苏教版高中数学必修一3.4.1函数与方程 同步练习（含答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
苏教版高中数学必修一3.4.1函数与方程
一、单选题
1.函数
的零点所在的区间是(????
)
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
2.函数
的零点所在区间为
（??
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
3.函数
的零点所在的区间是（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
4.函数
的零点所在的一个区间是（??
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
5.设a，b∈R
，
函数f（x）=
，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（
??）
A.?a＜-1，b＜0????????????????????B.?a＜-1，b>0????????????????????C.?
a＞-1，b＞0????????????????????D.?a>-1，b>0
6.若函数f（x）=alog2（|x|+4）+x2+a2﹣8有唯一的零点，则实数a的值是（??
）
A.?﹣4??????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????C.?±2??????????????????????????????????????D.?﹣4或2
7.已知函数
，若函数
有两个不同的零点，则
的取值范围（
??）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
8.已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（??
）
A.?（0，
）???????????????????????B.?（
，1）???????????????????????C.?（1，2）???????????????????????D.?（2，+∞）
9.用二分法找函数f（x）=2x+3x﹣7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（??
）
A.?（0，1）???????????????????????????B.?（0，2）???????????????????????????C.?（2，3）???????????????????????????D.?（2，4）
10.方程
?的解所在区间是（
?）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
11.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0
，
且x0＞0，则实数a的取值范围是（??
）
A.?（1，+∞）???????????????????B.?（2，+∞）???????????????????C.?（﹣∞，﹣1）???????????????????D.?（﹣∞，﹣2）
12.实数a，b定义运算“
”；
，设
，若函数
至少有两个零点，则k的取值范围是（??
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.函数
的零点个数是________；其所有零点之和为________．
14.函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
15.设
是定义在R上的两个周期函数，
的周期为4，
的周期为2，且
是奇函数.当
时，
，
，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程
有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.
16.已知函数
，若函数
有两不同的零点，则实数
的取值范围是________．
17.已知
，函数
若关于
的方程
恰有2个互异的实数解，则
的取值范围是________.
18.已知函数f（x）=kx，g（x）=
，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[
，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是________．
三、解答题
19.已知函数
的零点是
和
，求函数
的零点．
20.已知函数
有两个零点．
（1）若函数的两个零点是
和
，求
的值；
（2）若函数的两个零点是
和
，求
的取值范围．
21.已知函数
.
（1）证明
有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于
.
22.已知函数
．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）﹣2，求函数g（x）的零点．
23.已知二次函数
，在下列条件下，求实数
的取值范围．
（1）零点均大于
；
（2）一个零点大于
，一个零点小于
；
（3）一个零点在
内，另一个零点在
内．
24.己知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】
，
，
，
，
因为f（1）f（2）<0，
根据零点的存在性定理f（x）的零点所在区间是（1,2）.
故选C.
【分析】根据零点的存在性定理，区间端点函数值异号即可.
2.【答案】
C
【解析】令
0，
可得
，
再令g（x）＝2x
，
，
在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，
可知g（x）与h（x）的交点在（
，1），
从而函数f（x）的零点在（
，1），
故答案为：C．
【分析】画出函数图象，数形结合，找到函数图象交点的横坐标，即可确定零点所在区间.
3.【答案】
B
【解析】∵连续函数
在（0，+∞）上单调递增，
∵f（
）
0，f（
）
0，
∴函数
的零点所在的区间为（
，
），
故答案为：B．
【分析】根据函数的单调性，结合零点的判定定理，即可确定零点所在区间.
4.【答案】
C
【解析】
为增函数，
.
所以函数
的零点所在的一个区间是
.
故答案为：C.
【分析】由已知利用函数零点判定定理，得到
，
即可判断零点所在的区间.
5.【答案】
C
【解析】原题可转化为
与
，有三个交点.
当
时，
，且
，则
⑴当
时，如图
与
不可能有三个交点（实际上有一个），
排除A，B
⑵当
时，分三种情况，如图
与
若有三个交点，则
，答案选D
下面证明：
时，
时
，
，则
，才能保证至少有两个零点，即
，若另一零点在
.
故答案为：C
【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
6.【答案】B
【解析】解：显然f（x）是偶函数，
∵f（x）有唯一一个零点，∴f（0）=0，即a2+2a﹣8=0，
解得a=2或a=﹣4．
当a=2时，f（x）=2alog2（|x|+4）+x2﹣4，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，符合题意；
当a=﹣4时，f（x）=﹣4log2（|x|+4）+x2+8，
作出y=4log2（|x|+4）和y=x2+8的函数图象如图所示：
由图象可知f（x）有三个零点，不符合题意；
综上，a=2．
故选B．
【分析】根据f（x）是偶函数可知唯一零点比为0，从而得出a，再利用函数图象验证即可．
7.【答案】
A
【解析】
画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，
∵函数y=f（x）-m有2不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有2交点，
由图象可得m的取值范围为（-1，1）．
故答案为：A
【分析】利用函数y=f(x)-m有两个不同的零点，判断出函数f(x)与函数y=m的图象有两个交点，再利用图象得到m的取值范围。
8.【答案】
B
【解析】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）
和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，
如图所示：KOA=
，
数形结合可得
＜k＜1，
故选：B．
【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．
9.【答案】
B
【解析】解：因为f（0）=20+0﹣7=﹣6＜0；
f（4）=24+12﹣7＞0；
又已知f（2）=22+6﹣7＞0；
所以f（0）×f（2）＜0；
所以零点在区间（0，2）．
故答案为：B
【分析】代入端点值，可得到f（0）×f（2）＜0，所以零点在区间（0，2）．
10.【答案】
C
【解析】令函数
，则函数
是
上的单调增函数，且是连续函数.
∵
，
∴
∴故函数
的零点所在的区间为
∴方程
的解所在区间是
故答案为：C.
【分析】本题利用零点存在性定理求出解所在的区间。
11.【答案】
D
【解析】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=
时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（
）=
﹣3?
+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
12.【答案】
A
【解析】根据定义可得：
所以
至少有两个零点，转化成函数
与
的图像有两个交点的问题。其中
的图像如下：
所以
故答案为：A
【分析】根据的定义，得到分段函数f（x）的表达式，作出函数图像，根据函数零点与方程实数根及函数图像交点横坐标的关系，即可求出k的取值范围.
二、填空题
13.【答案】3；0
【解析】解：函数
的图象如下图所示：
由图可得：函数的零点共3个，
分别为0，±1，故零点和为0，
故答案为：3，0
【分析】函数的零点即为函数和x轴的交点，求出结果加起来即可。
14.【答案】－3
【解析】设方程f(x)＝0的另一根为x
，
由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，
故x＝－3，即另一个零点为－3.
【分析】根据韦达定理确定方程方程的解即可
15.【答案】
【解析】
当
时，
，又
是奇函数，
时，则
函数
在
上的图象为两个分别以
为圆心，半径为1的圆的上半部分和以
为圆心，半径为1的圆的下半部分拼接而成，再利用函数
的周期为4，画出函数
在区间(0，9]上的图象。
再根据函数
画出函数g（x）图象为经过点（-2,0）的一条直线与一条线段拼接而成.
再利用函数
的周期为2，画出函数
在区间(0，9]上的图象。
在区间(0，9]上，关于x的方程
有8个不同的实数根，则
函数
与函数
在区间
上有8个交点。
又
在区间
上，线段
与函数
有4个交点，
的图象在区间
上与函数
有2个交点，在区间
上与函数
有2个交点，在区间
上与函数
无交点，
k的取值范围是
。
【分析】利用奇函数的定义结合已知条件求出分段函数
的解析式,从而画出分段函数
在区间
的图象，再利用函数
的周期性，画出函数
在区间(0，9]上的图象，再利用分段函数
的解析式画出其在区间
图象，再利用函数
的周期性，画出函数
在区间(0，9]上的图象，再利用在区间(0，9]上，关于x的方程
有8个不同的实数根，结合方程的根与两函数的交点的横坐标等价关系，得出函数
与函数
在区间
上有8个交点，再利用两函数在区间(0，9]上的图象求出k的取值范围。
16.【答案】
【解析】令
，所以
有两个不同的零点，
等价于函数
与
的图象有两个不同的零点，
如图，在同一坐标系中作出函数
与
的图象，由图象易知当
时，两函数图象有两个交点．
故答案为：
．
【分析】函数
有两个不同零点可以转化为函数
的图象与函数
的图象的有两个交点，作出两函数图象，由图象易得结果
17.【答案】
（4,8）
【解析】解：∵
∴
=0与
=0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.
则
?4a8
【分析】两方程若有根，正好是合题意的同号根，则分类讨论.
18.【答案】
[
）
【解析】解：由f（x）=g（x），
∴kx=
，
∴k=
，
令h（x）=
，
∵方程f（x）=g（x）在区间[
，e]内有两个实数解，
∴h（x）=
在[
，e]内的图象与直线y=k有两个交点．
∴h′（x）=
，
令h′（x）=
=0，则x=
，
当x∈[
，
]内h′（x）＞0，当x∈[
，e]内h′（x）＜0，
当x=
，h（x）=
，当x=e时，h（e）=
，当x=
，h（x）=﹣e2
，
故当k∈[
）时，该方程有两个解．
故答案为：[
）
【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论．
三、解答题
19.【答案】解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
，解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0
【解析】由函数的两个零点存在，分别求出m,n，结合对数函数的基本性质：当真数等于1时，函数值为0，即可得出答案。
20.【答案】
（1）解：∵
和
是函数
的两个零点，
∴
和
是方程
的两个实数根．
则
解得
（2）解：∵函数的两个零点为
和
，
∴
和
是方程
的两根，
∴
则
∴
的取值范围为
.
【解析】(1)根据零点的定义代入数值求出k的值即可。(2)利用零点的定义再结合二次函数的根的情况得到关于的不等式组，整理为关于k的二次函数由二次函数在指定区间上的最值情况即可得出取值范围。
21.【答案】
（1）证明：易知f(x)＝lnx＋2x?6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2?2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点
（2）解：由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取
，
，
∴
.∴
的零点
．取
，
则
.
∴
.∴
．
∵
，∴满足题意的区间为
【解析】(1)递增函数在某个区间中最多一个零点,而函数的端点处函数值异号时,则有且只有一个零点;
(2)结合二分法及精确度的要求,可求出对应区间.
22.【答案】
（1）解：∵f（x）是定义在R上的偶函数．
∴f（﹣1）=f（1），即
，
故
．
函数f（x）=
，
f（﹣x）=
=
=f（x）．
所以a=1满足题意
（2）解：依题意
=
．
则由22x+1=2x+2
，
得（2x）2﹣4（2x）+1=0，
令2x=t（t＞0），则t2﹣4t+1=0，
解得
．
即
．
∴函数g（x）有两个零点，分别为
和
【解析】（1）根据偶函数的定义可求出
a
=?
1，进而得到f（x）的解析式。（2）由已知整理得到（2x）2﹣4（2x）+1=0，整体思想令2x=t（t＞0），解得t的值，进而得到x的取值，故函数g（x）有两个零点。
23.【答案】
（1）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得2≤a<
.
即a的取值范围为
.
（2）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>
.
即a的取值范围为
（3）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
，
解得
.
即a的取值范围为
【解析】（1）根据题意分析，该一元二次函数有两个解（）,函数对称轴大于1及代入数据计算，即可得出答案。
（2）根据题意分析得知，该函数由两个不同的解（）,及函数值,代入数据计算，即可得出答案。
（3）结合零点判定定理：,代入数据计算，即可得出答案。
24.【答案】
（1）解：∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，
∴loga2﹣2loga（2+t）=0，
∴2=（2+t）2
，
∴t=
﹣2
（2）解：当0＜a＜1且t=﹣1时，
不等式f（x）≤g（x）可化为
loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），
故
，
解得，
＜x≤
（3）解：F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，
令tx2+x﹣2t+2=0，
即t（x2﹣2）=﹣（x+2），
∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，
∴t≠0，x2﹣2≠0；
∴
=﹣
=﹣[（x+2）+
]+4，
∵2
≤（x+2）+
≤
，
∴﹣
≤﹣[（x+2）+
]+4≤4﹣2
，
∴﹣
≤
≤4﹣2
，
∴t≤﹣2或t≥
【解析】（1）由题意得loga2﹣2loga（2+t）=0，从而解得．（2）由题意得loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），由对数函数的单调性可得
，从而解得．（3）化简F（x）=tx2+x﹣2t+2，从而令tx2+x﹣2t+2=0，讨论可得
=﹣
=﹣[（x+2）+
]+4，从而解得．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)