2021中考数学备考经典微专题 聚焦中考数学规律探究性问题 学案（技巧+满分解答）

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聚焦中考数学规律探究性问题
一、新定义型
例1 我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－1（即方程x2＝－1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝（－1）·i＝－i，i4＝（i2）2＝（－1）2＝1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可得j4n＋2＝－l，i4n＋3＝－i·i4n＝1，那么，i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2012＋i2013的值为( )
(A)0 (B)l (C)－1 (D)i
解析 ∵i＋i2＋i3＋i4
＝i－l－i＋l＝0．
而2013＝4×503＋1，
i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2012＋i2013＝i．
所以本题选D．
方法指导 对于数字规律题，有如下的步骤：
(1)计算前几项，一般算出四五项；
(2)找出前几项的规律，这个规律或是循环，或是成一定的数列规律如等差，等比等；
(3)用代数式表示出规律或是得出循环节（即几个数一个循环）；
(4)验证你得出的结论．
归纳总结 新定义_???é??é??????????¨_试题中给出一个从未接触过的新概念，要求现学现用，主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新能力．解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质．【来源：21·世纪·教育·网】
二、数式规律型
例2 观察下列各式的计算过程：
5×5＝0×l×l00＋25，[来源:学_科_网]
15×15＝1×2×l00＋25．
25×25＝2×3×l00＋25．
35×35＝3×4×l00＋25．
……
请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为____．
解析 根据数字变化规律得出个位是5的数字与它本身的乘积等于十位数乘以十位数字加1再乘以100再加25，进而得出答案．21教育网
[10(n－1)＋5]2＝100n(n－1)＋25．
方法指导 此题主要考查了数字变化规律，根据已知数字得出数字之间的变与不变，是解题的关键．
归纳总结 通常给定一些代数式，等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是，先写出代数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中的不同数量关系），或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系），找出各部分的特征，写出符合条件的格式．21·世纪*教育网
三、图形变化规律型
例3如图1，每一_??????????????????_若干个正方形．第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；…按这样的规律下去，则第(6)幅图中含有____个正方形．[来源:学科网]www-2-1-cnjy-com
解析 第①幅图中含有1个正方形；
第②幅图中含有5个正方形；
第③幅图中含有14个正方形…
又l＝12；5＝12＋22；14＝12＋22＋32…．
可知第⑥幅图中含有12＋22＋32＋42＋52＋62
＝91个正方形．
方法指_???__é????????_分类讨论正方形的类型及个数，做到不重不漏，是发现规律的关键；其次，探究数据之间的联系及规律，要将数据作恰当的分解．2-1-c-n-j-y
归纳总结 图形变化型问题主要是观察
图形变化过程中的特点，分析其联系和区别，利用相应的算式，由特殊到一般描述其中的规律，这需要有敏锐的观察能力和计算能力．21*cnjy*com
四、点坐标变化规律型
例4_??????2?????????_正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是_______，A22的坐标是______．
解析 由于22÷3＝7余_1???è??A1???_坐标为（－1，－1），A4的坐标为（－2，－2），A7的坐标为（－3，－3），…，可得A22的坐标为(－8，－8)．
方法指导 解决数字规律或图形规律问题时，用表格上下把数的序号及图形的序号表示出来，再在后面写出它的结果，这样容易看出其中的规律．21cnjy.com
归纳总结 此类题型主要考查点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律是解答本题的关键．21*cnjy*com
五、数形结合规律型
例5如图3，动点P从_(0???3)???_发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )
(A)(1，4) (B)(5，0) (C)(6，4) (D)(8，3)
[来源:Zxxk.Com]
解析 如图3，动点P(0，3)沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角，到①时，点P(3，0)；到②时，点P(7，4)；到③时，点P(8，3)；到④时，点P(5，0)；到⑤时，点P(1，4)；到⑥时，点P(3，0)，此时回到出发点，继续…，出现每5次一循环碰到矩形的边．因为2013＝402×5＋3(2013÷5＝402…3)，所以点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为(8，3)．故选D．
方法指导 本题考_??????????????????_（轴对称）与平面直角坐标系规律探索，是以平面直角坐标系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题．解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律．
归纳总结 方格图中的规律探究问题，体现了数与形的完美结合，展示了数学的美，这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力，解决这类问题要求学生不仅要有很好的数感，还要有很强的图形意识．
六、阅读理解型
例6对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．
例如，如图4(1)，△ABC∽△A'B'C'，且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相同，因此△ABC和△A'B'C'互为顺相似；如图4(2)，△ABC∽△A'B'C'，且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相反，因此△ABC和△A'B'C'互为逆相似．www.21-cn-jy.com
[来源:Z&xx&k.Com]
(1)根据图5(_1)??????5(_2)和图5(3)满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ．其中，互为顺相似的是____；互为逆相似的是 （填写所有符合要求的序号）
[来源:学科网]
(2)如图6_?????¨é??è§?AA_BC中，∠A<∠B<∠C，点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似，请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．21·cn·jy·com
解析 (1)①②；③．
(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况．
第一种情况：如图7(1)，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使∠CPQ1＝∠A，∠BPQ2＝∠A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似．
第二种情况：如图7(2)，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM＝∠A，BM交AC于点M．2·1·c·n·j·y
当点P在AM(不含点M)上时，过点P．只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q＝∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；【出处：21教育名师】
当点P在CM上时，过点P_2???è????????2_条截线P2Q1、P2 Q2，分别使∠AP2Q1＝∠ABC，∠CP2Q2＝∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．
第三种情况：如图7(3)，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD＝∠A，∠ACE＝∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．
当点P在．4D(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q＝∠ABC，此时△AQP，与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2 Q2，分别使∠AP2Q1＝∠ACB，∠BP2Q2＝∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；21世纪教育网版权所有
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q'，使∠BP3Q'＝∠BCA，此时△Q'BP3与△ABC互为逆相似．
方法指导 本题是创新型中考压轴题；主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中“顺相似”、“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．
归纳总结 这类题型_???è??è???????????_自学能力和阅读能力、知识迁移能力、加工和利用信息的能力．要求学生运用范例，形成科学的思维方式和思维策略，或利用归纳与类比作出合理的判断和推理，找出规律，进而解决问题．【来源：21cnj*y.co*m】
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