2021中考数学备考经典微专题 与直角三角形关联性问题的解题策略 学案（技巧+满分解答）

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与直角三角形关联性问题的解题策略
本文结合一道直角三角形的关联性问题，谈谈解答此类问题的策略及变式训练，旨在培养思维的灵活性和发散性.2·1·c·n·j·y
一、题目
已知，点是直角斜边上一动点(不与重合)，分别过点向直线作垂线，垂足分别为为斜边的中点.21·世纪*教育网
(1)如图1，当点与点重合时，与的位置关系是 .与的数量关系式 ;2-1-c-n-j-y
(2)如图2，当点在线段上不与点重合时，试判断与的数量关系，并给予证明;
(3)如图3，当点在线段(或)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
二、解题策略
这类题有三个特点:
1.综合性，往往把数学的多个知识点联系起来，考查学生的知识全面性和灵活性.
2.关联性，一个题干，三个独立又关联的题目，解题思路也就具有关联性，这一点非常重要，掌握这个思维方法，此种题目也就化繁为简了.
3.层次性，三个分题是由易到难，又简单到复杂.
策略分析
对于关联性的问_é?????è??è????????_谓关联性，不仅题目之间有类同性，更是思维方法也是类同的，说得明白点就是解答思路是一致的，如此而已.也就是说，第(1)题的解答方法，用于解答第(2)题，第*(2)题的方法用于解答第(3)题.千万不要割裂关联性，三个题目用各自的三个方法独立解答，这是非常错误的思维，会把简单的间题复杂化，走入死胡同
第(1)问，很显然.用，这一问，一般同学都能做出来.
第(2)问，如何证明呢?很简单，按第(1)问的思路，找全等三角形.这样就有两条路子，一是和哪个三角形全等，二是和哪个三角形全等，下一步通过作辅助线的方法构成三角形和已知三角形全等即可.可以延长与交于点,证，推出，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可.当然也可以延长和交于点，证明.
注 证明千万不要通过中两个底角相等去证明，也不可连结证明.想想这是为什么呢?很显然这个思路和问题1思路没有关联性.事实上这两个思路也根本行不通.【来源：21cnj*y.co*m】
第(3)问，解答思路基本和第(2)问是一样的，也有两种方法.通过作辅助线证明或.[来
下面给出第(2), (3)问的具体解答过程.
解答 (2)，证明如下:
如图4，延长交于点.
.
在和中，
，.
,是直角斜边上的中线，
，即.
(3)(2)中的结论仍然成立，证明如下:
如图5，延长、交于点.
为中点，.
.
在和中，
.
是斜边上的中线，
.
三、变式训练
本题考查的是全等三角形和直角三角形斜边定理的运用.从解题过程看，忽然发现题干中直角这个条件并没有用到.是不是属于干扰信息，会不会对学生会造成一定的误导，这在中考题中确实少见.虽然对解题没有影响，但会误导学生的解题思路，甚至让学生觉得直角这个条件没有用上而怀疑自己解题的正确性，从而白白的消耗了宝贵的考试时间.21cnjy.com
对于一个好题，若仅仅解答完毕就结束，甚是可惜.好题就应该充分利用，挖掘其中的价值，让好题价值最大化.此题可进行如下变式训练.
变式1 把原题中直角三角形改成任意三角形，而其它条件不变，题目也不变.
显然，解答策略和思路同上文，不再赘述.[
变式2 把已知和证明互换一下，因果倒置，看看结论是否成立.
已知:点是直角斜边上一动点(不与重合)，分别过点向直线作垂线，垂足分别为是线段上一点，且.
(1)如图1，当点与点重合时，求证为斜边的中点;
(2)如图2，当点在线段上不与点重合时，试判断是否是中点，并给予证明;
(3)如图3，当点在线段(或)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明
分析 这是一组具有关联性的题目，解答思路是一致的.也就是说，第(1)题的解答方法，去解答第(2)题，第二题的方法解答第(3)题.
下面我们验证一下，关联性问题的解题思路用于变式训练中还一样有用吗?
第(1)问，要证是的中点，只要证明就可以了.这证明很简单，不再赘述.
第(2)问，根据第(1)问的思路，也要证明两个三角形全等即可.可以画辅助线构成就行.
如图4，在线段找一点使.因为，所以，而且，全等条件已经有两个了，再找出一个对应角相等就行了.看看是否等于?

,
.
到此，，大功告成.
第(3)问，方法同第(2)问.
变式3 如果把“过向直线作垂线，垂足分别为，这个条件再大胆改动一下，结论还成立吗?
已知:点是直角斜边上一动点(不与重合)，分别过向直线作一个角，交点分别为，使,且不等于90度，为斜边的中点.21*cnjy*com
(1)当点与点重合时，与的位置关系是 ,与的数量关系式 .【版权所有：21教育】
(2)当点在线段上不与点重合时，试判断与的数量关系，并给予证明.
分析第(1)问结论依然成立.
第(2)问中.理由如下:
先找全等三角形.
延长交于点,
则有，那么.
假设,
那么，则有.
在中，有,
则,
这与已知条件相矛盾，
所以.
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