2011年高考第一轮学案：第一章 集合

高三数学一轮复习：第一章 集合
一、内容提示：
1. 集合中元素的表示和性质：
（1）元素与集合：“∈”或“”.
（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.
2. 集合间的运算关系：
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.
（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.
（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为S A，即S A={x|x∈S且xA}.
二、课本习题
1、已知集合，，求，
2、已知集合，集合满足，则集合有 个
3、已知集合，，求集合
4、学校举办运动会时，高一（1）班工有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人，只参加游泳一项比赛的有多少人？
5、设全集，，，求集合
三、例题分析：
【例1】 设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ）
A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q
【例2】 已知，B={x|x2＋ax＋b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
四、典题精练：
1.集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－y=2}，则A∩B是 （ ）
A.（1，－1） B. C.{（1，－1）} D.{1，－1}
2.设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是 （ ）
A.（IA）∪B=I B.（IA）∪（IB）=I C.A∩（IB）= D.（IA）∩（IB）=IB
3.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于 （ ）
A. {x|x＜－2} B. {x|x＞3} C. {x|－1＜x＜2} D. {x|2＜x＜3}
4.已知集合A={x∈R|x＜5－}，B={1，2，3，4}，则（RA）∩B等于
A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {3，4} D. {4}
5.设集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}.若A∩B={2}，则A∪B=______________.
6.设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＞a}，若AB，则a的取值范围是___________________.
9.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则a的值为__________________.
7.记函数f（x）=log2（2x－3）的定义域为集合M，函数g（x）= 的定义域为集合N.求：
（1）集合M、N；
（2）集合M∩N、M∪N.
8.已知A={x∈R|x2+2x+p=0}且A∩{x∈R|x＞0}=，求实数p的取值范围.
9.若B={x|x2－3x+2＜0}，是否存在实数a，使A={x|x2－（a+a2）x+a3＜0}且A∩B=A？请说明你的理由.
五、高考真题自测:
1、（全国卷Ⅱ文1）设全集，集合A={1，3}，B={3，5}则
（A） {1，4} （B）{1，5} （C）{2，4} （D）{2，5}
2、（陕西文1）集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B=
(A){xx＜1} （B）{x－1≤x≤2} (C) {x－1≤x≤1} (D) {x－1≤x＜1}
3、（辽宁文1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
4、（辽宁理1）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},,则A=
（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
5、（安徽文1）若A=，B=，则=
(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)
6、（广东理1）若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A ∩ B=（ ）
A. {-1＜＜1} B. {-2＜＜1} C. {-2＜＜2} D. {0＜＜1}
7、（广东文1）若集合，则集合
A. B. C. D.
8、（福建文1）若集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9、（全国卷1文2）设全集，集合，，则
A. B. C. D.
10、（四川文1）设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5， 7，8}，则A∩B等于
(A){3，4，5，6，7，8} (B){3，6} (C) {4，7} (D){5，8}
11、（湖北文1）设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数}，则M∩N=
A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,4,8} D{1,2,8}
12、（湖南理1）已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则
A． B. C． D.
13、（上海文1）已知集合，，则 。
14、（湖南文9）已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=
15、（重庆文11）设，则=____________ .
16、（江苏卷1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=_____
四、方法反馈：
1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.
2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.
3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.
4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.
5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.
五、答案参考：
例题分析
【例1】剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1＜m＜0.
综合①②知-1＜m≤0，∴Q={m∈R|-1＜m≤0}.∴P=Q
答案：C
评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.
【例2】 解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0， ①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1. ②
由①②知x1＝－1，x2＝2，
∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.
评述：集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.
典题精练
1.解析：答案：C
2.解析一：∵A、B、I满足ABI，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的.
解析二：设非空集合A、B、I分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足ABI.根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的. 答案：B
3.解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}. 答案：C
4.解析：RA={x∈R|x≥5－}，而5－∈（3，4），∴（RA）∩B={4}.答案：D
5.解析：M－N={x|x∈M且xN}是指图（1）中的阴影部分.
同样M－（M－N）是指图（2）中的阴影部分. 答案：B
6.解析：∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2.∴a=1.∴b=2.∴A={5，2}，B={1，2}.
∴A∪B={1，2，5}.答案：{1，2，5}
7.解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系. 答案：BA，A∈C，B∈C
8.解析：AB说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a≤1.
答案：a≤1
9.解析：若a=0，则x=－.若a≠0，Δ=4－4a=0，得a=1. 答案：a=0或a=1
10.解：（1）M={x|2x－3＞0}={x|x＞}；
N={x|（x－3）（x－1）≥0}={x|x≥3或x≤1}.
（2）M∩N={x|x≥3}；
M∪N={x|x≤1或x＞}.
11.解：∵A∩{x∈R|x＞0}=，
∴（1）若A=，则Δ=4－4p＜0，得p＞1；
（2）若A≠，则A={x|x≤0}，
即方程x2+2x+p=0的根都小于或等于0.
设两根为x1、x2，则
∴0≤p≤1.
综上所述，p≥0.
12.解：∵B={x|1＜x＜2}，若存在实数a，使A∩B=A，则A={x|（x－a）（x－a2）＜0}.
（1）若a=a2，即a=0或a=1时，此时A={x|（x－a）2＜0}=，满足A∩B=A，∴a=0或a=1.
（2）若a2＞a，即a＞1或a＜0时，A={x|0＜x＜a2}，要使A∩B=A，则1≤
a≤，∴1＜a≤.
（3）若a2＜a，即0＜a＜1时，A={x|a＜x＜a2}，要使A∩B=A，则1≤a≤2，∴a∈.
综上所述，当1≤a≤或a=0时满足A∩B=A，即存在实数a，使A={x|x2－（a+a2）x+
a3＜0}且A∩B=A成立.
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