第二章 基本初等函数（Ⅰ） 单元测试（含解析）

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必修一
第二章基本初等函数（Ⅰ）
一、单选题
1.设
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.函数
（
且
）的图象必经过点（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.已知函数
是在
上单调递增的幂函数，则
（??
）
A.?0或4????????????????????????????????????????B.?0或2????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?2
4.函数
（
且
）的图象必过点（??
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
5.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)
(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(???
)
A.?1???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?1或2???????????????????????????????????????D.?1或－3
6.已知55<84
，
134<85
．
设a=log53，b=log85，c=log138，则（???
）
A.?a7.若
，那么实数
的取值范围是(???
)
A.?(0，1)?????????????????????????????B.?(0，
)?????????????????????????????C.?(
，1)?????????????????????????????D.?(1，＋∞)
8.当
时，
在同一坐标系中，函数
与
的图像是（???
）
A.????????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????D.?
9.若函数
是幂函数，且其图象过点
，则函数
的单调增区间为（
??）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
10.对于任意实数
，符号
表示
的整数部分，即
是不超过
的最大整数，例如
；
；则
的值为（???
）
A.?42?????????????????????????????????????????B.?43?????????????????????????????????????????C.?44?????????????????????????????????????????D.?45
11.设
是定义在实数集
上的函数，满足条件
，且当
时，
，则
，
的大小关系是（??
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
12.声音的等级
（单位：
）与声音强度
（单位：
）满足
.
喷气式飞机起飞时，声音的等级约为
；一般说话时，声音的等级约为
，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（???
）
A.?倍???????????????????????????????B.?倍???????????????????????????????C.?倍???????????????????????????????D.?倍
二、多选题
13.若
，
，则（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
14.若指数函数
在区间
上的最大值和最小值的和为
，则
的值可能是（??
）.
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
三、填空题
15.计算：
________．
16.函数
的值域是________，单调递增区间是________.
17.若函数
(a＞0且a≠1)在定义域[m
，
n]上的值域是[m2
，
n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是________．
18.已知函数
，则关于
的不等式
的解集为________．
四、解答题
19.计算下列各式的值：
（I）
;
（Ⅱ）log327+lg25+1g4+log42．
20.解关于
的不等式：
.
21.求值：
（1）；
（2）已知
，
，求
的值．
22.已知函数
，
（
且
），
．
（1）求函数
和
的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数
和
的图象；
（3）如果
，请直接写出
的取值范围．
23.已知函数
，且
.
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）求使
成立的
的值．
24.已知函数
且
．
（1）当
时求
的值域；
（2）设
，若方程
有实根，求
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：由
可得
，所以
，
所以有
，
故答案为：B.
【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到
，即
，进而求得
，得到结果.
2.答案：
D
解：当
时，
，故函数图像必经过点
.
故答案为：D.
【分析】根据指数
直接计算得到定点.
3.答案：
C
解：∵f（x）是幂函数，
∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣4m+2＞0，
则当m＝0时，2＞0成立，
当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，
故选C．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．
4.答案：
B
解：当
时，
，则
，
∴函数
的图像必过点
.
故答案为：B.
【分析】根据
列式，求得函数图像所过定点.
5.答案：
A
解：∵幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）
（n∈Z）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上是减函数，
∴
，
解得n＝1．
故答案为：A．
【分析】由幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）
（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数列式，由此能求出n的值．
6.答案：
A
解：由题意可知
、
、
，
则，
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
.
综上所述，
.
故答案为：A.
【分析】由题意可得a、b、
，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由
，得
，结合
可得出
，由
，得
，结合
，可得出
，综合可得出a、b,c的大小关系.
7.答案：
B
解：当
时，
，显然不适合题意；
当
时，由
可得：
，
即
，
故答案为：B
【分析】讨论
，
，结合对数函数的图象与性质得到结果.
8.答案：
D
解：由于
，所以
为
上的递减函数，且过
；
又为
上的单调递减函数，且过
，故只有D选项符合.
故答案为：D.
【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.
9.答案：
B
解：由题意得：
，解得：
，
故
，将
代入函数的解析式得：，解得：
，
故
，
令
，解得：
，故
在
递增，
故答案为：B．
【分析】分别求出m，a的值，求出函数
的单调区间即可．
10.答案：
D
解：由题意可知：
，
，
，
个1，18个
．
故答案为：
．
【分析】直接利用新定义，化简求解即可．
11.答案：
B
解：∵
，∴函数
的图象关于
对称，
又∵当
时，
，函数在
时单调递减，
∴函数
在
上单调递增，
∴
，
又∵
，
即
，
∴
，即
，
故答案为：B.
【分析】由
得图象关于
对称，由题意易得
时，函数单调递增，将
转化到区间
上，借助函数的单调性判断大小即可.
12.答案：
B
解：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为
、
，
由题意可得
，解得
，
，解得
，所以，
，
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的
倍，
故答案为：B.
【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为
、
，根据题意得出
，
，计算出
和
的值，可计算出
的值.
二、多选题
13.答案：
A,C,D
解：由
，
，得
，
，
则
，
，
，
故正确的有：
故答案为：
.
【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得.
14.答案：
A,B
解：当
时，指数函数
单调递增，
所以在区间
上的最大值
，最小值
。
所以
，求得
或者
（舍）；
当
时，指数函数
单调递减，
所以在区间
上的最大值
，，
所以所以
，求得
（舍）或者
.
综上所述：
或者
.
故答案为：AB
【分析】分别讨论
单增和
单减两种不同的情况即可较易求解
三、填空题
15.答案：
-1
解：因为
，
故答案为：.
【分析】利用分数指数幂的运算性质和指数与对数的运算性质化简求值。
16.答案：
；
解：因为
,所以
，
即函数
的值域是
因为
单调递减，
在（1，+
）上单调递减，
因此函数
的单调递增区间是（1，+
）.
【分析】本题利用复合函数求值域的方法求出值域，再利用求复合函数单调性的方法求出单调区间，注意复合函数单调性判断的法则，即同单调性为增函数，不同单调性为减函数。
17.答案：
(1，
)
解：由题意知：
与
的图像在(1，
)上恰有两个交点
考查临界情形：
与
切于
，
．
故答案为：
.
【分析】
在定义域[m
，
n]上的值域是[m2
，
n2]，等价转化为
与
的图像在(1，
)上恰有两个交点，考虑相切状态可求a的取值范围.
18.答案：
解：由题意知：
定义域为
，且
等价于
即：
在
上单调递增，
在
上单调递增，
在
上单调递增?，
，解得：
故答案为：
【分析】由函数解析式可知定义域为
，可验证得
，从而将不等式等价转化为
；判断出
的单调性后，可将函数值的比较转化为自变量的比较，得到不等式，进而求得结果.
四、解答题
19.答案：
解：（Ⅰ）
+（
）2+（
-
）0
=
=2-3+2-2+1
=
=
；
（Ⅱ）log327+lg25+1g4+log42
=
=3+2lg5+2lg2+
=3+2+
=
．
【分析】利用有理数指数幂，根式的运算性质及对数的运算性质对（Ⅰ）、（Ⅱ）、逐个运算即可．
20.答案：
解：设
，
所以原不等式转化为
，
解得
，所以得到
，
即
，
而
单调递减，
所以得到
，
故不等式的解集为：
.
【分析】设
，将所求不等式转化为关于
的二次不等式，求出
的范围，即
的范围，再根据
单调性，求出
的取值范围.
21.答案：
（1）解：
原式
（2）解：原式
【分析】（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；（2）利用立方和公式得出
，结合
可求出所求代数式的值.
22.答案：
（1）解：∵f（﹣1）
．
∴
，∴a＝2，
所以f（x）＝2x
，
g（x）＝（
）x
（2）解：两个函数在同一坐标系的图象如图：
（3）解：由图象知当x＝0时，f（x）＝g（x），
若f（x）＜g（x），则x＜0，
即不等式的解集为（﹣∞，0）
【分析】（1）利用条件建立方程求出a的值即可求出函数的解析式（2）结合指数函数的图象和性质进行作图即可（3）结合图象，利用数形结合进行求解
23.答案：
（1）解：
，
则
，解得
，
是
上的增函数，
由
，得
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
（2）解：
，
得
，化简得
，
解得
或
.
【分析】（1）先利用对数运算求出
，可得出函数
在其定义域上是增函数，由
得出
，解出即可；（2）由题意得出
，解该方程即可.
24.答案：
（1）解：
，
函数
是单调增函数
，
所以函数
的值域为
。
（2）解：函数
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
因为方程
有实根，
所以
在
有实根，
即
在
有实根，
化简整理得，方程
在
上有解
,?
设
对称轴
.
?①
即
，
因为
且
在
为增函数，
所以方程
在
无解。
②
，即
，
则
，解得
?，
综上
.
【分析】（1）根据复合函数的单调性，结合函数的定义域，即可求出函数的值域；
（2）对a的取值分类讨论，根据方程有实根，即可求出a的取值范围.
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