域不固定，但M∩N区域的全体即为区域
13·2＋6·0＝26．若根据题意构造出的平面区域是可变化的，则应就它的变动情况进行分类，然后才能如例7那样作出讨论．
例8 已知函数f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的范围．
建立直角坐标系(图12)，横坐标表示为a，纵坐标表示为c，则不等式组表示区域为平行四边形EFGH区域(图12中的阴影部分含边界)．现作直线系9a－c＝m，－m表示直线系在c轴上的截距，当直线系通过E(0，1)与G(3，7)时，m取得最小值与最大值，即－20≤m≤1．
∴－1≤9a－c≤20．
这是一道有一定难度的关于二元一次不等式组表示区域的最大(小)值题．学生解题错误较多，例如将双联不等式组当作方程解出a与c的取值范围(双联不等式)，然后求9a－c的范围，使求解区域扩大了，而若作出区域，直接在给定区域内讨论9a－c的范围，便可避免扩大范围的错误．
以上列举了平面区域问题的三种基本类型，中学数学中所见到的主要就是这些类型．其他有关平面区域问题，也大都可以转化为以上类型予以解决．所以理解并掌握这三种基本类型题的解题方法与解题规律，是解决平面区域问题的关键．
填空题1
直角坐标平面上的点的坐标满足2x－3y + 5 > 0的点在直线2x－3y + 5 = 0的__________．
答案：
与原点同侧的所有点的坐标都满足2x－3y + 5 > 0．线性规划应用问题教案1
教学目标 (1)帮助学生掌握用线性规划的方法解决一些简单的应用问题的基本思路和主要方法．在应用中培养学生的分析能力，判断能力，作图能力，计算能力．同时通过对线性规划方法的实际应用，进一步加深对线性规划有关知识的理解．
(2)通过把简单的实际问题转化为数学问题的实践，逐步培养学生用数学的意识和能力．
教学重点和难点
重点：用线性规划的方法解决一些简单的实际问题．解题的主要步骤和基本思路．
难点：把实际问题转化为数学问题．具体说如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数．如何根据实际问题的要求确定最优解．
教学过程设计
(一)教师提出问题，与学生边议边讲边示范．
线性规划这种数学方法在人们的生产、生活活动中有着重要的作用．下面我们通过两个简单的实际问题，来看一下，如何把实际问题转化为数学问题，然后用数学方法去解决实际问题．把实际问题转化为数学问题是对同学的数学能力的考验，有一定难度，大家在学习中要特别重视这种转化．
例1 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t，需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲、乙两种产品应各生产多少(精确到1t)，能使利润总额达到最大？
分析 首先必须反复认真看题，把问题中的条件，结论，已知量，要求量彻底搞清，这样才能顺利地把实际问题转化为数学问题．
这个问题的结论是：甲、乙两种产品各生产多少，利润总额最大．这里有三个未知量，我们用符号表示出来．
设甲种产品生产xt，乙种产品生产yt，总利润为z元．
则 z＝600x＋1000y
这个问题是求z的最大值，而又提出一堆限制条件，即约束条件．因条件比较多，容易混淆，我们把它们列为一张表，可以较明显地看清楚．
显然问题是在表中列出的限制条件下，求函数z＝600x＋1000y的最大值，是一个线性规划问题．
解 设甲种产品生产xt，乙种产品生产yt，利润总额为z元．
则 z＝600x＋1000y
这个函数中，对x、y是有限制的，其约束条件是：
作出可行域(如图)
作直线l0：600x＋1000y＝0 即l0：3x＋5y＝0
把直线l0向右上方平移至l1的位置，直线过M点与原点距离最大，z有最大值．
答：应生产甲种产品约12t，乙种产品约34t，能使利润总额达到最大．
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示．
今需要A、B、C三种规格的成品各15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
分析 首先认真分析问题中的条件，已知量，未知量和结论．
这个问题的结论是：两种钢板各用多少张，既达到问题的限制条件，且所用钢板的总数最少．这里有三个未知量，我们用符号表示出来．
设第一种钢板用x张，第二种钢板用y张，所用钢板总数为z，则z＝x＋y．
在截钢板时，提出一堆限制条件，即约束条件，已反映在给出的表中．我们可把它用不等式组表示出来．
显然问题是在表中所列的限制条件下，求z＝x＋y的最小值，是一个线性规划问题．
解 设需截第一种钢板x张，需截第二种钢板y张，约束条件为：
目标函数 z＝x＋y，
作直线l0：x＋y＝0，
优解．这时A点所在的直线为x＋y＝11．
找一条与x＋y＝11平行而且离原点最近的直线x＋y＝12，在这条直线上的整点有(0，12)，(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，(6，6)，(7，5)，(8，4)，(9，3)，
(10，2)，(11，1)，(12，0)等等．但在可行域内的整点只有B(3，9)和C(4，8)．
这样B(3，9)，C(4，8)是这个问题的最优解．
答：符合要求的截法有两种：
第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；
第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张．
(二)教师指导学生课堂练习
课本练习题2
解 设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，咖啡馆每天获利
z＝0.7x＋1.2y(元)
x，y满足约束条件
在平面直角坐标系内作出可行域，作直线l：0.7x＋1.2y＝0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，此时，
z＝0.7x＋1.2y 取最大值，
得点C的坐标为(200，240)，所以，每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，获利最大．
(三)小结
我们这里研究的简单的线性规划应用题属于两类：第一类：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大．第二类：给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小．
一般步骤是：
(1)仔细分析问题的条件和结论．确定变量和目标函数．
(2)把题中的限制条件，用不等式组表示为线性约束条件．
(3)在直角坐标平面上作出可行域．
(4)用线性规划的作图方法，找出最优解．
(5)看实际问题要求最优解为整点，而边界直线的交点不是整点，则还需再找平行于过原点的直线且距原点最远或最近的直线，在这条直线上找在可行域内的整点，把这些整点确定为最优解．
作业 习题7．4 3、4
线性规划习题
(1)指出三个可行解．
(2)画出可行域．
(3)函数z=3x＋2y能否同时有最大值和最小值．
(4)求最优解及z的最大最小值．
(5)若将约束条件中的“x≤3”改为“x≥3”，其它不改变，函数z=3x＋2y能否同时有最大值和最小值．
2．求z=x＋y的最小值，使式中的x，y满足约束条件：
3．求z=2x＋y的最大值和最小值，使式中的x，y满足约束条件：
4．已知x，y满足不等式组：
求f(x，y)=x－2y的最值．
5．变量x，y满足条件：
线性规划习题答案
1．(1)在直线x=3上找可行解得(3，1)、(3，2)、(3，6)．
(3)可行域为封闭区域，z能取得最大值和最小值．
(5)不能．因可行域不封闭．
3．最优解(1，1)和(4，8)
z最大=16，z最小=3．
5．作出可行域，如图
的斜率．
显然OA的斜率最大，OB的斜率最小，
附录：线性规划的思维方式，我们有时可以推广到非线性约束条件下去应用，把数量关系转化到图形上去思考解决，这是数形结合的又一体现．
例 已知a，b是正数，方程x2＋ax＋2b=0，x2＋bx＋a=0都有实根，求a＋b的最小值．
分析 由于所给方程均有实根，
这是关于a、b的约束条件，问题就是在这一约束条件下，求a＋b的最小值．我们用线性规划的思维方式去思考．
于是满足条件的点P(a，b)在平面区域G内．
设z=a＋b，则问题转化为，过区域G作直线a＋b=t，使直线有最小的纵截距．
从图形可以看出，当直线过点(4，2)时，纵截距最小，
∴a=4，b=2时，z最小=4＋2=6
a＋b的最小值为6．
简单的线性规划课题引入
依据教学内容特点，课题引入方式可以是：
1．提出实际问题，探索解决办法，引出本节课题．提出一个实际的简单的实际问题，运用学过的知识探索解决的办法，列出所需要的数学式，并提出相应的数学问题，指出这是线性规划问题，引出本课题．
2．复习旧知识，提出新问题，引出本课题．画出不等式组表示的平面区域，在此基础上提出求一个二元一次式，变量满足所列条件的最值，指出这是线性规划问题，引出本课题．简单的线性规划教案
●教学目标
（一）教学知识点
用图解法解决简单的线性规划问题.
（二）能力训练要求
能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
（三）德育渗透目标
1.增强学生的应用意识.
2.培养学生理论联系实际的观点.
●教学重点
线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.
●教学难点
根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.尤其是最优解是整数解.
●教学方法
讲练结合法
结合典型的实际问题讲解怎样用图解法解决线性规划的两类重要实际问题.
●教具准备
投影片三张（或多媒体课件）
第一张：记作§7.4.3 A
内容：课本P62图7—24.
第二张：记作§7.4.3 B
内容：课本P63图7—25.
第三张：记作§7.4.3 C
内容如下：
解：设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯.则，
作出可行域：
目标函数为：z=0.7x+1.2y
作直线l:0.7x+1.2y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，此时z=0.7x+1.2y取最大值.
解方程组
得点C的坐标为（200，240）.
所以，每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课，我们一起探讨了如何运用图解法解决简单的线性规划问题.
生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题，下面我们就结合这两类问题的典型例题来探讨一下如何解决线性规划的实际问题.
Ⅱ.讲授新课
第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大？
例如：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成下表：
产品消耗量资源 甲产品（1 t） 乙产品(1 t) 资源限额（t）
A种矿石（t） 10 4 300
B种矿石(t) 5 4 200
煤(t) 4 9 360
利润（元） 600 1000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，
那么
目标函数为：z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 A），即可行域.
作直线l:600x+1000y=0,
即直线l:3x+5y=0,
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y取最大值.
解方程组
得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.
答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.
第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.
例如：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，根据题意可得：
作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 B）,即可行域：
目标函数为z=x+y，
作出在一组平行直线x+y=t（t为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x+3y=37和直线2x+y=15的交点A（），直线方程为x+y=.
由于都不是整数，而最优解（x，y）中，x、y必须满足x，y∈Z，所以，可行域内点()不是最优解.
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.
［师］下面，请同学们结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法.
［生甲］先要画出可行域.
［生乙］先要找到目标函数.
［生丙］图解法.
［师］这些同学讲得都不错，但是都不尽完善.其实，解决实际问题的关键是数学建模，即根据题意首先将实际问题转化为数学问题.也就是同学们刚才所说的，先要找到约束条件和目标函数.然后用图解法求得数学模型的解.
最后，还需要将数学问题的解还原为实际问题的解.即根据实际情况找得最优解.如上述例2，需找得整点.才是最优解.
下面，请同学们打开课本P64.
Ⅲ.课堂练习
生（自练）练习2.
［师］提示学生将已知数据列为下表：
产品消耗量资源 甲产品（1 杯） 乙产品(1杯) 资源限额（g）
奶粉（g） 9 4 360
咖啡(g) 4 5 2000
糖(g) 3 10 3000
利润（元） 0.7 1.2
打出投影片§7.4.3 C
［师］结合学生所做进行讲评.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，需掌握线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4 3、4.
（二）1.预习内容：课本P66～67
2.预习提纲：
（1）如何将我们所学知识应用于实际生活？
（2）我们身边常会遇到哪些相关问题？
●板书设计
课 题第一种类型 第二种类型［例1］ ［例2］ 课时小结线性规划问题举例
作为上述线性规划问题的数学模型的应用，下面将对三个问题建立线性规划模型．这些问题以及其他线性规划问题的更详细的讨论，在本书的第三部分给出．
运输问题
一个制造厂希望把若干单位的产品从几个仓库发送到若干个零售点．每个零售点都需要一定数量的产品，而每个仓库也能供应一定数量的产品．这里作如下规定：
m=仓库的数目．
n=零售点的数目．
ai=第i个仓库能供应产品的总量．
bj=第j个零售点所需产品的总量．
xij=从仓库i运到零售点j的产品数量．
这里xij是待定的未知量．如作出表格(当m=2，n=3)
则可以看出从仓库1运出产品的总量能用线性方程表示为
x11＋x12＋x13=a1． (2．1)
对于仓库2有
x21＋x22＋x23=a2． (2．2)
也要考虑三个零售点所需产品的总量，用下列方程表示：
制造厂知道从仓库i运到零售点j一个单位产品的费用为cij．我们还假定费用关系是线性的，即运送xij单位的费用为cijxij．
制造厂希望确定，从每个仓库到每个零售点，要运送多少数量的产品，才能使全部运输费用为极小．使费用为极小的目标，可通过极小化线性费用函数
c11x11＋c12x12＋c13x13＋c13x13＋c21x21＋c22x22＋c23x23
(2．4)
来实现．因为一个非负的xij表示从仓库i到零售点j的运输量，所以我们要求全部变量xij≥0．
把等式(2．1)至(2．3)，目标函数(2．4)和变量非负的条件联合起来，则m=2，n=3的运输问题就可以表示成下列线性规划问题：
作为运输问题的一个数值例子，让我们考虑两个仓库三个零售点的问题，其中可
把这个问题写成线性规划问题如下：
我们注意上述方程可代表一组会计上的帐目，它们记录了仓库与零售点之间货物流通量．类似地，许多线性规划问题的方程只不过是会计步骤的数学表达．
下表给出一个平凡解
即x11=0，x12=5，x13=0，x21=8，x22=0，x28=2．相应的目标函数值是
2x12＋3x21＋x23=2·5＋3·8＋1·2=36．
第二组解(许多组解中的一组)是
其目标函数值为26．由第十章的方法可以证明，这个解是极小解．(对于此例，读者应能验证，任何其他解所得到的运输费用都大于26．)
活动性分析问题
某公司掌握了几种数量固定的资源(如原材料，劳动力和设备)，合起来能生产若干不同产品中的一种或这些产品的某种组合．已知公司每生产一个单位的j种产品所需要的i种资源的数量，同时也已知每生产一个单位的j种产品所能获得利润的数量．公司希望生产的产品组合能使其获得的总利润为最大．对此问题可以作如下定义：
m=资源的种类数．
n=产品的种类数．
aij=生产一个单位的j种产品所需i种资源的数量．
bi=i种资源的最大可用量．
cj=生产单位j种产品的利润数．
xj=j种产品的活动水平(或产量)．
有时称aij为投入－产出系数或技术系数．
使用i种资源的总量可表示为线性函数
ai1x1＋ai2x2＋…＋ainxn．
因为上述使用i种资源的总量必须小于或等于i种资源的最大可用量，所以对i种资源有下列线性不等式：
ai1x1＋ai2x2＋…＋ainxn≤bi．
由于负的xj没有实际意义，所以我们要求所有xj≥0．生产xj单位的j种产品所获得的利润为cjxj．上述极大化利润函数问题的数学表达如下：
如第二章将讨论的那样，一个不等式可等价于非负变量的一个等式，所以上述问题是一般线性规划问题的另一种提法．
为了说明上述模型，我们考虑在Gass[172]中所给出的例子．一个生产家具的公司计划生产两种产品——椅子和桌子，其可用资源包括400板英尺①的红木板和450个工时．已知生产每把椅子需用红木板5板英尺，10个工时，其利润为45美元，而生产每张桌子需用红木板20板英尺和15个工时，其利润为80美元．问题是要确定，在资源约束范围内，公司生产多少把椅子和多少张桌子，其总利润最大．生产一把椅子需消耗5板英尺的木板和10个工时，而生产一张桌子需消耗20板英尺木板和15个工时．令x1为椅子的生产量，x2为桌子的生产量．上述活动性分析问题，用线性规划的形式可写成下述极大化利润函数的问题：
当然，对于上述约束条件，具有很多组可能的解．例如，仅生产椅子的解为x1=45，x2=0，其利润为45×45=2025美元；仅生产桌子的解为x1=0，x2=20，其利润为80×20=1600美元．求出的最优解为：生产椅子x1=24，生产桌子x2=14，其利润为2200美元．
食物配料问题
这里给出若干不同食物的营养成分含量．例如，我们所考虑的不同食物中，已知每英两食物含有多少毫克的铁或磷，我们也已知每种营养成分的最低日需要量．因为每英两食物的费用是已知的，所以问题是，在满足营养成分的最低日需要量的条件下，确定费用最低的食物配方．定义
m=营养成分的种类数．
n=食物的种类数．
aij=在每一英两的第j种食物中含有第i种营养成分的毫克数．
bi=第i种营养成分最低日需要量的毫克数．
cj=每英两第j种食物的费用．
xj=购买第j种食物的英两数(xj≥0)．
购买的所有食物中含有第i种营养成分的总量可表示为
ai1x1＋ai22＋…＋ainxn．
因为这一总量必须大于或等于第i种营养成分的最低日需要量，这个线性规划问题可表示如下：
下面给出关于食物配料问题的一个简单数值例题．考虑两种食物x1和x2以及含有维生素B1、磷、铁三种营养成分的食物配料问题．每种食物中含有各种营养成分的数量(毫克/英两，简写为mg/oz)列于下表
对于这两种食物的饮食，至少要求获得维生素B11.00毫克，磷7.50毫克，铁10.00毫克．x1的费用为2美分/英两，x2的费用为5/3美分/英两．
根据前述一般食物配料问题的格式，本例相应的线性规划问题如下：
这个问题的最优解为x1=20/7英两，x2=40/7英两的混合饮食，其费用为0.152美元．把这一结果与单纯用食物x1或单纯用食物x2的解进行费用比较，读者将会受到启发．
对于上面的一些例子，以及所有归结为线性规划问题一般形式的问题，我们都假定某些基本的线性关系式成立．线性规划的比例性要求，可通过活动性分析和食物配料问题来说明，在这些问题中，我们假定活动(指产量或配料)水平的改变会引起所需资源或营养成分按比例地改变．当我们对全部生产所用的资源求和或对全部食物中的营养成分求和时，也用到了可加性的要求．虽然我们有权怀疑这些假定的普遍性，但它们的合理性或近似性已使它们在现实世界中得到大量重要的应用．
附注
最早的线性规划方法的应用，分为三种主要类型：军事应用——来源于空军SCOOP方案，各种经济间的Leontief投入－产出模型以及有关零和二人对策与线性规划之间关系的问题．这些应用领域已得到扩大和发展，但线性规划应用的重点已经转移到工业领域．此外，线性规划问题的应用已经发展到社会和城市的各种问题，例如教育、法律实施、卫生事业、环境保护等应用方面的书目包括在下述分类的文献目录中：农业、合同裁决、工业、经济分析、军事、人员分配、生产计划与存货控制、结构设计、交通研究、运输与网络理论、货郎担问题及其他应用．
有关补充的介绍性材料，读者可参考Dorfman[126]，Cooper and Charnes[71]，Henderson and Schlaifer[211]，“管理分析引导”[123]和Wagner[372]．在Riley and Gass[317]中给出了至1958年为止包括应用在内的一整套线性规划的文献目录．
二元一次不等式表示的平面区域习题1
1．不等式x＋2y－6＜0表示的平面区域在直线x＋2y－6=0的
[ ]
A．左下方
B．右上方
C．左上方
D．右下方
2．在下角坐标系内，满足不等式x2－y2≥0的点(x，y)的集合(用阴影表示)是
[ ]
3．用不等式组表示两条直线y=x和x＋y＋1=0上方的平面区域．
4．用不等式组表示由三条直线y=2，y=x，和y=－x所围成的三角形区域(包括边界)．
5．直线3x＋y－3=0上位于x轴下方的一点P到直线x－y－1=0
二元一次不等式表示的平面区域习题1答案
1．A
2．B
5．设点P为(x，3－3x)
简单的线性规划知识讲解
1．约束条件，线性约束条件；目标函数，线性目标函数．
约束条件，在这里是指限制变量取值范围的一组不等式组．变量取值不受任何限制，称为自由变量（元）；变量取值受到某种限制，称为约束变量（元），把其中的某种限制（条件），称为约束条件．约束条件都是关于变量x、y的一次不等式，又称为线性约束条件．
约束条件源于客观事物或现象之间的联系与制约，用数学形式表示，就是约束条件．
目标函数，这里是指欲达到最大值或最小值为目标的关于变量的解析式，若它又是关于变量x、y的一次解析式，又称为线性目标函数．事实上，为了解决某个问题而列出的关于变量的函数，都是目标函数．
约束条件与目标函数蕴涵了集合与对应的思想和依存关系观．蕴涵了方程与函数的思想方法．
教学时，应由特殊到一般，具体到抽象，对列举的不等式组和相应条件的函数式，归纳抽象出有关概念．使学生在特殊的、具体的约束条件和目标函数中了解这两个概念．
2．线性规划问题与最优解．
线性规划，是运筹学的一个分支．线性规划问题，是指研究线性目标函数在线性约束条件下的最大（小）值的问题．使目标函数取得最大或最小值的变量值，可以在满足约束条件的解中找到，称满足约束条件的解为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域．把其中使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做这个线性规划问题的最优解．
线性规划问题源于实际生活、生产问题中的优选问题，一类是消耗最小，另一类是收益最大，它们是整体最优指标问题的两个方面．其中蕴涵了优化思想和集合与对应的思想，蕴涵了依存关系观．求解过程蕴涵了数形结合、方程与函数的思想方法．
教学时，如同约束条件、目标函数教学，应通过特殊的、具体的实例，从中归纳、抽象上述概念．习题
1．求Z＝504－8x－4y的最小值，使式中的x、y满足约束条件
2．求Z＝15－0.3x－0.2y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（提示在直线.3x＋y＝90上找可行域）
3．某村共有20个劳动力，种50亩地．每亩地上分别可种瓜、果、菜三种作物．根据调查统计，每亩所需劳动力及预计产值如下表所求，试请你帮助安排一年的生产计划，要求：
作物 需要劳动力 年产值
瓜果菜 0.6万元0.5万元0.3万元
（1）每亩都种上作物；
（2）每个劳动力都有工作；
（3）年总产值最高．
（答案：20亩种瓜，30亩种果，不种菜）
