2021中考数学备考经典微专题 对三角形内接矩形问题的探究 学案（技巧+满分解答）

中小学教育资源及组卷应用平台
对三角形内接矩形问题的探究
题目 一张等_è?°???è§??????????_，底边长15cm，底边上的高长22. 5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )21世纪教育网版权所有
(A)第4张 (B)第5张 (C)第6张 (D)第7张21教育网
分析 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结果.
解 已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3,
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为，
则3，解得，
所以另一段长为22. 5－4. 5=18.
因为18÷3=6，所以是第6张.
点评 本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用.
以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展.
引申 如图2，在中，.四边形为
的内接正方形，求正方形的边长.
解析 作，再根据，可知∽，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作，交于点,交于点.
在中，
.
∽，.
设正方形边长为,
则.
变式1 如图4 , 内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于，求正方形的边长.21cnjy.com
解析 在图5中作，交于点，交于点.
∽,.
设每个正方形边长为,
.
变式2 如图6 , 内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于，求正方形的边长.21·cn·jy·com
解析 作，交于点，交于点，易知，∽;根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长为:
变式3 如图7，按前面的规律，当有n个相等的正方形时，探求正方形的边长.
解析 设每个正方形的边长为，同理
得:，则.
变式4 如图8，直角中，从左向右
依次作正方形、、，若、的边长分别为、，请你用含、代数式表示的边长.
解 如图9所示，
根据条件可以得到∽,
.
而,
,
正方形的边长是.
评注 一题多变，_???????????????é??_”之上的多变，在“继承”原题的部分条件或结论的同时，还应将“原题”的分析与求解的历程适度延续，在知识的应用、技能的训练或思想的渗透等方面应略高于原题.所以，设计好基于“原题”的变式题，将有利于提高分析问题和解决问题的能力.www.21-cn-jy.com
拓展 如图10，在锐角三角形中，=12 , 的面积为48,分别是边上的两个动点(不与重合)，且保持，以为边，在点的异侧作正方形.2·1·c·n·j·y
(1)当正方形的边在上时，求正方形的边长;
(2)设与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，写出的取值范围，并求出的最大值.
解析 (1)当正方形的边在上时，如图10，过点作边上的高,
交于，垂足为.
.
∽,
.
而 ,
，解之得=4. 8.
当正方形的边在上时，正方形的边长为4. 8.
(2)分两种情况:
①当正方形在的内部时，
如图9,与正方形重叠部分的面积为正方形的面积.
,
此时的范围是;
②当正方形的一部分在的外部时，
如图10，设与交于点与交于点的高交于.
∽,即.
而,
解得.
所以，
即,
3一
由题意， ，且,
所以.
因此与正方形重叠部分的面积需分两种情况讨论:
当时，与正方形重叠部分的面积的最大值为4. 82=23. 04 ;
当时，因为,
所以当时，与正方形重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值为.
所以，与正方形重叠部分的面积的最大值为24.
点评 本题主要考查了二次函数，平行线以及正方形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案.
变式型的数_?????????è??è?????_一种思维广度的训练，在这种思维广度训练中，涉及的知识点是在具体问题情境中给予展示的，这种练习对于学生解决问题思维的全面性是一种有效的促进.但仅仅依赖一题多变还无法形成知识的全方位梳理，将一题多变引入到中考试题中，恰恰达到了这样的效果，同时也达到了发展能力的培养要求.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_