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11.2.2 三角形的外角
基础题
知识点1 认识外角
1.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
2.如图，以∠AOD为外角的三角形是△AOB和△COD.
知识点2 三角形外角的性质
3.(1)如图1，P是△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝120°；
(2)如图2，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝70°，∠ABC＝38°；
(3)如图3，∠3＝120°，则∠1－∠2＝60°.
4.如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝74°，则∠2的度数为(B)
A.37°
B.74°
C.84°
D.94°
5.(眉山中考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是(C)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
6.(营口中考)如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是(B)
A.64°
B.32°
C.30°
D.40°
7.(教材P17习题T8变式)如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.
(1)求∠B的度数；
(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数.
解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，
∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.
(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，
∴∠AFE＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.
易错点 对三角形外角相关性质理解不透彻
8.下列说法正确的是(C)
A.三角形的外角大于它的内角
B.三角形的一个外角等于它两个内角的和
C.三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D.三角形的外角和为180°
中档题
9.(郴州中考)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(B)
A.180°
B.210°
C.360°
D.270°
10.(聊城中考)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是(A)
A.γ＝2α＋β
B.γ＝α＋2β
C.γ＝α＋β
D.γ＝180°－α－β
11.(大庆中考)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.若∠A＝60°，则∠BEC是(B)
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
12.(教材P15例4变式)如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.若∠ACD＝125°，则∠BAE＋∠CBF＝235°.
13.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝72°，求∠DAC的度数.
解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∠3＝∠1＋∠2，
∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝2∠1.
在△ADC中，∠DAC＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠DAC＋4∠1＝180°.
∵∠BAC＝∠1＋∠DAC＝72°，
∴∠DAC＝36°.
综合题
14.如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC.
(1)图1中，作∠BAC的平分线AD，分别交CB，BE于D，F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；
(2)图2中，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，分别交CB，BE的延长线于D，F两点，试探究(1)中结论是否仍成立？为什么？
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠EFD＝∠DAC＋∠AEB，∠ADC＝∠ABC＋∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC.
(2)(1)中结论仍成立.
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD.
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD.
∵∠EFD＝∠AEB－∠FAE，∠ADC＝∠ABC－∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC.
微专题2 运用“飞镖型”“8字型”“A字型”求角度
【模型归纳】与角度计算有关的三个常见模型
飞镖型：∠D＝∠A＋∠B＋∠C
8字型：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
A字型及其变式：∠ADE＋∠AED＝∠ABC＋∠C
1.(赤峰中考)如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为(B)
A.65° B.70° C.75° D.85°
2.如图，∠B＝60°，∠C＝40°，∠ADC＝3∠A，则∠A的度数为50°.
3.如图是由平面上五个点A，B，C，D，E连接而成的，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为180°.,
4.如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A＝180°.
小专题(二) 探究与三角形角平分线有关的几个常见的结论
——教材P29复习题T11的变式与应用
类型 两内角平分线的夹角
教材母题：(教材P29复习题T11)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：
(1)∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)；
(2)∠BGC＝90°＋∠A.
证明：(1)∵BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠GBC＋∠GCB＝(∠ABC＋∠ACB).
∴∠BGC＝180°－(∠GBC＋∠GCB)
＝180°－(∠ABC＋∠ACB).
(2)由(1)知∠BGC＝180°－
(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
∴∠BGC＝180°－(180°－∠A)
＝90°＋∠A.
变式类型1 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
1.如图所示，点P是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点，试探究∠P与∠A之间的数量关系.
解：解法一：∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABC.
∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD＝∠ACD.
∵∠ACD＝∠ABC＋∠A，
∠PCD＝∠PBC＋∠P，
∴∠P＝∠PCD－∠PBC
＝(∠ACD－∠ABC)
＝∠A.
解法二：作∠ACB的平分线交BP于点E.
∵CE平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD.
∴∠PCE＝∠ACE＋∠ACP＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°.
由教材母题结论，得∠BEC＝90°＋∠A.
∴∠P＝90°＋∠A－90°＝∠A.
变式类型2 两个外角平分线的夹角
2.如图所示，点P是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A之间的数量关系.
解：∵∠EBC＝∠ACB＋∠A，
∠FCB＝∠ABC＋∠A，
∴∠EBC＋∠FCB＝∠ACB＋∠A＋∠ABC＋∠A＝180°＋∠A.
∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB.
∴∠PBC＋∠PCB＝(∠EBC＋∠FCB)＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A.
∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)
＝180°－(90°＋∠A)
＝90°－∠A.
拓展变式类型 “8字型”内角平分线的夹角
3.如图所示，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且相交于点P.试探究∠P与∠A，∠D之间的数量关系.
解：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABD，
∴∠DCP＝∠PCA，∠ABP＝∠PBD.
∵∠D＋∠DCP＝∠P＋∠DBP，
∠A＋∠ABP＝∠P＋∠PCA，
∴∠D＋∠A＝2∠P.
∴∠P＝(∠A＋∠D).
1.如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝80°.
2.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝65°.
3.如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝32°；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠An－1BC与∠An－1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的值最大为6.
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2020年秋人教版
八年级上册数学
同步课时训练
第十一章
三角形
第十一章 三角形
11．2 与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
数
学
01
基础题
∠ACD
△AOB和△COD
120°
38°
70°
60°
B
C
B
C
02
中档题
B
A
B
235°
03
综合题
B
50°
180°
180°
第十一章 三角形
小专题(二) 探究与三角形角平分线有关的几个常见的结论
——教材P29复习题T11的变式与应用
数
学
80°
65°
32°
6
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教育部审定
义务教育教科书
年级
上册
数学)
122三角形曲外角
142
72
2
B
C
P
E
B
图1
图2
图3
F
E
B
D
D
图2
微专题2
针对训练
P
B
D
心针对训练
B
D
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11.2.2 三角形的外角
基础题
知识点1 认识外角
1.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
2.如图，以∠AOD为外角的三角形是△AOB和△COD.
知识点2 三角形外角的性质
3.(1)如图1，P是△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝120°；
(2)如图2，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝70°，∠ABC＝38°；
(3)如图3，∠3＝120°，则∠1－∠2＝60°.
4.如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝74°，则∠2的度数为(B)
A.37°
B.74°
C.84°
D.94°
5.(眉山中考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是(C)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
6.(营口中考)如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是(B)
A.64°
B.32°
C.30°
D.40°
7.(教材P17习题T8变式)如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.
(1)求∠B的度数；
(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数.
解：(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，
∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.
(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，
∴∠AFE＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.
易错点 对三角形外角相关性质理解不透彻
8.下列说法正确的是(C)
A.三角形的外角大于它的内角
B.三角形的一个外角等于它两个内角的和
C.三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D.三角形的外角和为180°
中档题
9.(郴州中考)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(B)
A.180°
B.210°
C.360°
D.270°
10.(聊城中考)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是(A)
A.γ＝2α＋β
B.γ＝α＋2β
C.γ＝α＋β
D.γ＝180°－α－β
11.(大庆中考)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.若∠A＝60°，则∠BEC是(B)
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
12.(教材P15例4变式)如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.若∠ACD＝125°，则∠BAE＋∠CBF＝235°.
13.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝72°，求∠DAC的度数.
解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∠3＝∠1＋∠2，
∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝2∠1.
在△ADC中，∠DAC＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠DAC＋4∠1＝180°.
∵∠BAC＝∠1＋∠DAC＝72°，
∴∠DAC＝36°.
综合题
14.如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC.
(1)图1中，作∠BAC的平分线AD，分别交CB，BE于D，F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；
(2)图2中，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，分别交CB，BE的延长线于D，F两点，试探究(1)中结论是否仍成立？为什么？
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠EFD＝∠DAC＋∠AEB，∠ADC＝∠ABC＋∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC.
(2)(1)中结论仍成立.
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD.
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD.
∵∠EFD＝∠AEB－∠FAE，∠ADC＝∠ABC－∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC.
微专题2 运用“飞镖型”“8字型”“A字型”求角度
【模型归纳】与角度计算有关的三个常见模型
飞镖型：∠D＝∠A＋∠B＋∠C
8字型：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
A字型及其变式：∠ADE＋∠AED＝∠ABC＋∠C
1.(赤峰中考)如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为(B)
A.65° B.70° C.75° D.85°
2.如图，∠B＝60°，∠C＝40°，∠ADC＝3∠A，则∠A的度数为50°.
3.如图是由平面上五个点A，B，C，D，E连接而成的，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为180°.,
4.如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A＝180°.
小专题(二) 探究与三角形角平分线有关的几个常见的结论
——教材P29复习题T11的变式与应用
类型 两内角平分线的夹角
教材母题：(教材P29复习题T11)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：
(1)∠BGC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)；
(2)∠BGC＝90°＋∠A.
证明：(1)∵BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠GBC＋∠GCB＝(∠ABC＋∠ACB).
∴∠BGC＝180°－(∠GBC＋∠GCB)
＝180°－(∠ABC＋∠ACB).
(2)由(1)知∠BGC＝180°－
(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
∴∠BGC＝180°－(180°－∠A)
＝90°＋∠A.
变式类型1 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
1.如图所示，点P是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点，试探究∠P与∠A之间的数量关系.
解：解法一：∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABC.
∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD＝∠ACD.
∵∠ACD＝∠ABC＋∠A，
∠PCD＝∠PBC＋∠P，
∴∠P＝∠PCD－∠PBC
＝(∠ACD－∠ABC)
＝∠A.
解法二：作∠ACB的平分线交BP于点E.
∵CE平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD.
∴∠PCE＝∠ACE＋∠ACP＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°.
由教材母题结论，得∠BEC＝90°＋∠A.
∴∠P＝90°＋∠A－90°＝∠A.
变式类型2 两个外角平分线的夹角
2.如图所示，点P是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A之间的数量关系.
解：∵∠EBC＝∠ACB＋∠A，
∠FCB＝∠ABC＋∠A，
∴∠EBC＋∠FCB＝∠ACB＋∠A＋∠ABC＋∠A＝180°＋∠A.
∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB.
∴∠PBC＋∠PCB＝(∠EBC＋∠FCB)＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A.
∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)
＝180°－(90°＋∠A)
＝90°－∠A.
拓展变式类型 “8字型”内角平分线的夹角
3.如图所示，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且相交于点P.试探究∠P与∠A，∠D之间的数量关系.
解：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABD，
∴∠DCP＝∠PCA，∠ABP＝∠PBD.
∵∠D＋∠DCP＝∠P＋∠DBP，
∠A＋∠ABP＝∠P＋∠PCA，
∴∠D＋∠A＝2∠P.
∴∠P＝(∠A＋∠D).
1.如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝80°.
2.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝65°.
3.如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝32°；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠An－1BC与∠An－1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的值最大为6.
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