2021中考数学备考经典微专题 利用圆的相关性质作图 学案（技巧+满分解答）

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利用圆的相关性质作图
作图题是考查学生动手操作能力的重要题型之一．现在许多作图题不仅仅只停留在尺规作图、方格内作图上，更多的是要巧妙利用已学过的概念、性质、定理等知识作图，这大大加大了作图题的难度，也提高了学生知识的理解、掌握、运用程度．下面列举几道利用圆的相关性质来作图的题目，希望对同学们的学习有所启发．[来源:学,科,网]21教育网
例1 如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，D是圆上任一点，请你只用无刻度的直尺，画出∠D的平分线（用虚线表示）．21cnjy.com
分析 显然，这里不能用“作一个角的角平分线”这一尺
规作图的常规方法来作∠D的平分线，我们观察题设条件，得出
OA＝OB＝OC，则O必在△ABC三边的中垂线上，由AB＝AC
和等腰三角形“三线合一”这一性质，可知AO⊥BC．连结AO，[来源:学科网ZXXK]
并延长交劣弧BC于点E，则由垂径定理可知，所以有
∠BDE＝∠EDC，因此DE就是∠D的平分线，
例2 如图2，△ABC的三个顶点分别在正方形网格中的格点上，请在网格中找一个格点P，连结PB，PC，使∠BPC＝∠BAC，并简要说明理由．21·cn·jy·com
　　　
分析1 如图2，延长BA至点P，使得PA＝PB，连结PC，则∠BPC＝∠BAC．试问满足条件的P点是否只有一个呢？
分析2 要使∠BPC＝∠BAC，并且∠BPC，∠BAC都对着线段BC，于是联想到圆心角与圆周角的关系，自然马上就会想到以点A为圆心，AB或AC的长为半径画⊙A，⊙A经过格点P1，P2，P3，P4，P5，P6（如图3）．取其中任一个点P与点B、C相连，必然∠BPC＝∠BAC．
例3_??????2013_江西中考题）如图4，AB是半圆的直径，图4(1)中点C在半圆外；图4(2)中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
(1)在图4(1)中，画出△ABC的三条高的交点；
(2)在图4(2)中，画出△ABC中AB边上的高．
解 (1)要用无刻度的直尺来作高显然难度较大，若利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质来作图，这个问题就迎刃而解了．假设AC，BC与半圆分别交于点D，E，连结
BD，AE，得到交点P即为三条高的交点．
(2)当点C在半圆内时，AC，BC没有直接与半圆相交，此时△ABC就相当于图4(2)中△ABC的位置，因此延长AC，BC必与半圆相交，设交点分别为E，F，则∠AEB＝∠AFB＝90°．再次延长AF和BE相交于点P，则C必为△ABP三条边高的交点，因此，连结PC并延长交AB于点D，必有CD⊥AB，如图4(2)所示，CD即为所求．
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