2021中考数学备考经典微专题 任意三角形三条高的长度关系及其应用 学案（技巧+满分解答）

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任意三角形三条高的长度关系及其应用
三角形三边之问的关系是大家是非常熟悉的性质，即“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．其实任意三角形的三条高之间的长度关系也有着密切的联系
设三角形三条边分别是a、b、c，对应边上的高分别为ha、hb、hc不失一般性，令a≥b≥c，由面积关系aha＝bhb＝chc，知
ha≤hb≤hc，．
再由b－c化简整理，得
同理可得，
．
这就是：任意三角形两条高的倒数和大于第三条高的倒数，任意三角形两条高的倒数差小于第三条高的倒数．
下面举例说明上述结论在解题中的应用．
例1
试判断长度分别是1、2、3的三条线段能否作为一个三角形的三条高．
解
根据三角形三条高的长度关系，如果长度为l、2、3的三条线段可以作为一个三角形的三条高，那么必须有．但，所以长度分别为1、2、3的三条线段不能作为一个三角形的三条高．
例2已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值是(
)
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
解
令第三条高线长为m，根据三角形三条高线的长度关系，得
化简得4所以第三条高的最大值是6．
例3
△ABC的三边为a、b、c，且a＝2，S△ABC＝1，hb、hc(hb证明　　因为2S△ABC＝a·ha，
将a＝2，S△ABC＝1代入得ha＝1．
由，得
．
同理可得，
∴hc－hb上述结论也可理解为：有一条边上的高为单位l的三角形中，另两边上的高的乘积大于它们的差而小于它们的和．
与三角形三边关系一样，为了体现“任意”，又要快捷判断，只要用较短两条线段长相加都大于第三条线段长，那么这三条线段一定能组成三角形．同样地，只要用最短的线段长的倒数减去另外一条线段长的倒数都小于第三条线段长的倒数，那么这样的三条线段便可以作为一个三角形的三条高．
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精品试卷·第
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