2019-2020学年湖南省常德市汉寿县八年级下学期期中数学试卷 （word版，含解析）

2019-2020学年湖南常德市汉寿县八年级第二学期期中数学试卷
一、选择题
1．以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是（　　）
A．5，6，7 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，7，9
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
3．下列命题正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）
A．7 B．10 C．11 D．12
5．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
6．如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）
A．3 B．+ C．+2 D．2+
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．（不添加字母和辅助线）
10．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝2，那么BD＝　 　．
11．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是　 　．
12．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是　 　．
13．如图，在△APB中，∠APB＝90°，AB＝4，O是AB的中点，∠1＝60°，则BP＝　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为　 　．
16．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为　 　．
三、（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
17．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AB的长．
18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF．求证：AE＝DF．
四、（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若AB＝3，AC＝5，AD＝2，求证：AE⊥CE．
20．如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别是边BC，AC的中点．延长BA到点D，使AB＝2AD，连接AE．
求证：
（1）四边形ADFE是平行四边形；
（2）DF＝BE．
五、（本题共2个小题，每小题7分，共14分）
21．已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长．
六、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
23．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，求证：四边形ABGE是平行四边形．
24．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求线段CE的长．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每题4个选项中只有一个符合题意，答对得3分，共24分）
1．以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是（　　）
A．5，6，7 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，7，9
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
解：A、因为52+62≠72，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为72+82≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
C、因为62+82＝102，所以三条线段能组成直角三角形；
D、因为52+72≠92，所以三条线段不能组成直角三角形；
故选：C．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD＝AB﹣BD计算即可得解．
解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，AB＝2BC＝2×4＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6．
故选：A．
3．下列命题正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法判断即可．
解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：A．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）
A．7 B．10 C．11 D．12
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，再根据平行四边形的性质可得DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，进而可以算出△CDE的周长．
解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE＝EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∴△CDE的周长为：EC+CD+ED＝AD+CD＝6+4＝10，
故选：B．
5．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
【分析】根据正方形的判定方法判定即可．
解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：D．
6．如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
【分析】利用三角形中位线定理得到DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAC．
A、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）
A．3 B．+ C．+2 D．2+
【分析】如图．过点D作DF⊥AC于F．首先证明DE＝DF＝1，解直角三角形分别求出BD，DC即可解决问题．
解：如图．过点D作DF⊥AC于F．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∵∠BED＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△DFC中，∵∠DFC＝90°，∠C＝45°，
∴CD＝DF＝，
∴BC＝BD+CD＝2+，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　AB＝DC（答案不唯一）　．（不添加字母和辅助线）
【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．
解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）
10．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝2，那么BD＝　4　．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．
解：在矩形ABCD中，
∵对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝2，
∴BD＝2BO＝4．
故答案为：4．
11．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是　720°　．
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
12．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是　60°　．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB＝OC，再根据等边对等角可得∠OBC＝∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝30°+30°＝60°．
故答案为60°
13．如图，在△APB中，∠APB＝90°，AB＝4，O是AB的中点，∠1＝60°，则BP＝　2　．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的相关性质，可求出PO＝AB，进而可证明△BOP为等腰三角形，结合已知数据利用勾股定理即可求出BP的长．
解：∵∠APB＝90°，AB＝4，O是AB的中点，
∴PO＝BO＝AB＝2，
∴∠BPO＝∠OBP，
∵∠1＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝2，
∴BP＝＝2，
故答案为：2．
14．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积为　2　．
【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．
解：∵菱形ABCD，
∴AD＝AB，OD＝OB，OA＝OC，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴OD＝1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO＝＝，
∴AC＝2，
则S菱形ABCD＝AC?BD＝2，
故答案为：2
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为　　．
【分析】利用勾股定理求出BC＝4，设BE＝x，则CE＝4﹣x，在Rt△B'EC中，利用勾股定理解出x的值即可．
解：BC＝＝4，
由折叠的性质得：BE＝BE′，AB＝AB′，
设BE＝x，则B′E＝x，CE＝4﹣x，B′C＝AC﹣AB′＝AC﹣AB＝2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2＝EC2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝．
故答案为：．
16．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为　7　．
【分析】根据菱形的性质得到∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，得到∠ABC＝60°，由折叠的性质得到EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，推出△BEF是等边三角形，得到∠BEF＝60°，得到△AEO是等边三角形，推出EF是△ABC的中位线，求得EF＝AC＝1，AE＝OE＝1，同理CF＝OF＝1，于是得到结论．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，
∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，
∵AO＝1，BO＝，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，AB＝2，
∴∠ABC＝60°，
由折叠的性质得，EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，
∴BE＝BF，EF∥AC，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF＝60°，
∴∠OEF＝60°，
∴∠AEO＝60°，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OE，
∴BE＝AE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝1，AE＝OE＝1，
同理CF＝OF＝1，
∴五边形AEFCD的周长为＝1+1+1+2+2＝7．
故答案为：7．
三、（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
17．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AB的长．
【分析】（1）在Rt△BCD中，由CD＝可得答案；
（2）在Rt△ACD中，先根据AD＝求得AD＝16，再由AB＝AD+DB可得答案．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，
∴CD＝＝＝12；
（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝＝16，
则AB＝AD+DB＝16+9＝25．
18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF．求证：AE＝DF．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“HL”证明Rt△BAE≌Rt△ADF，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
又∵BE＝AF，
∴在Rt△BAE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝DF．
四、（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若AB＝3，AC＝5，AD＝2，求证：AE⊥CE．
【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△ECD；
（2）证明∠E＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADB＝∠EDC，AD＝ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
（2）由（1）知：CE＝AB＝3，
又∵AE＝2AD＝4，AC＝5，
∴AC2＝AE2+CE2，
∴∠E＝90°，
∴AE⊥CE．
20．如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别是边BC，AC的中点．延长BA到点D，使AB＝2AD，连接AE．
求证：
（1）四边形ADFE是平行四边形；
（2）DF＝BE．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵点E，F分别是边BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，即EF∥AD，且EF＝AB，
又∵AD＝AB，
∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）由（1）知DF＝AE，
又∵在Rt△ABC中，点E是中点，
∴AE＝BC＝BE＝CE，
∴BE＝DF．
五、（本题共2个小题，每小题7分，共14分）
21．已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出AD＝BD＝CD＝BC＝，求出∠MBD＝30°，求出BM＝DM，根据勾股定理求出DM，即可求出答案．
解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD⊥BC，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝2，
∴AD＝BD＝CD＝BC＝，∠ADB＝90°，
∵∠BMN＝90°，∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣∠BMN﹣∠AMN＝60°，
∴∠MBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BMD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BM＝2DM，
设DM＝a，则BM＝2a，
在Rt△BDM中，由勾股定理得：BM2＝BD2+DM2，
∴（2a）2＝a2+（）2，
解得：a＝，
即DM＝，
∴AM＝AD﹣DM＝﹣．
六、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
23．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，求证：四边形ABGE是平行四边形．
【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形即可．
【解答】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）连接EG，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
24．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求线段CE的长．
【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，得出22+（6﹣x）2＝x2，可得出答案．
【解答】（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
∴CE＝．