2021中考数学备考经典微专题 利用组合与分解求不规则图形的面积或周长 学案（技巧+满分解答）

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利用组合与分解求不规则图形的面积或周长
一、组合
对于一些求不规则图形的_é???§??????¨é?????_数学题，我们往往不能直接求出问题的解．但如果把某些图形组合在一起，看成一个整体，这样就可以转化成规则的图形，从而使问题变得更简单．
例1 如图l，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，分别以A，B，C为圆心，AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是_______.

分析 先求出△ABC的面积S＝CA×CB＝×4×4＝8．将3个半径相同的扇形组合成一个半圆，则这个半圆的面积S1＝πR2＝π×22＝2π，因此，阴影部分的面积等于△ABC的面积减半圆的面积，即S－S1＝8－2π．21*cnjy*com
(A)4π (B)3π (C)2π (D)π
例2如图2，正方形MNE_F?????????é?????_在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)π
分析 根据对称性，4个阴影部分组合在一起构成个大圆，其面积S＝πR2＝π×42＝4π．
例3 如图3，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为___________．21cnjy.com

分析 __????±??????????_形的边长是2．将折叠的部分还原，实际上是这些小三角形的边都与正方形ABCD的四边重合，则这些阴影三角形的边组合在一起实际上是正方形的四边，因此阴影部分的周长为8．【来源：21cnj*y.co*m】
例4 如图4，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y＝的图象上，则图中阴影部分的面积和等于_______（结果保留π）2·1·c·n·j·y

分析 由题意，设⊙A圆心的坐标为(a，a)．在函数y＝的图象上，易求得a＝l，两个圆的半径相等，即r＝a＝1．图中2个阴影部分的可以组合成一个圆，其面积为S＝πr2＝π．
例5为_????????????é???§?_，某小区将原来正方形地砖更换为如图5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )21教育网
(A)2a2 (B)3a2 (C)4a2 (D)5a2
分析 将4个直角阴影三角形组合成一个边是a的正方形，因此阴影部分可以看成2个边是a的正方形的面积和，即2a2．2-1-c-n-j-y
例6 如图6，依_?????????è§???????_四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…，n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn，则S90的值为_______．
分析 将90边形的重叠部分面积之和组合成一个扇形，其内角和是
(90－2) ×180°．
因此，S90＝．
例7边长为2的两_?§????????????????_如图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A，B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为_______（结果保留π）．【来源：21·世纪·教育·网】

分析A，B两种卡片可各1张以组合成1个正方形，21张这两种类型卡片可以组合成10个正方形和1个A种图形，则这个图案中阴影部分图形的面积和为：21·世纪*教育网
10×22＋22－×22＝84－π．
二、分解
分解的思想是一种重要的解题思想，就是把一（或几）个整体（包括式子和图形）分解若干个部分，然后分别对每个部分进行研究，总结其变化规律．利用分解思想解题的实质在于”化整为零，各个击破”．【出处：21教育名师】
1、把分式分解成分子和分母
例7一组按规律排列的式子a2，，，，…则第n个数据是_______．（用含n的式子表示）
分析 我们把这些变化的式子分解成分子和分母来考查．先研究分子a2，a4，a2，a8，…底数a不变，而指数2，4，6，8，…是一列偶数，第n个数据的指数应该是2n，故第n个数的分子应该是a2n；再考查分母1，3，，7，…，是一列奇数，则第n个数的分母应该是2n－1，则第n个数据是．
2、把单项式分解成系数和字母
例8 观察一列单项式x，3x2，5x3，7x，9x2，11x3，…，则第2013个单项式是_______．
分析 把这些单项_??????è§?????????°_和字母来考查，先研究系数l，3，5，7，9，11，…，是一列奇数，第n个奇数是2n－1，故2013个单项式的系数应该是2013×2－1＝4025；
再考_?????????x???x_2，x2，x，x2，x2，…其底数x不变，而指数1，2，3，l，2，3，…呈周期性变化，变化周期是3，因此，可以总结出规律第n个单项式的指数是：
当n＝3k＋1（k＝0，1，2，3，…）时，x的指数是1；
当n＝3k＋2（k＝0，1，2，3，…）时，x的指数是2；
n＝3k(k＝1，2，3，…)时，x的指数是3．
而2013＝671×3，
则2013个单项式x的指数是3，
故第2013个单项式是4025x3．
3、把（不）等式两边的式子分解
例9观察下列各式的计算过程：
52＝0 ×l ×100＋25，
152＝l×2×100＋25，
252＝2×3×100＋25，
352＝3 ×4 ×100＋25，
……
请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为______．
分析 先考查等号左边的数字：指数2不变，而底数分别是5，15，25，35，…分别可以写成5×l，5×3，5×5，5×7，…在这些乘积中，第一个数字5固定，而第二个数字分别是l，3，5，7，…，是一列奇数，则第n个奇数可以表示为2n，－1，则第n个等式等号的左边可以表示为[5（2n－1）]2．
再考查等_??·???è???????°???_：第一个数字分别是0，1，2，3，…每个数字分别比相应等式的序号小1，第n个等式对应数应该表示为n－1；第二个数字分别是1，2，3，4，…每个数字分别与相应等式的序号相同，则第n个等式对应的数应该表示为n；第三、四个数字100，25固定，则数字间的”×与＋”不变，所以n个等式等号右边的式子可表示为100n(n－1)＋25．
综上，第n个算式（n为正整数）应表示为[5(2n－1)]2＝100n(n－1)＋25．
4、把图形分解
例11 如_???7????????????_物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转1800得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；…如此进行下去，直至得Cn．若P(37，m)在第n段抛物线Cn上，则m＝_______，n＝_______．
分析 把以上图形分解成两部分，即x轴的上面的部分和x轴的下面的部分．
先考查x轴的上面的_é?¨???C3???C_5，C7，…，C2k－1：即当n＝3，5，7，…，2k－1时，C3，C5，C7，…，Cn相当于把C1向右平移6，12，18，…，6（k－l）个单位，则第n段抛物线C2k－1的解析式为：
y＝－[x－6 (k－l)][x－6(k－l)－3]
＝－（x－6k＋6）（x－6k＋3）（其中，6（k－1）≤x≤6（k－l）＋3）． ①
再考查x轴的下面的部_???C2???C4_，C6，…，C2k：即当n＝4，6，8，…，2k时，则C4，C6，…，C2k相当于把C2向右平移6，12，18，…，6（k－1)个单位，则第n段抛物线C2n的解析式为
y＝[x－6(k－1)－3][x－6(k－1)－6]
＝（x－6k＋6）（x－6k＋3） (其中，6(k－1)＋3≤x≤6（k－l）＋6）．②
由于6×（7－1）≤37≤6×(7－1)＋3，
则k＝7，而n＝7×2－1＝13，
把k＝7，x＝37代入①，得
m＝2，故m＝2，n＝13．
例5如图，小方格都是边长为l的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为______．
分析 连结AC从图中看出由直线段AB和曲段线AB为成弓形（阴影部分）的面积与直线段BC和曲段线BC为成弓形（空白部分）的面积相等．因此这两片“叶”实际上是可以补成两个弓形，即半径为2的圆中去掉一个直角边为2的等腰直角三角形．故其面积是：
．
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