2021中考数学备考经典微专题 例说七类需要分类讨论的题型 学案（技巧+满分解答）

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例说七类需要分类讨论的题型
当我们解决一个问题时，如果_??????????????§è§?_决，那么就需要用一个标准，将问题划分成几个能分别解决的小问题，将这些小问题加以解决，从而最终使问题得到解决，这就是分类讨论思想。当数学问题中的条件，结论不明确，或题中含参数或图形不确定时，就需要分类讨论.本文举例说明如下:21教育网
一、边(角)的指代不明
有些图形中的边(或角)的大小虽是己知的但具体是哪条边(或哪个角)不明确.对此先需分类讨论，再依据定义或定理求解.【来源：21·世纪·教育·网】
例1 等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周
长为( )
(A) 25 (B) 25或32 (C) 32 (D) 19
分析 长度为6和13的两边，没有明确出谁是底边谁是腰，所以先需分类再求周长.
解 当6为底边时，其它两边都为6, 13,而边长为6,13,13可以构成三角形，周长为32;21*cnjy*com
当6为腰时，其它两边为6, 13, ∵ 6+6<13 ,∴边长为6, 6, 13不能构成三角形,应舍去，故选C.【出处：21教育名师】
例2 一个直角三角形的两边长分别为6和8, 则该三角形中较小锐角的正弦值为_____.
分析 长为8的边虽是最长边，但没有明确出是直角边还是斜边，对此需分类.
解 当8为直角边时, 三边长为6, 8, 10; 当8为斜边时，三边长为6, 2,,8.
所以该三角形中较小锐角的正弦值为或.
例3 若等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角为______.
分析 50°的角，没有明确出是顶角还是底角，对此先要分类。
解 50°为顶角时，则底角为65°, 65°;
50°为底角时，则其他两角分别为50°, 80°.
综上,顶角为50°或80°.
二、图形的相对位置关系不确定
若几何图形之间的_??????????????????_在已知条件中不明朗，则需分情况讨论，列举出所有可能的情况，以免疏漏现象的发生.[来源:学。科。网Z。X。X。K]21·世纪*教育网
例4 已知△ABC的外心为点O，若∠BOC = 100°，则∠A的度数为_______.
分析 △ABC与其外心O的位置关系有三种情况: 当△ABC为锐角三角形时，其外心O在形内;当△ABC为钝角三角形时，其外心O在形外;当△ABC为直角三角形时，其外心O在斜边上.这三种情况都有可能存在，如图1,2.
解 根据圆心角定理，得∠A的度数为50°或130°.
三、对应关系的不明确
三角_????????¨?????????_似中的判定和性质司体现了对应的思想.所以在已知图形全等或相似的前提下,解边(或角)的问题时，需要突出边(或角)的对应关系.
例5 两个三角形相似，一个三角形的三边长分别为,,2,另一个三角形的两边长分别为1, ,则它的第三边长为________.
分析 设第三边长为x，因为它和另一个三角形中三边中的哪一条是对应的并不明确,所以x的取值需分三种情况: x<1 (从小到大顺序为: x, 1,),1< x < (从小到大顺序为:1, x, ), x > (从小到大顺序为:1,, x).www.21-cn-jy.com
解 己知三角形的三边按从小到大的顺字为,2,.
在第一种情况中，由于≠,所以x ＜1的情况应舍去.
同理，舍去1＜x＜的情况.
当x＞（1，，x）时，由于＝＝,所以x＝.
四、动态问题
对动点问题中的数量关系及其对应的图象进行“分段破译”，挖掘每段图象所蕴藏的信息和段与段间“折点”的信息，做到形数的结合与转换.
例6 如图3,__???E?????????_ABCD边AD上一点，点P、点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s设P, Q出发秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分).则下列结论;21cnjy.com
①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，y＝t2；
③直线NH的解析式为y=﹣t + 27；④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒。
其中正确结论的个数为( )[
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

分析 据图4可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达了点C，从而得到BC, B_E???é???????????_根据M,N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可.
解 根据图4可得，当点P到达点E时点Q到达点C.
∵点P、Q的运动的速度都是1 cm/秒，
∴BC＝BE＝5cm，∴ AD＝BE ＝5.
故①正确;
因为当0＜t≤5时，曲线OM为抛物线的一部分，所以设y=ax2，将点(5,10 )代入，得a＝，y＝x2. 故②正确;21·cn·jy·com
根据5 ~ 7秒时三角形面积的不变性，可得ED＝2,当点P运动到点C时，面积变0,此时点P走过的路程为BE+ED + DC＝11, 故CD ＝4，点H的坐标为(11,0).设直线NH的解析式为y＝kx+b，将点H(11,0)，点N(7,10)代入可得11k+b＝0, 7k+b＝10,解得k＝﹣，b＝. 故直线NH的解析式为y＝﹣t＋,故③错误；2·1·c·n·j·y
当t＝秒时,点P将落在边CD上的一点处，如图5.因为Rt△CBP中，CP＝,即＝，CP＝.
所以点P从点B开始运动到此点的路程为11﹣＝（cm）,时间为s. 故④正确. 答案选B.2-1-c-n-j-y
五、字母系数的不确定
当一个式、方程或函数中的最高项的系数为字母或字母的式子且式、方程或函数的 “类型”比较“泛化”时，需对字母或字母的式子是0和非0作出分类.
例7 己知函数y=mx2﹣6x+1 (m是常数)·
(1)求证: 不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
解 (1) 当x＝0时，y=1.所以不论m为何值，函数的图象经过轴上的一个定点(0,1);
(2) 当m＝0时，函数y＝﹣6x＋1的图象与x轴只有一个交点(,0);
当m≠_0???,_y???_mx2﹣6x＋1为二次函数，若函数的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x＋1有两个相等的实数根，所以(-6)2﹣4m=0 ,m=9.
综上，函数y＝mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点 ,则m的值为0或9.
六、反比例函数图象的增减性
反比例函数y＝（k≠0), 图象为双曲线，其增减性与k值的正、负相关，又与象限相关.对于同一个确定的k值_????????????(???_一象限)考察，也就是说，同一个象限内的两点的纵坐标的大小可以按增减性去判断，但在两个分支上的点就不能按增减性质去判断了.
例8一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝（m≠0）,在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1> y2，则x的取值范围是( )21*cnjy*com
(A)﹣2< x< 0或x<1 (B) x <﹣2或0< x< 1
(C) x < 1 (D)﹣2< x< 1
分析 __??±???è±?è§????_可知，一次函数与反比例函数相交于点(﹣2,﹣2)、(1, 4)两点，进一步观察当一2< x< 0时(第三象限曲线)，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值即y1＞y2;
当x >1时(第一象限曲线)，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，即y1＞y2。综上，选A.
七、应用问题中的不同方案
某些应用题中蕴含着不同的方案，则相应的计算法则也随之发生变化.
例9某楼盘一楼是车库_(????????????)_，二楼至二十三楼均为商品房(对外销售).商品房售价方案如下: 第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元; 反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元，已知商
品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房方案:
方案一 购买者先交纳首付金额(商品房总价的30%)，再办理分期付款(即贷款).
方案二 购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费(已知每月物业管理费为a元)，
(1)请写出每平方米售价y (元/米2)与楼层x (2≤x≤23，x是正整数)之间的函数解析式;
(2)小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢?
(3)有人建议_è??????????¨??????_二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗?请用具体数据阐明你的看法。
分析 ___(1)???_层x有可能高于第八层、也有可能低于第八层，而每层楼每平米的售价均以第八层楼每平米的售价为参照进行变化，故此需要将楼层分为两种情况讨论.
(2)_?°????è?????é????¨_的方案一，故此需求出小张按这种方案付款的算式，需按照高于第八层和低于第八层两种情况来进行(承接第一问);无论购置哪一个楼层，小张付款金额都不会大于120000元，由此产生了不等关系.
(3)判断老王_è?????????????????_方案二哪一个购房更划算，需先求出各自对应的付款算式.因为方案二中的算式中含有字母a，无法直接比较二者大小，故此采用逆向思维的方法分类来进行.
解 (1)当2≤x≤8且x是正整数时，有y＝3000－20(8－x)＝20x+2840;
当9≤x≤23且x是正整数时，有y＝3000＋40(x－8)＝40x+2680;
(2)①当2≤x≤8时,小张若买第八层需交纳首付金额为:
3000×120×30%＝ 108000(元),而108000元<120000元，所以小张可从2 ~ 8层中任选一层.
②当9≤x≤23时，小张交纳首付金额为 (40x+2680}×120×30%(元).
由(40x+2680) ×120×30%≤120000,得x≤＝.[来
∵x为正整数, ∴ 9≤x≤16.
综上可知, 小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。
(3)若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为
y1＝（40×16＋2680）×120×91％－60a(元);
若按老王自想的法则要交房款为y2＝ (40×16+2680)×120 ×91%(元).
易得y1－y_2???3984_－60a, 当y1>y2即y1－y2 > 0时，解得0_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_