函数值域

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高一数学(2)
求函数的值域
知识体系：
函数的值域是由全体函数值所构成
函数的值域取决于定义域和对应法则,不论用什么方法求函数的值域应先考虑其定义域.
求函数的值域常用的方法有:
⑴直接法 ⑵换元法 ⑶配方法 ⑷分离常数法 ⑸判别式法 ⑹单调性法 ⑺均值不等式法 ⑻数形结合法
基本方法：
1、直接法求函数值域
（1）、y=2x+1
（2）、y=1/x
（3）、y=x2+1
（4）、y=︱x︱
2、配方法求函数值域
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1].
[6, 11]; [2, 11]; [2, 6]; [3, 6].
配方后y=（x+1）2+2在每个区间上的图象和单调性必须要明确，这也说明每部分知识都不是单独存在的，都有一定的联系。
3、换元法求函数值域
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).
如y=（2x）2+ 3（2x）-1等
4、分离常数法
例：
（1）、
（2）、
（3）、
主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函数化成 y=a+ 的形式.
b
g(x)
sinx-3
y= .
sinx+2
2x+1
2x
y= ;
(0, 1)
3
2
[- , - ]
1
4
5、判别式法：
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域.
主要适用于形如 y = (a, d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).
ax2+bx+c
dx2+ex+f
6、(均值不等式法)
7、利用函数的单调性
如一元二次函数（给定义域）、再证明完单调性后第二个问求值域等问题中可以用到
8、数形结合
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
(1)y=|x-1|+|x+4| ;
(2)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ;
(3) 若（ x-1）2+y2=1, 求y/x的取值范围;　
[5, +∞)
[2 5 , +∞)
作业