2021中考数学备考经典微专题 构造全等三角形解题 学案（技巧+满分解答）

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构造全等三角形解题
我们知道，正方形是特殊的平行四边形，它的四边相等，四个角都是直角．如果把它的边、角分别划分到适当的两个三角形中，再构造一对边或角的关系，就可以证明这两个三角形全等，进而证明相关的问题．21cnjy.com
一、延长线段构造全等三角形[
例1 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F是AD、DC上的点，且∠EBF＝45°，求证：EF＝CF＋AE．www.21-cn-jy.com
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分析 欲证明EF＝CF＋AE，应先构造出CF＋AE．为此可延长EA到G，使AG＝FC，于是可得到CF＋AE＝GA＋AE＝GE．连结BG，可构造出△GAB≌△FBC，故∠1＝∠2．再由∠EBF＝45°．可知∠2＋∠3＝45°，所以∠1＋∠3＝45°．然后可证△GBE≌△EBF，从而有EF＝GE，于是命题得证
例2 如图2所示，E是DC的中点，F是CE的中点，求证：∠FAB＝2∠DAE．
分析 要证明∠FAB＝2∠DAE，即证明∠FAB＝∠DAE＋∠DAE．为此可在∠FAB中构造∠DAE．21·cn·jy·com
如图2，_è??BC?????????_为M，连结AM，则∠BAM＝∠DAE，设∠BAM＝∠l，∠FAM＝∠2，这样需证明∠l＝∠2．[来源:学#科#网Z#X#X#K]21世纪教育网版权所有
延长AM与DC的延长线交于点N．
∵M是BC的中点，DN∥AB，
∴△NCM鲨AABM，∴∠1＝∠3．
以下设法证明∠2＝∠3，这只需证明AF＝FN．
设正方形边长为a，则FN＝a．
在Rt△ADF中，
AF＝＝a．
∴AF＝FN，命题得证．
二、通过平移构造全等三角形
例3 如图3所示，正方形ABCD中，AE⊥DM，求证：AE＝DM．
分析 要证AE＝DM，只需证△ADE≌△DCM．由图3可知
AD＝DC，∠ADE＝∠DCM．
又因为AE⊥DM，可得∠1＋∠2＝90°．
在Rt△ADE中，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠3，因此△ADE≌△DCM．
例4 如图4所示，正方形ABCD中，AE上MN，求证：AE＝MN．

分析1 比较图3、图4，结合已知条件，可知本题的不同之处在于图4中的MN没有通过正方形的顶点．只需将MN平移使得其通过D点，这样构造出△DCM1就与图3中的形状一样，再利用上例即可获证．[来源:学科网ZXXK]21教育网
分析2 也可平移DC使其通过N点，构造出△M2NM，再证明△ADE≌△M2NM．
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