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含中线问题的辅助线作法
初中几何问题中有一类含_????????????é?????_,往往图形中找不到全等三角形,使不少同学感觉无法入手.此时只要适当作出辅助线,问题便可迎刃而解,这里举例分析,供同学们学习参考.
例1 已知△ABC中,AB=5,AC=9,AD是BC边上的中线,求线段AD的取值范围.[来源:学科网]
分析 一个三角形只_???é????¤è?????é??_度,这个三角形是不确定的,则它的第三边上的中线也随着变动,长度也不固定.我们作出一个示意图来帮助分析,如图1.21世纪教育网版权所有
图形中显然没有全等的三角形.AB,AD,AC三线段也不构成三角形,不可用三角形的三边关系性质,作什么辅助线呢?[
如图2,延长AD到E,使DE=AD,连CE.
∵AD是中线,∴BD=DC,
又因为对顶角相等,
可得△ABD≌△ECD.
∴EC=AB=5.
此时对于△ACE,由两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的性质,得
4< AE<14.
而由作图知AD=AE,
∴2
小结 中线延长相等后,必出现全等三角形.(连CE或连BE效果是一样的.)
例2 已知△ABC中,AB=4,AC=6,AD是BC边上的中线,AD=,求△ABC的面积.
分析 与例1的思路一样,构造全等三角形△ACE.则有
CE=4,AC=6,AE=2AD=2.[来源:Zxxk.Com]
因为42+62=(2)2,由勾股定理逆定理知,△ACE
是直角三角形.
∴∠ACE=90°,S△ACE=4×6÷2=12,
则S△ABC=S△ACE=12.
注 以上都是将三角形的中线延长构造全等形,事实上,只要经过中点的线段,都可以延长到相等线段的位置,则必定得到两个三角形全等.
例3 如图4,已知△ABC中,D是BC边上的中点,ED⊥DF,连EF,求证:BE+CF>EF.
分析 延长ED到G,使得DG=DE,连CG,FG.
则△BED≌△CGD,∴BE=CG,
这样BE变换到CC了.[来源:Zxxk.Com]
又∵DG=DE,FD⊥ED,∴FD是EG的中垂线,FE=FC,这样FE又变换到FG了.此时CG,CF,FG是同一个三角形的三边,由两边之和大于第三边,得CG+CF>FC,
即BE+CF>EF,得证.
例4 如图5,梯形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD,E点正好是DC中点.求证:(1)AD+BC=AB;(2)BE⊥AE.
分析 这种图形把AE和BC分别延长交于点F就行了,可以构造相等和全等.
证明 (l)分别延长AE和BC交于点F
∵AD∥BC,∴∠2=∠F, ∠D=∠FCE.
∵E点是DC中点,∴DE=CE,
∴△AED≌△FEC,
∴AD=CF,AE=EF.
∵AE平分∠BAD,∴∠2=∠l,
∴∠1=∠F.
则B=BF,△BAF是等腰三角形,
∴AD+BC=CF+BC=BF=BA;
(2)∵△BAF是等腰三角形,且AE=EF,
∴BE⊥AE(等腰三角形三线合一).
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