2021中考数学备考经典微专题 利用几何变换解题 学案（技巧+满分解答）

中小学教育资源及组卷应用平台
利用几何变换解题
全日制义务教育数学新课程标准顺应几何推理要求发生的变化，将以往的“几何”拓广到“空间与图形”，增加了图形与变换的内容，让学生的思维从静态的图形转向动态的变化，图形与变换的内容主要包括图形的轴对称变换、平移变换、旋转变换以及图形的相似变换．前三种变换本质是保持两点间的距离不变，从而使变换图形的大小和形状不改变；而相似变换会改变图形的大小，但不改变形状利用变换解决问题，关键就是利用变换的不变性优化问题隐含的条件，给问题的求解带来机遇，本文举例说明，希望对同学们的学习有启迪作用．[来源:学&科&网]21教育网
一、旋转变换
例1　 如图1，在△_ABC?????????_ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB边上，连CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连结AE．
(1)求证：AE⊥AB；
(2)若BC＝AD．AB，求证：四边形ADCE为正方形．
解 (1)由∠ACB＝90°，AC＝BC，知
∠CAB＝∠CBA＝45°，且线段BC绕点C顺时
针旋转90°至AC；又CD绕点C顺时针旋转90°
至CE位置，故△BCD绕点C顺时针旋转90°
得△ACE，∠CAE＝∠CBA＝45°．
∴∠CAB＋∠CAE＝45°＋45°＝90°，
即AE⊥AB．
(2)略．
点评 对题设中含有等腰_???è§?????????????_形的几何问题，常采用旋转变换考察，本题第(1)小题也可以用全等三角形论证，但论述不如从变换的角度考察问题来得方便．2-1-c-n-j-y
例2　 探究 如图2，_??¨???è?????AB_CD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．
拓展 如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为_______．
解 探究 因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以Rt△AED绕点A顺时针旋转90°得
△AFB，
AF＝AE，∠EAF＝90°，
∠AFB＝∠AED＝90°．
又∠ABF＋∠ABC
＝∠ADC＋∠ABC＝180°．
得点F在CB的延长线上，所以，四边形AECF为正方形．
∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝102＝100．
拓展 将△ACD绕点A顺时针旋转∠BAC得△AFB，则∠ABF＝∠ADC．
由　∠ABC＋∠ADC＝180°，得
∠ABF＋∠ABC＝180°．
点F在CB的延长线上，
∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC
＝S△ABF＋S△ABC
＝S△ACF＝×(10＋6)×19
＝152．
点评 例1_?????¨é??è????????_出变换，探究生成图形的性质；例2则需要我们根据问题的特征主动出击，创造性地设计和利用适当的变换解决问题，难度有所提升．2·1·c·n·j·y
二、平移变换
例3 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝3，AC＝，BD＝，求此梯形的面积．
解 将BD沿BC方向平移到CE，则四边
形BCED为平行四边形，且由AD∥BC知，点
E在AD的延长线上，于是，
CE＝BD＝，
AE＝AD＋DE＝AD＋BC＝3．
又AC＝，有AC2＋CE2＝AE2，
∴AC⊥CE．
设点C到直线AD的距离为h，则

例4 如图5，△ABC三条中线AD、BE、CF交于点G，且AD＝15，BE＝9，CF＝12，求BC边的长．
解 将BC沿GC平移到HC，则四边形
BGCH为平行四边形．连HD，由D是BC的中
点，知G、D、H三点共线，且DH＝DG．
由G为△ABC的重心，可得
CD＝AD＝5，
BC＝BE＝6，CG＝CF＝8，
于是，GH＝2DC＝10．
CG＝8，CH＝BC＝6．
从而GH2＝CG2＋CH2，
得CG⊥CH．
由CD为Rt△GCH斜边上的中线，得
CD＝GH＝5，BC＝2CD＝10．
点评 平移变换常与平行线、中线等问题有关，例3、例4都是利用平移变换将已知条件适当集中，使隐含条件得到充分展示，方便了问题的解决；例4还利用了三角形重心的基本性质，具有一定的综合性．
三、轴对称变换
例5 如图6，在等腰Rt△ABC中，D、E是斜边AC上两点，满足∠DBE＝45°，求证：DE2＝AD2＋CE2．
分析 结论提醒AD、CE、DE首尾相连可构成直角三角形，我们可通过变换达到证明的目的．
证明 如图6，作AB关于AD的对称线段BF，连DF、EF，则[来源:学科网]
∠DFB＝∠DAB＝45°，OF＝AD．
BF＝BA＝BC．
又∠EBF＝45°－∠DBF
＝45°－∠DBA＝∠DBC．
BE＝BE．
∴△BEF≌△BEC，
∵EF＝EC，∠BFE＝∠BCE＝45°．
∠BFE＋∠BFD＝90°．
∴DE2＝DF2＋EF2．
即DE2＝AD2＋CE2，得证．
点评 本题亦可用旋转变换来证明，具体过程请读者自己考虑，
例6 如图7，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，D是BC的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，且DF∥AE．试求CF的长．
分析 由AE为∠BAC的角平分线，可考虑用轴对称变换优化条件，降低问题处理的难度．
解 作C关于AE的对称点G，则由AE平分∠BAC，知点G在AB的延长线上，连CB、CG，并延长AE、FD交CG于点H、Q，作BP∥AE交CG于点P
由于GB＝AB＝1，GH＝HC，GP＝PH，PQ＝QC，设GC＝4a，则
PC＝3a，HC＝2a．
QC＝PC＝a．
由平行线的性质，得，
∴CF＝CA＝．
三、相似变换
例7如图8，P是等腰Rt△ABC内一点，已知∠B＝90°，∠APB＝135°，PA：PC＝1：3，则PA：PB＝( )2
(A)1： (B)1：2
(C)：2 (D)1：
解 如图8，作△ACQ∽△ABP，连PQ，则
故选B．
综上可见，利用几何变换_è§???????é????????_问题，是初中几何问题中一种重要的思想和方法，也是近年来中考命题的热点问题．各种变换都有其自身的优点和局限性，解题时需要我们根据问题的特征，选用合适的方法．www-2-1-cnjy-com
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_