2021中考数学备考经典微专题 例析追击和相遇问题的解题方法 学案（技巧+满分解答）

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例析追击和相遇问题的解题方法
一、追击类问题
例1 甲乙两人同时去地，甲骑自行车，乙骑摩托车中途摩托车出现故障改步行，下图是他们的路程随时间变化的图线。(1)求出甲乙两人路程与时间的关系函数；(2)甲到达终点用了多长时间?(3)两人何时相距最远，最远距离是多少?
解析 (1)对于第一问，欲求甲乙的路程 - 时间关系函数，利用图中给出的数据即可求出。设甲路程随时间变化的关系式为，由于甲图过点（1.5，15），解出，代回上式可得甲的路程 - 时间关系函数为。从图中可以看出乙的曲线呈现分段变化，设第一段时乙的关系函数为，则当时，将已知点（1.5，30）代入，得到乙的关系函数为。在第二段中，当时，设其关系函数表达式为，将点（1.5,，30）、（7.5，60）代入得到表达式，综上可知乙的路程 - 时间关系函数为。(2)已知甲的路程 - 时间关系函数，将代入，即可求出对应的时间。(3)从路程 - 时间关系图的几何意义出发，甲乙两人的距离即是两图线之间的纵向距离，观察图形，两人距离最值可能出现在及处，代入计算可知，当时，两人距离最远，最远为。
点拨 对于一次函数的追击类问题，只要围绕图形结合题设便可迅速求解。值得注意的是必须看清图形坐标轴信息，理清图形语言的几何意义，为解题提供捷径。
二、相遇类问题
例2 甲乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地后停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地。设小明与甲地的距离为，小亮与甲地的距离为，小明小亮之间的距离为，小明行走时间为，与之间的函数图象如图1，与之间的部分图形如图2。(1)求小亮从乙到甲的与之间的函数关系；(2)求小亮由甲返回到与小明相遇的与的函数关系；(3)补全图2的信息，并求出值。
解析 图1是小明与小亮的路程 - 时间图象，结合题目背景可知，段是小亮从乙地到甲地的过程，设其关系式为，将已知点代人可得、，得到其关系式为。
(2)段为小亮在甲地停留的过程，段则是小亮与小明相遇的过程，设，已知小亮的骑行速度，结合已知点，可得段的关系式为，同时可以得到。此时，小亮与小明相遇的与的关系即是与之间的纵坐标之差，。
(3)首先，a值表示两人第一次相遇时间，已知两地距离与两人速度，。段：：当时，小亮到达甲地，此后14分钟，小亮停留在甲地，此时，两人之间的距离满足关系：。段：此时，小亮出发往乙地，直至与小明相遇，两人之间的距离。满足关系式，最终状态两人相遇即，此段的时间。段：此时两人已经相遇，且同时步行至乙地，故两人之间的距离始终为0。至此，对两人的运动过程的分析全部完成，将对应的关系式与区间段代入图形即可得到对应的图2。
点拨 遇到复杂类型的相遇追击问题，切忌慌乱，此时可以多读题目，将题目背景与图形进行反复关联对照。同时，将已知的信息尽可能多的标注在图形上，从而提高审题效率。
一次函数类的相遇与追击问题常常与学生的生活实际相联系，有条件时我们不妨安排学生进行模拟实验，在生动趣味的实验过程中深化学生理解。在教学过程中，尽可能追求学生对题目图形的理解，务必做到图形与情境的一一对应。
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