2021中考数学备考经典微专题 利用线段长度的不同表示方式解题 学案（技巧+满分解答）

中小学教育资源及组卷应用平台
利用线段长度的不同表示方式解题
设，则、两点之间的线段长度一般为:
当两点的横坐标相同时， ;
当两点的纵坐标相同时， .
线段长度的不同表示方式可以简化解题过程，使问题变得简单而清晰，并轻松做到不重不漏.
一、简化分类讨论
例1 如图1，已知直线分别交轴，轴于点、，是抛物线上一个动点，其横坐标是，过点且平行与轴的直线交直线于点，则时，的值是 .
分析 点在抛物线上的位置不同，会使得点出现在点的上方或下方，以抛物线与直线的交点为分界，常规的思维方式是先求交点坐标，再根据点横坐标的不同取值进行分类讨论，但是这样的过程比较复杂，而且求得数据不易比较大小.换一种方式思考:只要线段的长度与相等，点的位置并不重要，由此可以将问题简化，只要求线段长度相等即可.21·cn·jy·com
解 点横坐标为，得，由已知得，根据两点间的距离，得，
.
当时，得，
即，
解方程，
得；
解方程，
得或.
所以的值是.
评注 本题如_??????????????????_取值范围来确定解的存在性就比较麻烦，而利用绝对值表示两横坐标相等的点以后，求解绝对值方程就可以简化比较和讨论的过程.
二、做到不重不漏
例2 已知在平面直角坐标系中，是坐标原点，以(1,1)为圆心的⊙与轴，轴分别相切于点和点，点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结交轴于点，设点运动的时间是秒(>0).21cnjy.com
(1)若点在轴的负半轴上(如图所示)，求证: ;
(2)在点运动过程中，设，试用含的代数式表示；
(3)作点关于点的对称点;经过、和三点的抛物线的对称轴交轴于点[来源:学&科&网]www.21-cn-jy.com
，连结.在点运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似?若存在，请直接写出的值;若不存在，请说明理由.21教育网
分析 (1)利用同角的余角相等，半径相等得到直角三角形的全等;
(2)根据(1)得到的全等三角形可知.由于的长度可能比1小，所以点可能在正半轴也可能在负半轴，但线段长度只与两点间的距离有关;
(3)由(2)知道点可能在正半轴也可能在负半轴，且关于的对称点也可能在正半轴或负半轴，从而导致点坐标的正负性不能确定.由于与都是直角三角形，只要对应直角边成比例即可，同样将问题转化为线段长度之比.【来源：21·世纪·教育·网】
解 (1)如图2，连结、.
根据⊙与轴，轴切于点、，得，且.
已知，得四边形为正方形，则.
又已知,
则易得,
所以≌，从而得F;
(2)由(1)中≌,
得.
根据的位置不同分类讨论:
当时，
,
消元，得；
当时，
,[
消元，得.
(3)由已知条件可得，从而得到、两点的中点.因与都是直角三角形，所以当∽时，有，即，2·1·c·n·j·y
得或.
当∽时，有，即，
得.
评注 由于点的位置不同会引起图形的变化，从而导致线段长度的表达式发生变化，若根据不同的位置画图再逐一分析必然要耗费时间，还容易漏解，但是用绝对值直接表示线段长度就省去了这些麻烦.www-2-1-cnjy-com
三、一箭双雕，思路清晰
例3 已知:抛物线交轴于点(点在点的左侧)，交轴于点，其对称轴为,抛物线经过点，与轴的另一个交点
为(5 ,0)，交轴于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)为直线上一动点，连结，当时，求点的坐标;
(3)为抛物线上一动点，过点作直线轴，交抛物线于点，求点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值.
分析 (1)先由对称轴求的函数表达式，由此求得两点的坐标，再结合
两点求得的函数表达式;
(2)设出点的坐标，利用两点之间的距离相等求解方程即可;
(3)抛物线与有两个公共点，在这两个交点之间的线段会有最大值，在另一个交点到点之间的线段也会有最大值，比较两个最大值的大小，确定最后的解.但是这样的思路在实际操作过程中会比较复杂，既要求两条抛物线的交点，还要根据不同的横坐标取值求最大值，若只是从线段的长度来考虑，问题又变得简单清晰了.21世纪教育网版权所有
解 (1)由，得,即.
令，得,即.[来源:Z+xx+k.Com]
由三点可得；
(2)设，由，得
，
，
所以，
解得，即(1，1);
(3)设点的横坐标为，则,
.
令，函数的对称轴是直线，则.
所以的最大值就是的最大值12.[来源:学科网]
评注 本题按照常规思路求解需要占用较多的时间，而借助两点间的线段长度不仅使过程简单，而且还轻松做到不重不漏，一箭双雕.[
在初中_??°???????????????_与抛物线相交是比较常见的一个问题，在这类题型出现的时候不妨考虑两点间距离.若有平行于坐标轴的线段长时可以考虑用绝对值表示，通过解二次方程或含绝对值方程简化过程，轻松做到不重不漏.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_