2021中考数学备考经典微专题 梯形中常见辅助线的添加方法 学案（技巧+满分解答）
文档属性
| 名称 | 2021中考数学备考经典微专题 梯形中常见辅助线的添加方法 学案（技巧+满分解答） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-04 11:27:25 | ||
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文档简介
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梯形中常见辅助线的添加方法
本文就求解梯形问题时辅助线的作法进行归类探究，供参考．
一、连结对角线，构造三角形
连结对角线的本质是将梯形转化为基本三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解决问题．
例1 求证：
梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2．
二、添加平行线，构造平行四边形
证明 如图l，梯形ABCD，连结对角线
AC，则S梯形ABCD=S△ABC+S△ACD．
设△ABC的高为h，显然△ACD的高也为h．
∴S梯形ABCD=S△ABC+S△ACD
＝BC·h＋AD·h
＝（BC＋AD）·h
故梯形面积＝（上底+下底）×高÷2，
得证．
二、添加平行线，构造平行四边形
添加平行线的核心是将梯形转化为平行四边形，再运用平行四边形的一些性质与规律去解决问题，添加方法有过顶点向形内或向形外作平行线两种情形．21世纪教育网版权所有
1、向形内作平行线
例2 如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝80°，∠C＝50°，DC＝9， AB＝5，求AD的长．www.21-cn-jy.com
解 过点B作BE∥AD，交DC于点E．
由题可知四边形ADEB为平行四边形，
∴AD＝BE．AB＝DE＝5，
∠D＝∠BEC＝80°．
∠C＝50°．
∴∠EBC＝180°－50°－80°＝50°，
即BE＝EC＝DC－DE＝4，
故AD＝4．
2、向形外作平行线
例3 如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD．若AD＝3，BC＝7，则梯形ABCD面积的最大值为_______．21cnjy.com
解 过点D作DE∥AC，与BC的延长线交于点E，易知DE⊥BD．四边形ACED为平行四边形，
即AD＝CE，所以S△ABD＝S△CED．
由图3知，
S梯形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝S△BED
＝BD·DE．
两边同时平方，得
S2梯形ABCD＝S2BDE＝BD2·DE2，
在Rt△BDE中，由勾股定理，得
BD2＝BE2－DE2＝100－DE2，
∴S2梯形ABCD＝（100－DE2）·DE2
＝－DE4＋25DE2．
配方得
S2梯形ABCD＝－(DE2－50)2＋625．
即当DE2＝50时，
S2梯形ABCD max＝625，
∴S梯形ABCDmax＝25．
故梯形ABCD面积的最大值为25．
三、添加垂线，构造直角三角形或矩形作垂线一般是将梯形转化为矩形与直角
三角形，再运用二者的规律去解决问题，
例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，上底为10，下底为18，腰长为5．求梯形的面积．
解 过点A、D作BC垂线，垂足分别为E、F，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
即EF=AD=10．
根据对称性可知，
BE＝CF＝＝4．
在直角△ABE中，
由勾股定理，得
AE2＝AB2－BE2，
∴AE＝3．
故梯形的面积为：
S＝（AD＋BC）·AE
＝(10＋18)×3
＝42．
四、反向延长腰，构造特殊三角形
若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延长腰将梯形转化成特殊三角形，达到简化问题的目的．
例5 如图5，已知梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，求此梯形的周长．21教育网
解 反向延长AB，DC交于点E，
由题意可知，△EBC为等边三角形．
又∵∠EAD＝∠EDA＝60°．
∴△EAD为等边三角形，
∴AB＝BE－AE
＝BC－AD＝8－2
＝6．
故梯形的周长为
AB＋BC＋CD＋DA
＝6＋8＋6＋2＝22．
五、添加中位线
作中位线的目的是利用中位线定理去解决问题．
例6 如图6，已知AE_???DH???B???_C分别是AD的四等分点，F、G分别是EH的四等分点，AE＝28．DH＝36，求BF和CG的长度．21·cn·jy·com
解 分别取AD、EH的中点M、N，连结MN，
∴MN是梯形ADHE的中位线，
即MN＝（AE＋DH）[来源:学科网ZXXK]
＝(28＋36)
＝32．
又∵BF、CG分别是梯形AMNE、MDHN的中位线，
∴BF＝－(AE＋MN)
＝(28＋32)
＝30，
CG＝(MN＋DH)
＝(32＋36)
＝34．
六、作过顶点和腰中点的连线，构造全等三角形
添加该辅助线后，通常是将梯形转化为多个三角形与四边形，再寻找其中的全等三角形解决问题．
例7 如图7，梯形ABCD中，M为腰AD的中点，MH⊥BC于点H．求证：S梯形ABCD＝BC·MH．
证明 连结CM，并延长交AB的反向延长线于点N，连结BM．
根据题意，由“角边角”可知
△DMC≌△AMN，
七、添加对称轴，利用对称性
具备对称性质的图形十分优美，梯形中添加对称轴后，对应的线段、角度等均相等．
例8 如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．请在梯形内部求作一点O，使OA＝OB＝OC＝OD．2·1·c·n·j·y
作法 (1)作梯形ABCD的对称轴分别交AD、BC于点M、N．
(2)作腰AB的垂直平分线交MN于点O，
则点O即为所求作点，
证明 ∵MN为梯形ABCD的对称轴，
∴MN垂直平分AD、BC，
∴OA＝OD，OB＝OC．
又∵点O是腰AB的垂直平分线与MN的交点，
∴OA＝OB．
故OA＝OB＝OC＝OD．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_
梯形中常见辅助线的添加方法
本文就求解梯形问题时辅助线的作法进行归类探究，供参考．
一、连结对角线，构造三角形
连结对角线的本质是将梯形转化为基本三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解决问题．
例1 求证：
梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2．
二、添加平行线，构造平行四边形
证明 如图l，梯形ABCD，连结对角线
AC，则S梯形ABCD=S△ABC+S△ACD．
设△ABC的高为h，显然△ACD的高也为h．
∴S梯形ABCD=S△ABC+S△ACD
＝BC·h＋AD·h
＝（BC＋AD）·h
故梯形面积＝（上底+下底）×高÷2，
得证．
二、添加平行线，构造平行四边形
添加平行线的核心是将梯形转化为平行四边形，再运用平行四边形的一些性质与规律去解决问题，添加方法有过顶点向形内或向形外作平行线两种情形．21世纪教育网版权所有
1、向形内作平行线
例2 如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝80°，∠C＝50°，DC＝9， AB＝5，求AD的长．www.21-cn-jy.com
解 过点B作BE∥AD，交DC于点E．
由题可知四边形ADEB为平行四边形，
∴AD＝BE．AB＝DE＝5，
∠D＝∠BEC＝80°．
∠C＝50°．
∴∠EBC＝180°－50°－80°＝50°，
即BE＝EC＝DC－DE＝4，
故AD＝4．
2、向形外作平行线
例3 如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD．若AD＝3，BC＝7，则梯形ABCD面积的最大值为_______．21cnjy.com
解 过点D作DE∥AC，与BC的延长线交于点E，易知DE⊥BD．四边形ACED为平行四边形，
即AD＝CE，所以S△ABD＝S△CED．
由图3知，
S梯形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝S△BED
＝BD·DE．
两边同时平方，得
S2梯形ABCD＝S2BDE＝BD2·DE2，
在Rt△BDE中，由勾股定理，得
BD2＝BE2－DE2＝100－DE2，
∴S2梯形ABCD＝（100－DE2）·DE2
＝－DE4＋25DE2．
配方得
S2梯形ABCD＝－(DE2－50)2＋625．
即当DE2＝50时，
S2梯形ABCD max＝625，
∴S梯形ABCDmax＝25．
故梯形ABCD面积的最大值为25．
三、添加垂线，构造直角三角形或矩形作垂线一般是将梯形转化为矩形与直角
三角形，再运用二者的规律去解决问题，
例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，上底为10，下底为18，腰长为5．求梯形的面积．
解 过点A、D作BC垂线，垂足分别为E、F，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
即EF=AD=10．
根据对称性可知，
BE＝CF＝＝4．
在直角△ABE中，
由勾股定理，得
AE2＝AB2－BE2，
∴AE＝3．
故梯形的面积为：
S＝（AD＋BC）·AE
＝(10＋18)×3
＝42．
四、反向延长腰，构造特殊三角形
若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延长腰将梯形转化成特殊三角形，达到简化问题的目的．
例5 如图5，已知梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，求此梯形的周长．21教育网
解 反向延长AB，DC交于点E，
由题意可知，△EBC为等边三角形．
又∵∠EAD＝∠EDA＝60°．
∴△EAD为等边三角形，
∴AB＝BE－AE
＝BC－AD＝8－2
＝6．
故梯形的周长为
AB＋BC＋CD＋DA
＝6＋8＋6＋2＝22．
五、添加中位线
作中位线的目的是利用中位线定理去解决问题．
例6 如图6，已知AE_???DH???B???_C分别是AD的四等分点，F、G分别是EH的四等分点，AE＝28．DH＝36，求BF和CG的长度．21·cn·jy·com
解 分别取AD、EH的中点M、N，连结MN，
∴MN是梯形ADHE的中位线，
即MN＝（AE＋DH）[来源:学科网ZXXK]
＝(28＋36)
＝32．
又∵BF、CG分别是梯形AMNE、MDHN的中位线，
∴BF＝－(AE＋MN)
＝(28＋32)
＝30，
CG＝(MN＋DH)
＝(32＋36)
＝34．
六、作过顶点和腰中点的连线，构造全等三角形
添加该辅助线后，通常是将梯形转化为多个三角形与四边形，再寻找其中的全等三角形解决问题．
例7 如图7，梯形ABCD中，M为腰AD的中点，MH⊥BC于点H．求证：S梯形ABCD＝BC·MH．
证明 连结CM，并延长交AB的反向延长线于点N，连结BM．
根据题意，由“角边角”可知
△DMC≌△AMN，
七、添加对称轴，利用对称性
具备对称性质的图形十分优美，梯形中添加对称轴后，对应的线段、角度等均相等．
例8 如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．请在梯形内部求作一点O，使OA＝OB＝OC＝OD．2·1·c·n·j·y
作法 (1)作梯形ABCD的对称轴分别交AD、BC于点M、N．
(2)作腰AB的垂直平分线交MN于点O，
则点O即为所求作点，
证明 ∵MN为梯形ABCD的对称轴，
∴MN垂直平分AD、BC，
∴OA＝OD，OB＝OC．
又∵点O是腰AB的垂直平分线与MN的交点，
∴OA＝OB．
故OA＝OB＝OC＝OD．
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