2021中考数学备考经典微专题 基本图形在中考几何中的应用 学案（技巧+满分解答）

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基本图形在中考几何中的应用
我们知道，教材中所选_???é??????????????_都是经过专家深思熟虑、精心筛选的，不少图形具有典型性和代表性，其性质的应用具有一般性，我们常把这些图形称为基本图形.如果我们在解题中能联想到这些基本图形及其性质，就能开启我们的解题思路，使问题得到快速、正确的解答.下面以中考真题为例说明.
例1 如图1,是的高，，求.
解 是的高,
在中，
.
在中,
，
.
例2 如图2，在中，，求.
解 过点作，垂足为,
则.
在中，
,
在中，
,
.
例3 如图3，平地上一幢建筑物与铁塔相距60m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为,测得铁塔顶部的仰角为,求铁塔的高度(精确到lm).
解 过点作于点，如图3,则四边形为矩形，
.
在中，
.
在中，
,
,
.
答:铁塔的高度约为95米.
上述图1中的、图2中的、图3中的都是非直角三角形，但在解题中可通过添加辅助线(作高)，将其转化为直角三角形求解.教材在这一章编排时出现了3次类似的图形和问题，从易到难、逐步加深，目的就是说明这个图形的重要性，我们要深刻掌握其中“化斜为直”的解题方法.下面请看近几年各地中考题中利用基本图形解决问题的例子.
题1 如图4，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离(即的长)为( )
(A) 4km (B) km (C) km (D) km
解 过点作于点，如图7.
在中，
,
.
在中，
,
,
,
即该船航行的距离(即的长)为，故选C.
题2 如图5，已知是面积为的等边三角形， ∽
与相交于点,则的面积等于 (结果保留根号).
解 是面积为的等边三角形，作交于点(如图5)，则
.
设,由，
解得.
.
过点作交于点，如图5.
∽,
,
.
设，
则.
，
解得.
.
题3 如图6，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正东方向，(单位:km).有一艘小船在点处，从测得小船在北偏西的方向，从测得小船在北偏东的方向.
(1)求点到海岸线的距离;
(2)小船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处，此时，从测得小船在北偏西的方向，求点与点之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)
解 (1)过点作于点，如图6.设 km，由题意，可知
，
在中， .
在中， .
.
答:点到海岸线的距离为()km.
(2)如图6，过点作于点.
在中，.
在中，.
在中， .
答:点与点之间的距离为km.
题4 如图7，已知.按如下步骤作图:①以为圆心，长为半径
画弧;②以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点;③连结，与交于点，连结.若，求的长.
解
≌.
,
，即.
在中，
.
在中，
.
,
,
解得.
题5 如图8，四边形与四边形都是菱形，其中点在上，点分别在上，若，则= .
解 ，四边形与四边形都是菱形，
,
.
过点作于点，如图8，设，在中，
,
.
在中，
.
则.
题6 已知:如图9，在中，是边上一点，圆过三点， .(1)求证:直线是圆的切线;(2)如果，圆的半径为2，求的长.
解 (1),
.
,
,
,
直线是圆的切线.
(2) ,
.
,
.
作于点，如图9,
则,
.
.
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