2021中考数学备考经典微专题 构造全等三角形求解几何题 学案（技巧+满分解答）

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构造全等三角形求解几何题
在解决几何问题时，_????????????è???¤?_根据图形特征，通过添加辅助线构造全等三角形，并利用全等图形的性质，不仅可使问题迎刃而解，而且有助于创新思维的培养，提高数学思维能力和分析能力，现举几例供大家参考．
一、有角平分线时常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
例1 如图1，△ABC中，AD是∠A的平分线，且∠C＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD．
分析 要证明A_B???AC???C_D，需把不在一条直线上的两条线段AC、CD转化到同一条线段AB上，为此要借助全等三角形或等腰三角形的有关性质来解决问题．www.21-cn-jy.com
证明 在AB上截取AE＝AC，连结DE．

∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD．
即AB＝AC＋CD．
点评 当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截相等的线段，构造全等三角形，为证明创造相等条件．
二、三角形中出现中线时常加倍中线，构造全等三角形
例2 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的长的取值范围是_______．
分析 确定中线AD的长的取值范围必然和△ABC的两边AB、AC的长有联系，这就使我们联想到三角形的三边关系定理：“两边之和大于第三边且两边之差小于第三边．”而线段AB、AC、AD不在同一三角形中，因此需要把它们转化到同一三角形中．
解析 如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．
可证得△BED≌△CAD ，
∴BE＝AC＝3．
由三角形的三边关系定理，知
AB－BE 即AB－AC<2AD ∴5－3<2AD<5＋3．
∴1 ∴BC边上的中线AD的长的取值范围是
1 点评 当题中涉及中线时，常加倍中线构造全等三角形，把分散的条件集中，为解决问题创造有利条件．
三、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段构造全等三角形
例3 如图3，在△ABC的边AB上取一点E，在CA的延长线上取一点D，使AD＝AE，且DE的延长线经过BC的中点F．求证：EB＝CD．

分析 在已知图形_????????????BE_、CD为一对对边的全等三角形，因此，必须通过添加适当的辅助线，构成全等三角形，将BE、CD转化到同一个三角形中，利用等腰三角形的性质来证．
证法一 延长DF到点G，使FC＝DF，连结BG(如图4)．
易证△BFG≌△CFD，∴BG＝CD．
欲证EB＝CD，只需证BG＝BE，
为此，只需证∠BEG＝∠C．
具体证明过程请同学们自行完成，
证法二 延长EF到点G，使FG＝EF，连结CG(如图5)．证明思路与证法一相同，证明略．
点评 当涉及到以线段中点为端点的线段时，可通过加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散条件集中．在本题中，我们也可直接构造全等三角形证明EB＝CD．方法有两种：过点B作BC交DF的延长线于点G(如图6)，使∠EBC＝∠DCF，只需证△EBG≌△DCF即可；或过点C作CG交DF于点G（如图7），使∠DCG＝∠EBF，只需证△DCG≌△EBF即可．
四、截长补短法构造全等三角形
例4（同例1）：
证法1 在AC的延长线上取一点E，使AE＝AB，
连结DE（如图8）．
在△ABD和△AED中，由“边角边”可证得
△ABD≌△AED，故∠E＝∠B．
然后再证CD＝CE即可．
证法2 在AC的延长线上取一点E，使CE＝CD，
连结DE(如图8)．
只要证出△ABD≌△AED即可．
点评 在解线段和差问题时，可采用“截长补短”作辅助线的方法，构造全等三角形，借助全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上，使解决问题的思路清晰明朗．
五、有高时常以高线为对称轴将图形对折，构造全等三角形
例5 如图9，在AABC中，∠C＝2∠B．AD是高．求证：AC＝BD－CD．
[
证法1 在线段DB上取一点E，使DE＝CD，连结AE(如图9)． ，
可证得△ACD≌△AED．
∴AE＝AC．∠AED＝∠C．
又∠C＝2∠B．
∠AED＝∠B＋∠BAE，
∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE，
∴BE＝AC．
又BE＝BD－DE，∴AC＝BD－CD．
证法2 在BC的延长线上取一点E，使DE＝BD，连结AE(如图10)．以下证明由同学们完成．
点评 当题中以三角形的高线为条件时，常以高线为对称轴将图形对折，构造全等三角形，这样可使分散的条件集中起来．21cnjy.com
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