2021中考数学备考经典微专题 换个角度出新路——一个折叠问题的另解 学案（技巧+满分解答）

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换个角度出新路——一个折叠问题的另解
题目 如图1，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连结EP．
(1)如图2，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长＝____cm；
②求证：EP＝AE＋DP．
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．
解 (1)①6；
②（图略）取EP中点G，连结MG．
梯形AEPD中，
∵M、G分别是AD、EP的中点
∴MG＝(AE＋DP)．
由折叠得
∠EMP＝∠B＝90°．
又G为EP的中点，
∴MG＝EP，
故EP＝AE＋DP．
(2)△PDM的周长保持不变，理由是：
如图1，设AM＝xcm，
则在Rt△EAM中，
由AE2＋x2＝(4－AE)2，
可得AE＝2－x2．
∵∠AME＋∠AEM＝90°，
∠AME＋∠PMD＝90°，
∴∠AEM＝∠PMD．
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AEM∽△DMP，
故△PDM的周长保持不变．
评注 此题以正方形的折叠为背景，以问题(1)为铺垫，设计了一个探究性问题(2)，试题有一定的难度．命题者提供的解法通过引入一个变元x，将相关线段用含x的代数式表示，再利用“相似三角形的周长比等于相似比”，使问题轻松获解，解法的确简洁、巧妙．
能否换个角度思考，用其它方法解决问题呢？借助波利亚语“以欧几里德方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的科学”，我们可以先利用第(1)问猜想出△PDM的周长不发生变化，结果为8恰好等于AD＋DC，从而将问题转化为证明“PM＝AM＋PC”，而这是日常教学中多见的几何问题，笔者给出下列几种解法，供读者参考
1、截长法
△PHD的周长不变，为定值8．证明如下：
如图3，过点B作BQ⊥MN，垂足为Q．
2、补短法
如图4，延长DC至Q，使CQ＝AM，
连结BQ、QM，
又如图5，延长DA至Q，使QM＝PM，连结BQ．
波利亚说过：掌握数学就是意味着善于解题．在数学教学中，解题活动是最基本的活动形式，学习数学，关键之一是学会解题，若我们能够通过采撷典型中考题，多角度探索考题的不同解法，体会各种解法的特点和优劣，深入挖掘考题的解题思路，发挥考题的最大效益，就一定能提高解题能力．
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