2021中考数学备考经典微专题 例析典型的分类思想解决问题 学案（技巧+满分解答）

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例析典型的分类思想解决问题
运用分类思想解决问题，能够培养学生慎密思维的优良品质.本文拟对初中数学中典型的分类问题加以举例分析.
一、直角三角形的边、角问题
例1 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC＝2，点D为Rt△ABC外一点，且△ACD
是等腰直角三角形，则BD的长是_______.
解 分3种情况:
①当∠DAC＝90°时，如图1，BD＝4；

②当∠DCA=90°时，如图2，
BD＝2BO＝＝＝；
③当∠ADC = 90°时，如图3,
BD＝＝＝
故BD的长是4或或
说明 在直角△ABC中，没有指明直角或斜边时，应分三种情况进行讨论: ∠A＝90°或
∠B＝90°或∠C＝90°，或者a是斜边或b是斜边或c是斜边.
二、等腰三角形的边、角问题
例2 在△ABC中_??????BAC???_90°，AB＝6cm， AC＝8cm，若动点P从点C出发，沿线段CB向终点B以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).求t为何值时，△PAB是等腰三角形?
解 △PAB是等腰三角形，应分3种情况:
①当PA = PB时，如图4，根据勾股定理，得BC=10，易得点P是斜边BC的中点，
∴ PC＝5，∴ t＝＝；
②当PB＝AB时，如图5,则 PB＝6，PC＝4，t＝＝2；
③当AB＝AP时，如图6, 作高AD, 则DB＝DP,由cos∠B＝＝,
可求得DB＝，∴PB＝，PC＝，t＝＝.
综上所述，当t＝s或2s或s时，△PAB是等腰三角形.
说明 等腰△ABC中，没有指明腰，底边或顶角、底角应分三种情况讨论:AB＝BC或
BC＝CA或CA＝AB，或者∠A为顶角或∠B为顶角或∠C为顶角.
三、三角形的分类问题
例3 在△ABC中，AB＝AC＝40，直线DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交另一边于E，且DE＝15，则CE的长为_______.
解 分2种情况:
①当顶角∠BAC为锐角时，如图7，直线DE交边AC于点E. 在Rt△ADE中，
AE＝＝＝25，∴CE＝AC－AE＝40－25＝15；
②当顶角∠BAC为钝角时，如图8，直线DE交边BC于点E,
在Rt△BDE中，BE＝＝＝25.
作AF⊥BC,垂足为F，则BF＝CF.
由＝cos∠B＝,BF＝＝＝32，
∴BC＝64,∴CE＝BC－BE＝64－25＝39. 故CE的长为15或39.
说明 这类题常_??????????????????_只考虑了点E在AC上，即∠BAC为锐角的情形而造成错误，因为三角形一边的中垂线与另一边相交情形，会因为三角形的某各角是锐角或钝角而有所不同，与此类似的情况还有三角形的高的问题，高的垂足会因为三角形的形状的不同，垂足可能在边上或边的延长线上，这类问题往往有多个解，应多加注意
四、圆中两弦夹角问题
例4 在半径为1的⊙O中，AB、AC为弦, 且AB＝,AC＝,则∠BAC＝_______.
解 分2种情况:
①当圆心O在∠BAC的内部时，如图9,作直径AD，连结BD,CD，
则 cos∠BAD=，cos∠CAD＝，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝75°；
②当圆心O在∠BAC的外部时，如图10,可得∠BAC＝∠BAD＝∠CAD＝15°.
故∠BAC＝75°或15 °.
说明 这类题常常有学生因为_???è??è???????????_O位于∠BAC的内部的情形而造成错误.圆心与角的位置关系有三种:圆心角的内部、圆心角的外部、圆心角的一边上，圆中的两条平行弦也有类似情况.
五、相似三角形中的对应问题
例5 在△ABC中，AB＝4,AC＝6，点D为AB边的中点，点E为AC边上一点，若以A,D, E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为_______.
解 分2种情况:
①当△ADE∽△ABC时，如图11，＝,可得AE＝3，
②当△AED∽△ABC, 如图12, ,可得AE＝.
故AE＝3或
说明 题设中用符号“∽”表示两个三角形相似时，对应顶点是唯一确定的，而若没有用符号“∽”表示两个三角形相似的问题往往需要根据已知条件进行讨论，否则会造成漏解现象。
六、两条线段长作为一元二次方程根的问题
例6 在△ABC中，AD是BC边上的高，且AD , CD是方程x2－7x＋12＝0的两个根，若BD＝4，求△ABC的面积
解 方程x2－7x＋12 ＝ 0的两个根为3和4. 分2种情况:
①当AD ＝3，CD＝4时，∵BD＝4，∴BD＝CD＝4，BC＝8，如果13，△ABC的面积是=＝12；
②当AD＝4,CD＝3时，还需分两种情况：若高AD在△ABC内部，如图14，
BC＝BD+CD＝4＋3 ＝7，△ABC的面积是==14；若高AD在△ABC外部，如图15，BC＝BD－CD＝4－3＝1，△ABC的面积是=＝2.综上，△ABC的面积是12或14或2.
[
说明 若线段a、b是某个一元二次方程的两个不相等的实数根x1、x2，则存在两种情况，
a＝x1、 b＝x2，或a＝x2、b＝x1。
七、分式方程的解的问题
例7 关于x的分式方程＝1无解，则a的值是多少?
解 ∵＝1，去分母，并整理，得(a+2)x＝3.因为原方程无解，分两种情况:
①若原方程有增根，则增根可能是1或0 .把x＝1代人方程(a +2) x ＝3，得a＝1;
把x＝0代人方程(a＋2)x = 3, 得(a+2)·0＝3，不成立.
②若方程(a+2)x＝3无解，则a＝﹣2. 综上所述，a的值为1或﹣2.
说明 分式方程无解可能存在两种情形，一是由原方程化得的整式方程解得的根是原方程的增根，二是由原方程化得的整式方程无解
八、 中位数问题[
例8 数据3、5、7、x的平均数与中位数相等，求x的值.
解 将数据3、5、7、x从小到大排列，分4种情况:
①3、5、7、x，根据题意，得 ∴ x＝9；
②3、5、x、7，根据题意，得，∴x＝5；
③3、x、5、7，根据题意，得，∴x＝5；
④x、3、5、7，根据题意，得，∴x＝1；
综上所述，x的值为9或5或1.
说明 根_???????????°??????_义，需先将一组数据按照大小顺序排列起来，处在最中间的一个数或最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数.当其中有未知数据时，应分情况讨论排序问题.
九、函数类型的问题
例9 已知点A(1, 2)、B(2, 1)、C(﹣2,﹣1)，求经过A、B、C三点的函数解析式.
解 分3种情况:
①若A、B、C三点在二次函数的图象上，设经过A、B、C三点的二次函数解析式为
y＝ax2＋bx＋c,把它们的坐标代入，得解得a＝﹣，b＝，c＝2.
所以，所求函数解析式为y＝﹣x2＋x＋2；
②若A、B、C三点在反比例函数的图象上，设函数解析式为y＝，把A(1, 2)代入得，k＝2,经验证点B(2，1)、C (﹣2，﹣1)也在函数y＝的图象上;
③若C、A、B三点依次在一条折线上，设图象经过C、A一次函数解析式为y＝mx＋n,
∴解得m＝1,n＝1.所以图象经过C、A一次函数解析式为y＝x＋1（x≤1），同法求得图象经过A,B一次函数解析式为y＝﹣x+3(x>l).所以函数解析式为综上所述，经过A、B、C三点的函数解析式为y＝﹣x2+x+2，或y＝，或
说明 受思维定势的消极_??±???????????????_往片面地认为，图象经过三个点的函数就是二次函数.初中数学中的函数仅有3类，一次函数，反比例函数、二次函数，遇到此类问题可从上述3类函数考虑，不能忽略其中任何一类.
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