2021中考数学备考经典微专题 截长补短法的应用 学案（技巧+满分解答）

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截长补短法的应用
在证明几条线段间的数量关系时，截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法，也是化难为易的基本方法．21世纪教育网版权所有
一、截长法
1、要证明一段长线段等于两个小线段的和，用截长法在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等．21·cn·jy·com
例1 如图1所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD．[来源:学科网ZXXK]www.21-cn-jy.com
分析 根据题意，可在AB上截取AF＝AC，再证FB＝DB，就有AB＝AF＋FB：AC＋BD．
证明 如图1，在AB上截取AF＝AC，连结EF．
在△ACE和△AEF中，
∵AC＝AF，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ACE △AEF，∠C＝∠EFA．
又∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°，
而∠EFA＋∠EFB＝1800，
∴∠EFB＝∠D(等角的补角相等)．
在△FBE和△DBE中，
∵∠DBE＝∠FBE，BE＝BE，
∠D＝∠EFB，
∴△FBE≌△DBF．∴FB＝DB，
∴AB＝AC＋BD．
2、要证明边长和或差的数量关系，有时直接证明会很难，甚至无从着手，只要我们认真分析，通过截长法，把相关的线段转移到一个三角形中，思维会豁然开朗，问题会迎刃而解．
例2 如图2所示，△ABC中，D是∠A平分线上的点，AB>AC，求证：AB－AC>BD－CD．
分析 本题直接证明有些难，因为AB－AC和BD－CD之间没有直接的线段可利用，
这就需要找个中间线段作过渡，不妨在AB边上截取AE＝AC，那么AB－AC＝BE．若ED＝CD，那么BD－CD 证明 如图2，在AB边上截取AE＝AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD．
在△AED和△ACD中，
∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△AED≌△ACD．ED＝CD．
在△BED中，
∵BD－ED ∴AB－AC＝AB－AE＝BE
> BD－ED＝BD－CD，
∴AB－AC>BD－CD．
二、补短法
就是将一个已知的较短线段，延长至与另一个已知的较短线段的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．对于具体问题，有时通过截长补短法，可构成某种特定的三角形来求解．2·1·c·n·j·y
1、中线倍长，构造全等三角形
中线倍长就是把三角形的中_??????é???????????_长的线段等于原中线的长，想法构造全等三角形，使原来不在一个三角形的线段集中到一个三角形中，再根据题目已知条件进行求解．
例3 如图3，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围．

分析 欲求AD的取值范围，联想到三角形三边的关系，必须设法把AB、AC、AD转移到同一个三角形中，故可以延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，若能证△BDE≌△CDA，则有BE＝AC．而AE＝2AD，在△ABE中不难求出AE的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
解 延长AD到E，使DE＝AD，连结BE．
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．
在△BDE和△CDA中，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，
∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC＝8．
在△ABE中，
AB－BE 12－8<2AD<12＋8，
∴2 评注 本题中，把三角形一边的中线延长，构造全等三角形，把分散的条件集中到一个三角形中，这是解决中线问题的常用方法．21·世纪*教育网
2、利用补短法构造等腰三角形
这是几何证明常用的方法，它是把较短的线段延长，再根据角的关系，找出等腰三角形，通过腰相等进行转换，把两条线段转移到一条线段上来，最后利用三角形全等，使问题的结论水落石出．[来源:学。科。网Z。X。X。K]www-2-1-cnjy-com
例4　如图4，已知AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC．
分析 欲证AB＋BD＝AC，可以延长AB到E，使BE＝BD，然后再证△AED≌△ACD．得出AE＝AC．21cnjy.com
证明 如图4，延长AB到E，使BE＝BD，连结DE，∴∠E＝∠BDE．
∵∠ABC＝2∠C，
∠ABC＝∠E＋∠BDE，
∴2∠E＝2∠C．∠E＝∠C．
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
在△AED和△ACD中，
∵∠BAD＝∠CAD，
∠E＝∠C，AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，
∴AB＋BE＝AC．
即AB＋BD＝AC．
另证 本题_è??????????¨AC_边上截取AF(如图5)，使AF＝AB，这样△ABD≌△AFD，再证△DFC为等腰三角形，从而有BD＝DF＝FC，则AB＋BD＝AF＋FC＝AC．[来源:学科网]
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