函数的奇偶性和周期性

(共11张PPT)
（第四节）
函数的奇偶性与周期性
　　1.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则
称 f(x) 为偶函数.
一、函数的奇性
　　2.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则
称 f(x) 为奇函数.
二、简单性质
1.奇函数的图象关于原点对称,
偶函数的图象关于 y 轴对称.
反之成立！
3.奇函数: f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数: f(x)=f(|x|).
3.若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性;
4.若函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数.
如: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数.
知识体系：
2.单调性：
三、函数奇偶性的判定方法
1.根据定义判定:
　　首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称, 则函数是非奇非偶函数;
若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x).
2.利用定理, 借助函数的图象判定:
3.性质法判定:
在公共定义域内,
两奇函数之积(商)为偶函数;
两偶函数之积(商)也为偶函数;
一奇一偶函数之积(商)为奇函数.
(注意取商时分母不为零!)
有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难, 可考虑判定 f(-x) f(x)=0
或判定 = 1. (注意分母不能是零 )
f(x)
f(-x)
四、函数的周期性
如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x,
都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数, T 为函数的一个周
期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小正周期.
　　若周期函数 f(x) 的最小正周期为 T, 则 f( x)( 0) 也为周期函数, 且最小正周期为 .
| |
T
五、典型例题
1.判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)= ;
2x
(1+2x)2
(3) f(x)=log2( 1-x2 + x2-1 +1);
(4) f(x)=(1-x) ;
1-x
1+x
即是奇函数又是偶函数
非奇非偶函数
2.设函数 f(x) 的定义域关于原点对称, 判断下列函数的奇偶性: ① F(x)= [f(x)+f(-x)]; ②G(x)= [f(x)-f(-x)];
1
2
1
2
偶函数
奇函数
3.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x), 且 f(x)是偶函数, 当 x∈[0, 2]时, f(x)=2x-1, 求 x∈[-4, 0]时 f(x) 的表达式.
解：函数f(x)的对称轴是x=2,且f(x)是偶函数，所以函数f(x)的图像
又关于y轴对称，作图如下：
y
x
0
-1
2
4
-2
-4
3
f(x)=
2x+7 (-4≤x≤-2)
-2x-1 (-24.已知 f(x) 是定义在 R 上的函数, 且对于任意的 a, b∈R 都满足: f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 且 f(0) 0. (1)求证: f(x)是偶函数; (2)若存在正数 m, 使 f(m)=0, 求满足 f(x+T)=f(x) 的一个 T(T 0)的值.（考虑 f(a+m), f(a+2m), f(a+4m).）
（1）、证明：a、b∈R，具有对称性；令a=b=0，
则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),因为f(0) ≠0，
所以f(0)=1，令a=0,则f(b)+f(-b)=2f(0)f(b)=2f(b)，
得f(-b)=f(b)所以函数f(x)为偶函数
（2）、解令b=m，则f(a+m)+f(a-m)=2f(a)f(m)=0,
f(a+m)=-f(a-m)
上式中把（a+m）代入得
f(a+2m)=-f(a),再代入(a+2m)得
f(a+4m)=-f(a+2m)=-[-f(a)]=f(a)
得到f(a+4m)=f(a)，可知函数f(x)是周期函数，
并且T=4m(m≠0)
1.设 f(x)(x∈R)是以 3 为周期的奇函数, 且 f(1)>1, f(2)=a, 则( )
A. a>2 B. a<-2 C. a>1 D. a<-1
课堂练习
2.函数 f(x)= 的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
|x-2|
4-x2
D
C
3.已知 y=f(x-1) 是偶函数, 则 y=f(x) 的图象关于( )
A.直线 x+1=0 对称 B.直线 x-1=0 对称
C.直线 x- =0 对称 D. y 轴对称
1
2
A
4.奇函数 f(x) 在[-1, 0]上是减函数, , 是锐角三角形的两
个内角, 且 , 则下列不等式中正确的是( )
A. f(cos )>f(cos ) B. f(sin )>f(sin )
C. f(cos )D