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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
基础题
知识点1 三角形的高
1.如图，AD是△ABC的边BC上的高，则AD与BC的位置关系是：AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABC＝BC·AD.
2.(教材P5练习T1变式)下列各图中，画出AC边上的高，正确的是(D)
3.锐角三角形的三条高都在三角形内部，钝角三角形有2条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的直角边.
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)指出图中BC，AC边上的高；
(2)画出AB边上的高CD；
(3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来；
(4)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB边上的高CD的长.
解：(1)BC边上的高是AC，AC边上的高是BC.
(2)如图所示.
(3)图中有3个直角三角形，分别是直角三角形ABC，直角三角形ACD，直角三角形BCD.
(4)∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝2.4.
知识点2 三角形的中线
5.如图，AD是△ABC的中线，则点D是线段BC的中点，BD＝CD＝BC，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
6.三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的重心.
7.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线.若DE＝3
cm，则EC＝9_cm.
8.如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是2.
知识点3 三角形的角平分线
9.如图，AD是△ABC的角平分线，则AD平分∠BAC，∠1＝∠2＝∠BAC，且点D在边BC上.
10.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(A)
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
11.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E.若∠EDA＝∠EAD，试说明：AD是△ABC的角平分线.
解：∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD.
∵∠EDA＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠EAD.
∴AD是△ABC的角平分线.
易错点 未进行分类讨论，出现漏解
12.在△ABC中，BC＝6，BC边上的高AD＝4，且BD＝2，则△ACD的面积为8或16.
中档题
13.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面说法正确的有(B)
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
14.如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE＝4
cm2，则S△ABC＝15cm2.
15.【注重创新】如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图.
甲 乙 丙
(1)甲折出的AD是BC边上的高；
(2)乙折出的AD是∠BAC的平分线；
(3)丙折出的AD是BC边上的中线.
综合题
16.【方程思想与分类讨论思想的综合运用】如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12
cm与15
cm两部分，求三角形各边长.
解：∵DB为△ABC的中线，∴AD＝CD.
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x＋2x＝12，解得x＝4，
BC＋x＝15，解得BC＝11，
此时△ABC的三边长为AB＝AC＝8，BC＝11，可构成三角形；
当x＋2x＝15，BC＋x＝12，解得x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为AB＝AC＝10，BC＝7，可构成三角形.
微专题1
等面积法及其应用
教材母题：(教材P9习题T8)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4.△ABC的高AD与CE的比是多少？,
解：∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，,∴4AD＝2CE.,∴AD∶CE＝2∶4＝1∶2.
归纳：在同一个三角形中，底边与底边上的高成反比，即AD·BC＝AB·CE.
1.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AD，BE分别是边BC，AC上的高，且AD＝6.5，则BE的长为
.
第1题图
第2题图
2.如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则S△ABD∶S△ACE的值为.
归纳：两个三角形同高或高相等时，面积之比等于底边之比.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.
证明：连接AD，,∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，,∴AC·BG＝AB·DE＋AC·DF.
又∵AB＝AC，∴DE＋DF＝BG.
归纳：遇到垂线时，先观察垂线是否在某个三角形中，若不在，需要连接辅助线，将垂线放到一个三角形中去，然
后利用三角形的面积进行换算.)
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精品试卷·第
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11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
基础题
知识点1 三角形的高
1.如图，AD是△ABC的边BC上的高，则AD与BC的位置关系是：AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABC＝BC·AD.
2.(教材P5练习T1变式)下列各图中，画出AC边上的高，正确的是(D)
3.锐角三角形的三条高都在三角形内部，钝角三角形有2条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的直角边.
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)指出图中BC，AC边上的高；
(2)画出AB边上的高CD；
(3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来；
(4)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB边上的高CD的长.
解：(1)BC边上的高是AC，AC边上的高是BC.
(2)如图所示.
(3)图中有3个直角三角形，分别是直角三角形ABC，直角三角形ACD，直角三角形BCD.
(4)∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝2.4.
知识点2 三角形的中线
5.如图，AD是△ABC的中线，则点D是线段BC的中点，BD＝CD＝BC，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
6.三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的重心.
7.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线.若DE＝3
cm，则EC＝9_cm.
8.如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是2.
知识点3 三角形的角平分线
9.如图，AD是△ABC的角平分线，则AD平分∠BAC，∠1＝∠2＝∠BAC，且点D在边BC上.
10.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(A)
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
11.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E.若∠EDA＝∠EAD，试说明：AD是△ABC的角平分线.
解：∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD.
∵∠EDA＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠EAD.
∴AD是△ABC的角平分线.
易错点 未进行分类讨论，出现漏解
12.在△ABC中，BC＝6，BC边上的高AD＝4，且BD＝2，则△ACD的面积为8或16.
中档题
13.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面说法正确的有(B)
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
14.如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE＝4
cm2，则S△ABC＝15cm2.
15.【注重创新】如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图.
甲 乙 丙
(1)甲折出的AD是BC边上的高；
(2)乙折出的AD是∠BAC的平分线；
(3)丙折出的AD是BC边上的中线.
综合题
16.【方程思想与分类讨论思想的综合运用】如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12
cm与15
cm两部分，求三角形各边长.
解：∵DB为△ABC的中线，∴AD＝CD.
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x＋2x＝12，解得x＝4，
BC＋x＝15，解得BC＝11，
此时△ABC的三边长为AB＝AC＝8，BC＝11，可构成三角形；
当x＋2x＝15，BC＋x＝12，解得x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为AB＝AC＝10，BC＝7，可构成三角形.
微专题1
等面积法及其应用
教材母题：(教材P9习题T8)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4.△ABC的高AD与CE的比是多少？,
解：∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，,∴4AD＝2CE.,∴AD∶CE＝2∶4＝1∶2.
归纳：在同一个三角形中，底边与底边上的高成反比，即AD·BC＝AB·CE.
1.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AD，BE分别是边BC，AC上的高，且AD＝6.5，则BE的长为
.
第1题图
第2题图
2.如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则S△ABD∶S△ACE的值为.
归纳：两个三角形同高或高相等时，面积之比等于底边之比.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.
证明：连接AD，,∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，,∴AC·BG＝AB·DE＋AC·DF.
又∵AB＝AC，∴DE＋DF＝BG.
归纳：遇到垂线时，先观察垂线是否在某个三角形中，若不在，需要连接辅助线，将垂线放到一个三角形中去，然
后利用三角形的面积进行换算.)
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2020年秋人教版
八年级上册数学
同步课时训练
第十一章
三角形
第十一章 三角形
11．1 与三角形有关的线段
11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
数
学
01
基础题
AD⊥BC
∠ADC
90°
D
三角形内部
2
直角边
解：(1)BC边上的高是AC，AC边上的高是BC.
(2)如图所示．
线段BC
BC
内部
重心
9cm
2
∠BAC
∠2
∠BAC
A
8或16
02
中档题
B
15
BC边上的高
∠BAC的平分线
BC边上的中线
03
综合题
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1.三角齣高、呻
与角平分级
B
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