2021中考数学备考经典微专题 例说因式分解的妙用 学案（技巧+满分解答）

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例说因式分解的妙用
因式分解是初中代数中的重要内容，它在计算、化简、求值等方面有着广泛的应用，本文举例说明因式分解在解题中的妙用．21教育网
一、用于计算或化简
例1 计算：．
分析 用因式分解中的平方差公式，将原式进行变形，使计算简便．
解 原式
[来源:学科网ZXXK]

例2 化简：
分析 直接将分母进行有理化，则计算比较烦琐，考虑到分子可因式分解，即
[
说明 例1若想直接将式子的各因式计算出后再求整个式子的积，则计算就显得十分繁琐，而通过分解因式则使问题变得简捷；例2主要是用公式法把分子进行因式分解，达到使问题简单化的目的．21cnjy.com
二、用于求代数式的值
例3 已知a、b、c都是正整数，且满足关系式ac＋a＋bc＋b＝21，求a＋b＋c的值．
分析 从已知条件中直接求出a、b、c的值有一定难度，不妨可先将关系式的左边进行因式分解变形．21·cn·jy·com
解 ∵ac＋a＋bc＋b
＝a(c＋1)＋b(c＋1)
＝(a＋b)(c＋1)，
∴(a＋b)(c＋1)＝21．
∵a、b、c都是正整数，
∴a＋b与c＋1均大于1，
∴(a＋b)(c＋1)不可能是1×21的形式，
∴只能是(a＋b)(c＋1)＝3×7．
又由于3与7都是质数，
∴只有a＋b＝7，c＋1＝3，
或a＋b＝3，c＋1＝7
这两种情况，而无论哪种情况都有
a＋b＋c＝9．
说明 这里不必把a、b、c的具体数值求出来，而是通过因式的分解求出a＋b与c＋1的值，从而求出a＋b＋c的值．www.21-cn-jy.com
三、用于确定字母的值
例4 已知多项式x4＋ax3＋bx－16能同时被x－2和x－1整除，求a、b的值．
分析 已知多项式同时被x－2和x－1整除，根据整除性可知，此多项式进行因式分解必有x－2和x－1这两个因式．2·1·c·n·j·y
解 依题意，可设
x4＋ax3＋bx－16＝A(x－1)(x－2)，
其中A为整式，
把x＝1代入得
1＋a＋b－16＝0．
即a＋b＝15； ①
把x＝2代入得
16＋8a＋2b－16＝0．
即4a＋b＝0． ②
由①、②解得a＝3，b＝12．
说明 此例的关键是由整除性可知x－2和x－1都是多项式的一个因式；再根据因式分解是恒等变形，通过取x的特殊值，求得a、b的值．21世纪教育网版权所有
四、用于判别三角形形状
例5 已知，a、b、c是△ABC的三边，当b2＋2ab＝c2＋2ac时，判断△ABC的形状．
分析 a、b、c为三角形的三边的长，所以a、b、c都是大于0的数．
解 由b2＋2ab＝c2＋2ac，得
b2＋2ab＋a2＝c2＋2ac＋a2．
∴(a＋b)2＝(a＋c)2．
∵a、b、c>0，∴a＋b＝a＋c，
∴a＝b,即△ABC为等腰三角形．
说明 此题是利用因式分解将等式变形，得到三角形三边的关系，从而判断三角形的形状．
总之，在解题过程中，若能根据题目的结构特征，灵活运用因式分解，往往能起到意想不到的效果．
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