2021中考数学备考经典微专题 对一道中考填空题的解法探析 学案（技巧+满分解答）

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对一道中考填空题的解法探析
中考试卷中的一道填空题，看似简单，但却是简约而不简单，它可从不同角度思考，添加不同的辅助线，从而使解法多姿多彩.2·1·c·n·j·y
一、试题呈现
已知:如图1, 、分别是的中线和角平分线， ，则的长等于 .
此题是以_???è§???????è?????_，中线、角平分线为依托，综合考查了中线性质、角平分线性质、等腰三角形等重要知识点，以及构造相似三角形、全等三角形、特殊四边形等解决问题的能力，综合性较强.本文整理、归纳了几种不同的解法，供大家参考.21cnjy.com
二、解法探析
本题属于一道中档填空题，_??·????????????é??_度，思维含量较高.根据题意，解答时可从中点的角度入手，联想到中线倍长法、构造中位线等，由垂直可构造平行线或特殊四边形等，从不同的角度思考、分析，可以探索出多种解题的思路，现列举如下.
1.从添一条辅助线入手
思路1 利用中点的特殊条件，构造新三角形求得的长.
如图2，注意到点是的中点，所以过点作//交于点.由题惫知，是的中点，进而易知、是的三等分点，且，所以，所以.当然，过点作//交于点(如图3)，也是一种通法，留给读者思考.
思路2 利用内角平分线的性质，再运用面积算两次可求得的长.
如图4，注意到是角平分线，又，所以.由内角平分线性质，可得.由条件易得，所以，所以，所以.又，进而求得，由勾股定理可得，所以.21·cn·jy·com
说明 上述两种解题思路，都是根据条件中有些特殊的点(如中点)、有些特殊的位置(如
垂直)等进行添辅助线.思路1侧重于构造“A字型”的方法;思路2侧重于构造三角形全等及面积相等的方法，然后通过线段间的数量关系求得答案.
2.从添两条辅助线入手
思路3 利用中点的特殊条件，构造A或8字型可求得的长.
如图5，注意到点是的中点，所以过点作//交的延长线于点.由题意易得，由思路2知，，所以,进而求得.当然，过点作交的延长线于点(如图6)，也是一种常用的方法，留给读者思考.
说明 此解题思路关注到点是的中点，构造三角形全等或中位线，巧妙地得到与相关的直角三角形求解.21教育网
思路4 利用平行线截得的线段成比例、构造平行线可求得的长.
如图7，由于，所以过点作，交的延长线于点.因为点是的中点.所以，所以.因为，所以∽,得，所以，所以.
说明 此解题思路实际上是构造了“双”型的相似三角形，即∽和
∽，然后通过的桥梁加以转化，进而问题得以解决.当然，添平行线的方法还有很多种，如过点作(如图8)，有兴趣的读者不妨试试.21·世纪*教育网
3.从添三条辅助线入手
思路5 利用中线倍长的方法，构造特殊四边形可求得的长.
如图9，由于，且是的角平分线，所以是中线，因此延长,
使，连结.则，所以可得，所以∽，所以.
由思路2知，，所以.
思路6 利用中线倍长的方法，构造特殊四边形可求得的长.
如图10，由于是的中线，因此延长，使，连结、，则，所以，所以∽，所以
.由思路2知，，所以，所以.
说明 上述两种解题思路_???é??????????????_件中有些特殊的点(如中点)，构造出特殊四边形.思路5侧重于构造菱形的方法;思路6侧重于构造平行四边形的方法，然后通过相似得到线段间的数量关系求得答案.
综上可以看出，每个优_?§??????°???é?????_中都包含着大量基础知识、基本方法与技巧策略，都蕴含着数学的方法、思想等本质.因为是“典型”题目，其必定包含有不同的解决方法，方法越多，对显性知识技能的训练就越到位，解决此类题目可以达到“知识与方法”同步提高的效果.在教学中，我们首先要注重通性通法，其次才是研究最优解法，然后要对研究的问题从知识技能、解题规律、思想方法等角度进行归纳、总结、反思，帮助学生积累解题经验，进而增加思维的宽度，达到解题效果的最大化.www.21-cn-jy.com
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