第三章 函数的应用 单元测试（含解析）

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人教新课标A版
必修一
第三章函数的应用
一、单选题
1.函数
的零点是（???
）
A.?1，2?????????????????B.?-1，-2?????????????????C.?（1，0）、（2，0）?????????????????D.?（-1，0）、（-2，0）
2.方程
的解所在区间为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.若函数
在区间
上存在零点，则常数a的取值范围为（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
4.已知函数
，则函数
的零点个数为(???
)
A.?4???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
5.函数
的零点所在的区间为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
6.根据表中的数据，可以断定方程
的一个根所在的区间是（???
）
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
7.若定义在R上的偶函数
满足
，且
时，
，则函数
的零点个数是（??
）．
A.?2个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?6个???????????????????????????????????????D.?8个
8.已知函数
若
，则
的取值范围是（
??）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
9.池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（???
）
A.?第
天????????????????????????????B.?第
天????????????????????????????C.?第
天????????????????????????????D.?第
天
10.若函数
的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
那么方程
的一个近似根（精确度0.1）为（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
11.已知函数
，若函数
有3个零点，则实数
的取值范围（????
）
A.?(0,
)?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?（0,1）
12.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
超过500元的部分
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为
??
A.?1500元???????????????????????????????B.?1550元???????????????????????????????C.?1750元???????????????????????????????D.?1800元
二、填空题
13.设
表示不超过实数
的最大整数(如
，
)，则函数
的零点个数为________.
14.已知函数
是定义在R上的偶函数，且当
时，
．
若关于
的方程
有四个不同的实数解，则实数
的取值范围是________．
15.函数
，则不等式
的解集为________.
16.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量
与时间
的函数关系为
（如图所示），实验表明，当药物释放量
对人体无害.
（1）
________；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间.
三、解答题
17.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
（1）求g[f(1)]的值；
（2）若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
18.????
（1）为何值时，
.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
（2）若函数
有4个零点，求实数
的取值范围．
19.某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查，得到每月利润
（单位：万元）与相应月份数
的部分数据如表：
1
4
7
12
229
244
241
196
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述
与
的变化关系，并说明理由，
，
，
；
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.
20.近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本
（单位：万元）与日产量
（单位：吨）之间的函数关系式为
，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为
万元，除尘后当日产量
时，总成本
．
（1）求
的值；
（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
21.某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入2l世纪以来，该产品的产量平稳增长
记2009年为第1年，且前4年中，第x年与年产量
万件
之间的关系如表所示：
x
1
2
3
4
若
近似符合以下三种函数模型之一：
．
（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式
所求a或b值保留1位小数
；
（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少
，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．
22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为
，其中心
距地面
，半径为
，若某人从最低点
处登上摩天轮，摩天轮匀速旋转，那么此人与地面的距离将随时间
变化，
后达到最高点，从登上摩天轮时开始计时.
（1）求出人与地面距离y与时间t的函数解析式；
（2）从登上摩天轮到旋转一周过程中，有多长时间人与地面距离大于
.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：由题意,令
,解得
或
,即函数
的零点是1,2.
故答案为：A.
【分析】令
,求解即可.
2.答案：
B
解：取
，则函数单调递增，
，
，
故函数在
上有唯一零点，即
的解所在区间为
.
故答案为：
.
【分析】取
，则函数单调递增，根据零点存在定理计算得到答案.
3.答案：
C
解：函数
在区间
上为增函数，
∵
，
，
可得
故选：C
．
【分析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知
，解不等式即可求得a
的取值范围.
4.答案：
B
解：令
，则可得
，
当
时，即可得
，解得
；
当
时，即可得
，解得
.
则
，或
，或
当
时，
令
，解得
，不满足题意；
令
，解得
，满足题意；
令
，解得
，满足题意.
当
时，
令
，解得
或
(舍)；
令
，整理得
，
解得
或
满足题意；
令
，整理得
或
满足题意.
综上所述，函数零点有
共计
个.
故答案为：B.
【分析】令
，求得
的根，再求
的根，则问题得解.
5.答案：
B
解：∵函数
单调递增，
∴f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是
，
故答案为：B．
【分析】判断函数
单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=3＞0，即可判断．
6.答案：
D
解：
时，
.
时，
.
时，
.
时，
.
时，
.
因为
.
所以方程
的一个根在区间
内.
故答案为：D.
【分析】将
与
的值代入
，找到使
的
,即可选出答案.
7.答案：
D
解：
是定义在
上的偶函数，且
时，
，
当
时，
，
又
满足
，
所以
是周期为2的偶函数，且
，
令
，
，
设
，则
为偶函数，
所以
的零点的个数为
与
在
上交点个数的两倍，
画出
在
图象，
可得
与
在
上交点个数为4个，
所以
零点为8个.
故答案为：D.
【分析】根据已知可得
是周期为2的偶函数，令
，转化为求出
图象与
的图象交点的个数，画出函数图象即可求解.
8.答案：
B
解：∵
，
∴
或
，则
或
即
，
∴
的取值范围是
故答案为：B
【分析】依题意，对a分a
与a
讨论，再解相应的不等式即可．
9.答案：
D
解：因为每天增加一倍，
且第30天时，刚好被浮萍盖满，
所以可知，第29天时，刚好覆盖池塘的一半.
故答案为：D.
【分析】由题意，每天可增加原来的一倍，第30天时，刚好被浮萍盖满，所以第29天覆盖一半.
10.答案：
C
解：由函数
为增函数，
由参考数据可得
,且
,
所以当精确度
时,可以将
作为函数
零点的近似值,
也即方程
根的近似值．
故答案为：C．
【分析】先研究函数
，再利用函数的单调性，结合二分法求函数零点，由参考数据可得
,且
,可得解．
11.答案：
C
解：因为函数
有3个零点，所以
有三个实根，
即直线
与函数
的图象有三个交点．作出函数
图象，由图可知，
实数
的取值范围是
．
故答案为：C．
【分析】函数
有3个零点，所以
有三个实根，即直线
与函数
的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数
的取值范围．
12.答案：
A
解：设此商场购物总金额为
元，可以获得的折扣金额为
元，
由题设可知：
，
因为
，所以
，所以
，解得
，
故此人购物实际所付金额为
（元），
故答案为：A．
【分析】设此商场购物总金额为
元，可以获得的折扣金额为
元，可得到获得的折扣金额
元与购物总金额
元之间的解析式，结合
，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．
二、填空题
13.答案：
2
解：函数
的零点即方程
的根，
函数
的零点个数，即方程
的根的个数.
.
当
时，
.
当
时，
或
或
（舍）.
当
时，
，
方程
无解.
综上，方程
的根为
，1.
所以方程
有2个根，即函数
有2个零点.
故答案为：2.
【分析】函数
的零点即方程
的根，由
可得
.分
、
和
讨论，求出方程
的根，即得函数
的零点个数.
14.答案：
解：因为函数
是定义在R上的偶函数且当
时，
，
所以函数
图象关于
轴对称，作出函数
的图象：
若方程
有四个不同的实数解，
则函数
与直线
有4个交点，
由图象可知：
时，即有4个交点.
故m的取值范围是
，
故答案为：
【分析】若方程
有四个不同的实数解，则函数
与直线
有4个交点，作出函数
的图象，由数形结合法分析即可得答案．
15.答案：
[-1,2]
解：原不等式
或
，
解得：
或
，
原不等式的解集为
，
故答案为：[-1,2].
【分析】根据分段函数的解析式，对自变量进行讨论，从而化简不等式，解不等式即可得答案；
16.答案：
2；40
解：⑴由图可知，当
时，
，即
⑵由题意可得
，解得
则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过
分钟人方可进入房间.
故答案为：（1）2；（2）40
【分析】（1）由
时，
，即可得出
的值；（2）解不等式组即可得出答案.
三、解答题
17.答案：
（1）解：利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
（2）解：令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，
易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，
作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，
由图象可知，当1≤a<
时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，
即所求a的取值范围是
.
【分析】由题意可得函数y=g[f（x）]与函数y=a有4个交点，结合图象可得实数a的取值范围．根的存在问题相对来说是零点里头最重要的一个点，也是比较常考的点，一般都是以中档题的形式在选择题里出现，在解这种题的时候，做出函数图象是首要选择，然后根据图形去寻找答案．
18.答案：
（1）解：①
有且仅有一个零点，
?方程
有两个相等实根?Δ＝0，
即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②设f(x)的两个零点分别为
，
则
＝－2m，
＝3m＋4.
由题意，知
?
?
∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
（2）解：令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
则|4x－x2|＝－a.令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.
作出g(x)，h(x)的图象．
由图象可知，当0＜－a＜4，
即
时，g(x)与h(x)的图象有4个交点.
【分析】（1）①
有且仅有一个零点?方程
有两个相等实根?Δ＝0；②设f(x)的两个零点分别为
，则
＝－2m，
＝3m＋4.由题意列不等式组，即可得结果；（2）数形结合，作出g(x)＝|4x－x2|和h(x)＝－a的图象即可.
19.答案：
（1）解：由题目中的数据知，
描述每月利润
（单位：万元）与相应月份数
的变化关系函数不可能是常数函数，
也不是单调函数；所以应选取二次函数
进行描述；
（2）解：将
，
代入
，解得
，
，
∴
，
，
，
，∴
，
万元.
【分析】（1）根据题中数据，即可直接判断出结果；（2）将题中
，
代入
，求出参数，根据二次函数的性质，以及自变量的范围，即可得出结果.
20.答案：
（1）解：由题意，除尘后总成本为：
，
∵当日产量
时，总成本
，代入计算得
；
（2）解：由（1）
，
总利润
每吨产品的利润
，
当且仅当
，即
时取等号，
∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．
【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合所给的函数模型求出k的值。
（2）利用实际问题的已知条件结合所给的函数模型，用均值不等式求最值的方法求出除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元。
21.答案：
（1）解：符合条件的是f(x)＝ax＋b.
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6,
f(3)＝10,
f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
?若模型为f(x)＝log
x＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．
?由已知得
解得
所以f(x)＝
?x＋
?，x∈N.
（2）解：2015年预计年产量为f(7)＝
×7＋
＝13,
则2015年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1，
答：最适合的模型解析式为f(x)＝
?x＋
，x∈N
.2015年的实际产量为9.1万件
【分析】（1）由题中数据可以判断最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b；
（2）由f(x)＝ax＋b，先求出x=7时的函数值，再减少
，可确定2015年的年产量．
22.答案：
（1）解：根据题意摩天轮从最低点开始，
后达到最高点，
则
转一圈，所以摩天轮的角速度为
.
则
时，人在点
处，则此时转过的角度为
.
所以
.
（2）解：登上摩天轮到旋转一周，
则
，
人与地面距离大于
，
即
，
所以
，
由
，解得
，
所以人与地面距离大于
的时间为
分钟，
故有20分钟人与地面距离大于
.
【分析】（1）计算
，得到
时，转过的角度为
，得到解析式.（2）解不等式
得到答案.
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