第一章 集合与函数概念 单元测试（含解析）

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必修一
第一章集合与函数概念
一、单选题
1.已知
，
，则
（??
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.设函数
,则
（???
）
A.?是奇函数，且在(0,+∞)单调递增?????????????????????????B.?是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C.?是偶函数，且在(0,+∞)单调递增?????????????????????????D.?是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
3.已知函数
，则（???
）
A.????????
B.?的定义域为
??????
C.?为偶函数????
???D.?在
上为增函数
4.下列函数中，值域是
的是（??
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
5.若定义在R的奇函数f(x)在
单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（???
）
A.????
?B.?????????C.??
D.?
6.已知函数
，则函数
的单调减区间为（??
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
7.若
，则（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
8.函数
的图象大致为（???
）
A.???????????????????B.?
C.???????????????????D.?
9.若函数
在区间
上单调递增，则实数a的取值范围为（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
10.我们从这个商标
中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是(???
)
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
11.已知
是定义在R上的偶函数，且在区间
上单调递增。若实数
满足
，则
的取值范围是
（????
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
12.定义在
上的单调函数
对任意的
都有
，则不等式
的解集为（???
）
A.?或
???????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
二、多选题
13.已知集合
A
=
{x
|
ax
2},B
={2,
}
,
若
B
?
A，则实数
a
的值可能是（???
）
A.??1??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.??2??????????????????????????????????????????D.?2
14.下列函数中既是定义域上的偶函数，又是
(0,+∞)
上的增函数为
（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.?y
=
|lnx|??????????????????????????????D.?|
三、填空题
15.函数
的定义域是________．
16.已知函数
，则
________．
17.已知函数
，
，
，
，则m，n，p的大小关系是________.
18.设函数
是定义在
上的偶函数，记
，且函数
在区间
上是增函数，则不等式
的解集为________
四、解答题
19.设全集U＝R，已知集合A＝{1，2}，B＝
，集合C为不等式组
的解集．
（1）写出集合A的所有子集；
（2）求
和
．
20.已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
21.设全集是实数集R
，
集合
，
．
(Ⅰ)当
时，分别求
与
；
(Ⅱ)若
，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)若
，求实数a的最大值．
22.已知
，
，全集
.
（1）求
和
；
（2）已知非空集合
，若
，求实数
的取值范围.
23.已知函数
（
，且
）．
（Ⅰ）求函数
的定义域；
（Ⅱ）判断函数
的奇偶性；
（Ⅲ）解关于x的不等式
．
24.定义在R上的函数
，当
时，
，且对任意的
都有
.
（Ⅰ）求证：
是R上的增函数；
（Ⅱ）求不等式
的解集.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：
,
.故
.
故答案为：B
【分析】根据指数不等式与二次不等式求解集合
再求并集即可.
2.答案：
A
解：因为函数
定义域为
，其关于原点对称，
而
，
所以函数
为奇函数．
又因为函数
在
上单调递增，在
上单调递增，
而
在
上单调递减，在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递增．
故答案为：A．
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为
，利用定义可得出函数
为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
3.答案：
B
解：因为
，所以A不符合题意；
由
，得
，所以
的定义域为
，所以B符合题意；
为奇函数，所以C不符合题意；
因为
，所以D不符合题意.
故答案为：B
【分析】逐项判断各选项中的结论正确与否后可得正确的选项.
4.答案：
D
解：对于A：
的值域为
；
对于B：
，
，
，
的值域为
；
对于C：
的值域为
；
对于D：
，
，
，
的值域为
；
故选：D
．
【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．
5.答案：
D
解：因为定义在R上的奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上也是单调递减，且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以由
可得：
或
或
解得
或
，
所以满足
的
的取值范围是
，
故答案为：D.
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数
在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
6.答案：
C
解：函数
为减函数，且
,
令
，有
，解得
.
又
为开口向下的抛物线，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则函数
的单调减区间为
.
故选C.
【分析】由已知得到函数
为减函数，二次函数
在
上单调递增，在
上单调递减，利用复合函数“同增异减”的原则，即可求出单调减区间.
7.答案：
B
解：设
，则
为增函数，
因为
，
则，
所以
，所以
.
，
当
时，
，此时
，有
当
时，
，此时
，有
，所以C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设
，利用作差法结合
的单调性即可得到答案.
8.答案：
A
解：由函数的解析式可得：
，
则函数
为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当
时，
，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
9.答案：
C
解：设
,令
,则
单调递减,
在
上单调递增,
?
在
上单调递减,
,解得:
.
故答案为：C.
【分析】可看出该函数是由
和
复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a的不等式组，解出a的取值范围即可.
10.答案：
D
解：由图象得函数的定义域为
，排除B,C.
由
排除A.
故答案为：D.
【分析】由图象分析得函数为偶函数，利用排除法即可得结果.
11.答案：
D
解：
,
故答案为：D.
【分析】利用偶函数的定义结合函数f(x）的单调性，从而转化为指数有关的不等式，再利用指数函数的单调性，结合绝对值不等式求解集的方法，从而求出实数a的取值范围。
12.答案：
A
解：令
，则
，所以
，
又因为
，所以
，解得
，可得
，
所以
是增函数，由
，则
，
所以
，解得a<-3或a>1．
故答案为：
．
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式
的解集。
二、多选题
13.答案：
A,B,C
解：因为B
?
A,所以
,
,解得
.
故答案为：ABC
【分析】由
得到2,
满足
,列出不等式组即可求得
的取值范围.
14.答案：
B,D
解：函数
定义域为
,是定义域上的偶函数,
当
时,
为减函数,故不合题意;
函数
,定义域为
,是定义域上的偶函数,
当
时,
为增函数;
函数
定义域为
不关于原点对称,不是定义域上的偶函数,不合题意;
函数
定义域为
,是定义域上的偶函数,
当
时,
为增函数.
故答案为：B、D
【分析】利用偶函数的定义和增函数的定义找出既是定义域上的偶函数，又是
(0,+∞)
上的增函数的函数选项。
三、填空题
15.答案：
解：由题意得
，
故答案为：
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
16.答案：
3
解：依题意，
.
故答案为：
.
【分析】利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.
17.答案：
p＞m＞n
解：∵
，定义域为R，
∴
，
∴函数
为偶函数，且易知函数
在
上单调递增，
∵
，
，
，
∴
，
故答案为：
．
【分析】利用函数的奇偶性与单调性，结合自变量的大小，求解即可．
18.答案：
解：根据题意
，且
是定义在
上的偶函数，
则
，则函数
为偶函数，
，
又由
为增函数且在区间
上是增函数，则
，
解可得：
或
，
即
的取值范围为
，
故答案为
；
【分析】根据题意，分析可得
为偶函数，进而分析可得原不等式转化为
，结合函数的奇偶性与单调性分析可得
，解可得
的取值范围．
四、解答题
19.答案：
（1）解：因为集合
，所以它的子集
,
,
,
（2）解：因为
},
所
;
由
，解得
，所以
所以
【分析】（1）根据集合A，确定相应的子集即可；
（2）通过解不等式组求出集合C，结合集合的补和并运算，即可得到相应的集合.
20.答案：
（1）解：图象如图所示：
?
（2）解：由函数
的图象可知，该函数的定义域为
，
增区间为
，减区间为
、
、
，值域为
【分析】（1）根据函数
的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数
的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.
21.答案：
解：(Ⅰ)当
时，
，
，
；
(Ⅱ)
，
，
实数a的取值范围为
；
(Ⅲ)
，
，
又
，
，
实数a的最大值为
．
【分析】(Ⅰ)当
时，确定集合B
，
由交、并的定义可得结果；(Ⅱ)由
得
；(Ⅲ)由
得
，得
，可得实数a的最大值．
22.答案：
（1）解：由题意，集合
，
因为集合
，则
，
所以
，
；
（2）解：由题意，因为
，所以
，
又因为
，
，所以
，
即实数
的取值范围为
【分析】（1）求得集合
，根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解；（2）由
，所以
，结合集合的包含关系，即可求解.
23.答案：
解：（Ⅰ）要是函数有意义，则
解得
，
故函数
的定义域为
.
（Ⅱ）
，
所以函数
为奇函数.
（Ⅲ）
，
所以，不等式
可化为
.
当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
或
.
【分析】（Ⅰ）根据对数的真数为正可求出函数定义域（Ⅱ）由定义域的对称性及
的关系可判断函数奇偶性（Ⅲ）分
，
两种情况讨论，利用单调性求不等式的解.
24.答案：
（Ⅰ）证明：任取
，且设
，
则
，
为
上的增函数.
（Ⅱ）解：不等式
可化为：
，
即
，
，
故不等式化为
，
为
上的增函数，
，解得
?不等式的解集为
.
【分析】（Ⅰ）任取
，且设
，结合当
时，
，以及
，都有
，可以证明
，即可证明
是R上的增函数；（Ⅱ）利用抽象函数的性质及
的单调性，可以得到
，求解即可．
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